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PROBLEME RESOLU n° 8-E : DETARTRANT A BASE D'ACIDE LACTIQUE (Bac 2011 - France)

(Calculatrice autorisée)

 

ENONCE :


Ennemi numéro un des cafetières, le tartre s'y installe au quotidien.

Il peut rendre ces machines inutilisables et altérer le goût du café.

Pour préserver ces appareils, il est donc indispensable de les détartrer régulièrement.

Plusieurs fabricants d'électroménager recommandent d'utiliser des détartrants à base d'acide lactique ; en plus d'être efficace contre le tartre, cet acide est biodégradable et non corrosif pour les pièces métalliques se trouvant à l'intérieur des cafetières.

Après une étude de la réaction entre l'acide lactique et l'eau, on vérifiera par un titrage la teneur en acide lactique dans un détartrant et on s'intéressera à l'action de ce détartrant sur le tartre.

Les parties 1, 2 et 3 sont indépendantes.


· · 1. L'acide lactique


Le détartrant à base d'acide lactique est conditionné sous forme liquide dans un petit flacon. La notice d'utilisation indique qu'il faut verser la totalité de son contenu dans le réservoir de la cafetière et qu'il faut ajouter de l'eau. On prépare ainsi un volume V = 0,60 L d'une solution aqueuse d'acide lactique de concentration molaire en soluté apporté C = 1,0 mol . L- 1. Après agitation, la valeur du pH mesuré est 1,9.

 Données :

Formule de l'acide lactique

KA à 25 ° C du couple Acide lactique / ion lactate

1,3 x 10- 4
 

· 1.1. La molécule d'acide lactique :

Recopier la formule de l'acide lactique puis entourer et nommer le groupe caractéristique responsable de l'acidité de la molécule. (corrigé)

· 1.2. Réaction de l'acide lactique avec l'eau

1.2.1. On note AH la molécule d'acide lactique. Ecrire l'équation de la réaction de l'acide lactique avec l'eau. (c)

1.2.2. Compléter en utilisant les notations de l'énoncé, le tableau descriptif de l'évolution du système, TABLEAU A1 DE L'ANNEXE. (c)

1.2.3. Donner l'expression de l'avancement final xf en fonction du pH de la solution et du volume V. (c)

1.2.4. Calculer le taux d'avancement final de la transformation. La transformation est-elle totale ? Justifier. (c)

· 1.3. Constante d'acidité de l'acide lactique

1.3.1. Donner l'expression de la constante d'acidité KA du couple acide lactique / ion lactate. (c)

1.3.2.. A partir de l'expression de KA, calculer le rapport. (c)

1.3.3. En déduire l'espèce qui prédomine dans la solution de détartrant. (c)


· · 2. Titrage de l'acide lactique présent dans un détartrant


Sur l'étiquette de la solution commerciale de détartrant, on trouve les indications suivantes :

"Contient de l'acide lactique, 45 % en masse".

Données :

Masse molaire de l'acide lactique : M = 90,0 g.mol - 1;

Masse volumique du détartrant r = 1,13 kg.L- 1.

Afin de déterminer la concentration molaire C en acide lactique apporté dans la solution de détartrant, on réalise un titrage acido-basique.

La solution de détartrant étant trop concentrée, on prépare par dilution une solution 10 fois moins concentrée (on note Cd la concentration de la solution diluée).

· 2.1. Dilution

On dispose des lots de verrerie A, B, C, D suivants :

Lot A

Lot B

Lot C

Lot D

Pipette jaugée de 5,0 mL

Bécher de 50 mL

Eprouvette de 50 mL

Pipette jaugée de 10,0 mL

Fiole jaugée de 1,000 L

 

Pipette jaugée de 10,0 mL

Fiole jaugée de 100,0 mL

 

Eprouvette graduée de 10 mL

Fiole jaugée de 100,0 mL

 

Choisir le lot de verrerie permettant de réaliser la dilution le plus précisément. Justifier l'élimination des trois autres lots de verrerie. (c)


· 2.2. Titrage acido-basique

On réalise le titrage pH-métrique d'un volume VA = 5,0 mL de solution diluée par une solution aqueuse d'hydroxyde de sodium Na + (aq) + HO - (aq) de concentration molaire en soluté apporté CB = 0,20 mol . L - 1.

On obtient la courbe de LA FIGURE A2 DE L'ANNEXE.

2.2.1. Ecrire l'équation de la réaction support du titrage (on note AH la molécule d'acide lactique). (c)

2.2.2. Déterminer graphiquement SUR LA FIGURE A2 DE L'ANNEXE, le volume VE de solution d'hydroxyde de sodium versé à l'équivalence. (c)

2.2.3. En précisant la démarche suivie, calculer la concentration Cd en acide lactique dans la solution diluée. (c)

2.2.4. En déduire la valeur de la concentration C en acide lactique dans le détartrant. (c)

2.2.5. Calculer la masse d'acide lactique présente dans 1,00 L de détartrant. (c)

2.2.6. Montrer que le pourcentage massique d'acide lactique présent dans le détartrant est cohérent avec l'indication de l'étiquette. (c)


· · 3. Action du détartrant sur le tartre


Dans cette partie, on cherche à évaluer le temps nécessaire à un détartrage efficace, en étudiant la cinétique d'une transformation réalisée au laboratoire.

Le tartre est essentiellement constitué d'un dépôt solide de carbonate de calcium de formule CaCO3.

Lors du détartrage, l'acide lactique réagit avec le carbonate de calcium suivant la réaction d'équation :

CaCO3 (s) + 2 AH (aq) = CO2 (g) + Ca + + (aq) + 2 A- (aq) + H2O (liq)

Dans un ballon, on verse un volume V ' = 10,0 mL de la solution diluée de détartrant précédemment dosée.

On introduit rapidement une masse m = 0,20 g de carbonate de calcium.

On ferme hermétiquement le ballon avec un bouchon muni d'un tube à dégagement relié à un capteur de pression.

Ce capteur mesure la surpression due au dioxyde de carbone produit par la réaction qui se déroule à la température constante de 298 K.

Cette surpression est équivalente à la pression du dioxyde de carbone seul dans le ballon.

Le tableau ci-dessous donne quelques valeurs de la pression du dioxyde de carbone au cours du temps.

t en s

0

10

20

30

40

50

60

80

90

100

130

150

190

270

330

420

600

P (CO2) en hPa

0

60

95

113

121

129

134

142

145

146

149

150

152

154

155

155

155

A chaque instant, l'avancement x de la réaction est égal à la quantité de matière n (CO2) de dioxyde de carbone formé. Un logiciel permet de calculer ses valeurs.

LA FIGURE A3 DE L'ANNEXE représente l'évolution de l'avancement x au cours du temps.

Données :

Loi des gaz parfaits : P.V = n.R.T;

On rappelle que dans cette expression, la pression P est en pascals (Pa), le volume V en mètres cubes (m3), la quantité de matière n en moles (mol) et la température T en kelvins (K);

Température lors de l'expérience : T = 298 K;

Constante des gaz parfaits : R = 8,314 J.mol - 1.K - 1;

Volume occupé, dans le ballon, par le dioxyde de carbone : Vg = 310 mL;

Vitesse volumique de réaction :

· 3.1. En considérant que le dioxyde de carbone se comporte comme un gaz parfait, donner l'expression de l'avancement x en fonction de la pression du dioxyde de carbone P (CO2) et du volume Vg. (c)

· 3.2. Calculer la valeur de l'avancement à l'état final. (c)

· 3.3. Vérifier que cette valeur est en accord avec LA FIGURE A3 DE L'ANNEXE. (c)

· 3.4. Déterminer graphiquement le temps de demi-réaction t 1/2. La méthode doit apparaître sur LA FIGURE A3 DE L'ANNEXE. (c)

· 3.5. Comment évolue la vitesse volumique de réaction au cours du temps ? Justifier votre réponse à l'aide de LA FIGURE A3 DE L'ANNEXE. (c)

· 3.6. Lors du détartrage d'une cafetière, le mode d'emploi proposé conduit à utiliser une solution un peu plus concentrée en acide lactique et à chauffer cette solution.

Quelle est en effet la conséquence sur la durée de détartrage ? (c)

 

ANNEXE

 

 

 

 


SOLUTION :


· · 1. L'acide lactique


· 1.1.
(énoncé) La molécule d'acide lactique :

Recopions la formule de l'acide lactique puis entourons et nommons le groupe caractéristique responsable de l'acidité de la molécule.

  (1)

· 1.2. Réaction de l'acide lactique avec l'eau

1.2.1. (e) On note AH la molécule d'acide lactique. Ecrivons l'équation de la réaction de l'acide lactique avec l'eau.

HA (aq) + H2O (liq) = A - (aq) + H3O +(aq) (2)

1.2.2. (e) Compléter en utilisant les notations de l'énoncé, le tableau descriptif de l'évolution du système, TABLEAU A1 DE L'ANNEXE.

1.2.3. (e) Donnons l'expression de l'avancement final xf en fonction du pH de la solution et du volume V.

Après agitation, la valeur du pH mesuré est 1,9. Par conséquent [ H3O + ] = 10 - pH = 10 - 1,9 mol / L.

xf = [ H3O + ] x V = 10 - pH x V (3)

1.2.4. (e) Calculons le taux d'avancement final de la transformation. Précisons si la transformation est totale.

Définition : Le taux d'avancement final d'une réaction est égal au quotient de l'avancement final de la réaction par son avancement maximal.

t = xfinal / xmax (4)

Nous avons :

xfinal = xf = [ H3O + ] x V = 10 - pH x V

xmax = C. V

t = xfinal / xmax = 10 - pH x V / C. V

t = xfinal / xmax = 10 - pH / C

t = xfinal / xmax = 10 - pH / C = 10 - 1,9 / 0,60 = 0,0126

t = xfinal / xmax 0,013 = 1,3 % (5)

La transformation n'est pas totale.

· 1.3. Constante d'acidité de l'acide lactique

1.3.1. (e) Donnons l'expression de la constante d'acidité KA du couple acide lactique / ion lactate.

HA (aq) + H2O (liq) = A - (aq) + H3O +(aq) (2)

La constante d'acidité est :

(6)

Le solvant H2O (liq) ne figure pas dans l'expression de KA. (voir la leçon 7)

1.3.2. (e) A partir de l'expression de KA, calculons le rapport

· La relation permet d'écrire :

log KA = log [ H3O + ]f + log

log = log KA - log [ H3O + ]f

log = log (KA / [ H3O + ]f )

= KA / [ H3O + ]f (7)

· Numériquement :

KA = 1,3 x 10 - 4

pH = - log [ H3O + ]f donne [ H3O + ]f = 10 - pH = 10 - 1,9 mol / L

 

= KA / [ H3O + ]f = 1,3 x 10 - 4 / 10 - 1,9 = 1,3 x 10 - 2,1

= 0,0103

1,0 x 10 - 2 (8)

1.3.3. (e) Précisons l'espèce qui prédomine dans la solution de détartrant.

La relation = 0,0103 s'écrit aussi 97

L'acide lactique AH est 97 fois plus abondant que l'ion lactate A -. (9)

Remarque : Ceci est conforme au diagramme de prédominance de la leçon 7. Ici, nous avons pH = 1,9 et pKA = - log KA = - log 1,3 x 10- 4 3,9

(10)


· · 2. Titrage de l'acide lactique présent dans un détartrant


· 2.1.
(e) Dilution

La solution de détartrant étant trop concentrée, on prépare par dilution une solution 10 fois moins concentrée (on note Cd la concentration de la solution diluée).

On dispose des lots de verrerie A, B, C, D suivants :

Lot A

Lot B

Lot C

Lot D

Pipette jaugée de 5,0 mL

Bécher de 50 mL

Eprouvette de 50 mL

Pipette jaugée de 10,0 mL

Fiole jaugée de 1,000 L

 

Pipette jaugée de 10,0 mL

Fiole jaugée de 100,0 mL

 

Eprouvette graduée de 10 mL

Fiole jaugée de 100,0 mL

 

Choisissons le lot de verrerie permettant de réaliser la dilution le plus précisément. Justifions l'élimination des trois autres lots de verrerie.

La quantité d'acide contenue dans la solution fille diluée n = Cd x Vd est égale à la quantité d'acide prise dans la solution mère n = C x Vmère :

Cd x Vd = C x Vmère

Vd / Vmère = C / Cd

Vd / Vmère = 10

Vd = 10 Vmère (11)

Le volume de la solution fille diluée (dans une fiole jaugée) doit être 10 fois supérieur à celui prélevé avec une pipette jaugée dans la solution mère. On choisit donc le lot C. (12)

· 2.2. Titrage acido-basique

2.2.1. (e) Ecrivons l'équation de la réaction support du titrage (on note AH la molécule d'acide lactique).

HA (aq)

+.

HO - (aq)

=

A - (aq)

+

H2O (liq)

(13)

Acide 1

+.

Base 2

=

Base 1

+

Acide 2

Cette réaction fait intervenir les 2 couples acide / base HA / A - et H2O / HO -.

On peut aussi écrire :

HA + ( Na + + HO - ) = ( A - + Na + ) + H2O (liq) (14)

Les ions Na + passifs (spectateurs) sont généralement supprimés.

2.2.2. (e) Déterminons graphiquement SUR LA FIGURE A2 DE L'ANNEXE, reproduite ci-dessous, le volume VE de solution d'hydroxyde de sodium versé à l'équivalence.

(15)

En ce point singulier E, le coefficient directeur de la tangente à la courbe passe par sa valeur maximale. Sur la courbe ci-dessus, on lit :

VE = 14,4 mL = 0 0144 L (16)

2.2.3. (e) Calculons la concentration Cd en acide lactique dans la solution diluée.

A líéquivalence, les réactifs sont introduits dans les proportions stúchiométriques de la réaction de dosage :

HA (aq) + HO - (aq) = A - (aq) + H2O (liq) (14)

Les deux réactifs sont intégralement consommés.

Si, avant l'équivalence, le réactif limitant était le réactif ajouté (réactif titrant HO -), après l'équivalence le réactif limitant est le réactif initialement présent dans le bécher (réactif titré HA). (17)

A l'équivalence :

Néquvalence (soude ajoutée) = Ninitial (acide lactique dilué) (18)

CB.VE = Cd.VA(19)

Cd = CB.VE / VA = 0,20 x 0,0144 / 0,005 = 0,576 mol / L

Cd 0,58 mol / L (20)

2.2.4. (e) Calculons la valeur de la concentration C en acide lactique dans le détartrant.

Dans le détartrant la concentration en acide lactique est 10 fois plus importante :

C = 10 Cd 5,8 mol / L (21)

2.2.5. (e) Calculons la masse d'acide lactique présente dans 1,00 L de détartrant.

Dans 1,00 L de détartrant il y a 5,8 moles d'acide lactique, soit une masse d'acide :

m = 5,8 M = 5,8 x 90

m 5,2 x 10 2 g (22)

2.2.6. (e) Montrons que le pourcentage massique d'acide lactique présent dans le détartrant est cohérent avec l'indication de l'étiquette.

L'énoncé indique : masse volumique du détartrant r = 1,13 kg.L- 1.

1 L ce détartrant a une masse totale de 1130 g et contient m 520 g d'acide lactique

Le pourcentage massique d'acide lactique présent dans le détartrant est donc voisin de 520 / 1130 = 0,46 soit 46 %. (23)

Or, sur líétiquette de la solution commerciale de détartrant, on trouve les indications suivantes : «Contient de líacide lactique, 45 % en masse».

Le pourcentage massique d'acide lactique présent dans le détartrant est donc cohérent avec l'indication de l'étiquette. (24)


· · 3. Action du détartrant sur le tartre


· 3.1.
(e) En considérant que le dioxyde de carbone se comporte comme un gaz parfait, donnons l'expression de l'avancement x en fonction de la pression du dioxyde de carbone P (CO2) et du volume Vg.

Le ballon étant fermé, à température constante, le gaz dioxyde de carbone CO2 qui se dégage progressivement occupe toujours le même volume Vg :

Vg = 310 mL = 310 x 10 - 3 L = 310 x 10 - 6 m3 =.3,10 x 10 - 4 m3

CaCO3 (s) + 2 AH (aq) = CO2 (g) + Ca + + (aq) + 2 A- (aq) + H2O (liq) (25)

L'avancement est calculable à partir de la loi des gaz parfaits P.Vg = n.R.T :

x = n (CO2) = P (CO2) Vg / RT (26)

· 3.2. (e) Calculons la valeur de l'avancement à l'état final.

xfinal = nfinal (CO2) = Pfinal (CO2) Vg / RT = 15500 x 310 x 10 - 6 / ( 8,314 x 298 ) = 19,39 x 10 - 4 mol

xfinal 1,94 x 10 - 3 mol (27)

· 3.3. (e) On vérifie que cette valeur xfinal 1,94 x 10 - 3 mol = 1,94 mmol est en accord avec LA FIGURE A3 reproduite ci-dessous.

(28)

· 3.4. (e) Déterminons graphiquement le temps de demi-réaction t 1/2.

Définition : Le temps de demi-réaction t 1/2 est le temps nécessaire pour que l'avancement atteigne la moitié de sa valeur finale. (leçon 4) (29)

La détermination de t 1/2 se fait ci-dessous sur LA FIGURE A3 DE L'ANNEXE.

(30)

 

On trouve t 1/2 15 s (31)

· 3.5. (e) Voyons comment évolue la vitesse volumique de réaction au cours du temps. Justifions notre réponse à l'aide de la FIGURE A3 DE L'ANNEXE.reproduite ci-dessous.

(32)

La vitesse volumique v de réaction s'écrit : (33)

Le volume Vg = 310 mL reste constant. (34)

La vitesse volumique v de réaction est proportionnelle à la dérivée dx / dt, c'est-à-dire au coefficient directeur de la tangente T à la courbe d'évolution ci-dessous. (35)

Ce coefficient directeur est important au début de la réaction (tangente T0). Il diminue constamment et s'annule pour t supérieur à 300 s (tangente T300). Par conséquent :

La vitesse volumique v de réaction diminue constamment au cours du temps. (36)

· 3.6. (e) Lors du détartrage d'une cafetière, le mode d'emploi proposé conduit à utiliser une solution un peu plus concentrée en acide lactique et à chauffer cette solution.

CaCO3 (s) + 2 AH (aq) = CO2 (g) + Ca + + (aq) + 2 A- (aq) + H2O (liq) (25)

La concentration du réactif acide lactique AH (aq) et la température sont des facteurs cinétiques.

Un détartrant AH (aq) plus concentré et une température plus élevée augmentent la vitesse de disparition du tartre CaCO3 (s). (37)

 
A VOIR :

Problème résolu de la leçon 8 : Dosage d'une solution d'ammoniaque par une solution d'acide chlorhydrique.

Problème résolu n° 8 A : Dosage d'un vinaigre (d'après Annales 0 et Bac 1997).

Problème 8-B (à résoudre) : Analyse d'un lait (Bac 2006 - Antilles).

Problème n° 8-C (à résoudre) : Les couleurs du bleu de bromothymol (Bac 2008 - France).

Problème résolu n° 8-D : Le Synthol (Bac 2009 - France).

Problème résolu n° 8-E ci-dessus : Détartrant à base d'acide lactique (Bac 2011 - France).

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