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PROBLEME AVEC CORRIGE n° 10-D : Un réveil en douceur (Bac 2008 - France)

(Calculatrice autorisée)

ENONCE :

 

On commercialise aujourd'hui des réveils "éveil lumière / éveil douceur". Le concept utilisé est le suivant : lorsque l'heure du réveil programmé est atteinte, la lampe diffuse une lumière dont l'intensité lumineuse augmente progressivement jusqu'à une valeur maximale. On évite de cette façon un réveil trop brutal. La durée nécessaire pour atteindre la luminosité maximale est modifiable.

Lors d'un atelier scientifique, deux élèves décident de construire un circuit électrique permettant de faire varier doucement la luminosité d'une lampe, en utilisant les propriétés électriques d'une bobine.

Dans une première partie, ces propriétés sont mises en évidence de façon qualitative. Dans une seconde partie, les élèves déterminent l'inductance de la bobine utilisée. Le fonctionnement est ensuite étudié expérimentalement à l'aide d'une acquisition informatique.

Certaines données ne sont pas utiles à la résolution de l'exercice.


·
1- Influence d'une bobine dans un circuit électrique.

Les élèves réalisent le circuit représenté sur la figure 1. Ce circuit est constitué d'une source de tension idéale de force électromotrice (fem) E1, d'une bobine d'inductance L et de résistance r, d'un conducteur ohmique de résistance R1 de même valeur que r et de deux lampes identiques (L1) et (L2).

Données :

Valeurs de la fem : E1 = 24 V.

Valeurs données par le constructeur : L = 1 H ; r = R1 = 7 W

Dans cette partie seulement, pour simplifier l'analyse quantitative, on suppose que chaque lampe a le même comportement électrique que le conducteur ohmique de résistance RLampe.

1.1. Immédiatement après la fermeture de l'interrupteur K, les deux lampes ne s'allument pas simultanément : une lampe brille quasi-instantanément, l'autre brille avec retard.

Quelle lampe s'allume la première ? Pourquoi l'autre s'allume-t-elle avec retard ? (corrigé)

1.2. Dans la chambre du circuit contenant la bobine, on peut observer successivement deux régimes différents pour le courant électrique.

Nommer ces deux régimes. (c)

1.3. Que peut-on dire de la luminosité des deux lampes en fin d'expérience ? Justifier. (c)

1.4. On appelle t la constante de temps caractérisant l'évolution temporelle de l'intensité du courant électrique lors de l'association en série d'un conducteur ohmique de résistance R et d'une bobine d'inductance L. Dans le cas étudié R = R1 + RLampe. La durée nécessaire pour atteindre la luminosité maximale est de l'ordre de 5 t.

1.4.1. Exprimer la constante de temps t en fonction de l'inductance L et de la résistance R. (c)

1.4.2. Vérifier par analyse dimensionnelle, que l'expression obtenue est bien homogène à un temps. (c)

1.4.3. Justifier par un calcul d'ordre de grandeur le fait que ce phénomène est détectable par un observateur.

On prendra R 10 W. (c)

On précise que l'il est capable de distinguer deux images consécutives séparées d'au moins 0,1 s.


· 2- Vérification de la valeur de l'inductance L de la bobine utilisée.

Dans cette partie, les élèves cherchent à déterminer précisément la valeur de l'inductance L de la bobine utilisée. Ils réalisent le montage, représenté sur la figure 2, permettant d'enregistrer la décharge d'un condensateur de capacité C = 22 mF à travers la bobine. Le condensateur est initialement chargé sous une tension E2 = 6,0 V (commutateur en position 1).

Après avoir basculé le commutateur en position 2, on enregistre l'évolution de la tension aux bornes du condensateur au cours du temps; la courbe obtenue est représentée sur la figure 3.

2.1. Comment nomme-t-on le régime correspondant à cette évolution de la tension UC (t) aux bornes du condensateur ? (c)

2.2. Quelle est la cause, en terme d'énergie, de l'amortissement des oscillations observé sur l'enregistrement donné en figure 3 ? (c)

2.3.. Qualifier l'évolution temporelle de l'énergie totale emmagasinée dans le circuit en choisissant un ou plusieurs adjectifs parmi : périodique ; croissante ; décroissante ; sinusoïdale. (c)

2.4. On rappelle que la période propre T0 d'un circuit LC est égale à et que dans le cas où l'amortissement est faible, la pseudo-période T des oscillations est proche de la période propre T0.

Déterminer (figure 3) la valeur de la pseudo-période T des oscillations puis de l'inductance L de la bobine. (c)

2.5. La valeur de l'inductance L calculée est-elle compatible avec les données du constructeur ? (c)

· 3 - Etude expérimentale de la luminosité d'une lampe dans un circuit électrique contenant une bobine.

La luminosité de la lampe est liée à la puissance électrique qu'elle reçoit. On rappelle l'expression, en convention récepteur, de la puissance électrique instantanée p (t) reçue par un dipôle soumis à la tension u (t) et traversé par un courant d'intensité i (t) : p (t) = u (t) x i (t)

Pour étudier l'évolution temporelle de la puissance électrique reçue par la lampe, les élèves réalisent maintenant le circuit représenté sur la figure 4 et procèdent à une acquisition informatique des données à l'aide d'une interface possédant deux bornes d'entrée notées (Y1) et (Y2) et une masse notée (M). Ils utilisent une lampe (L1), la bobine d'inductance L, un conducteur ohmique dont la résistance a pour valeur R0 = 1 W et une source de tension continue de fem E.

3.1. De quelle(s) manière(s) l'énergie électrique reçue par la lampe est-elle transférée à l'environnement ? (c)

3.2. A quels points du circuit (A, B, C, ou D) peut-on brancher (Y1), (Y2) et (M) pour enregistrer les tensions uRo et uBD sur l'interface d'acquisition ? (c)

3.3. Les élèves souhaitent suivre l'évolution temporelle de la puissance électrique reçue par la lampe (L1). A partir des grandeurs mesurées uRo, uBD et de la résistance R0, exprimer :

3.3.1. la tension u (t) = uBC aux bornes de la lampe ; (c)

3.3.2. l'intensité i (t) du courant électrique ; (c)

3.3.3. la puissance électrique p (t) reçue par la lampe. (c)

3.4. Pourquoi les élèves ont-ils choisi un conducteur ohmique dont la valeur de résistance est très faible ? (c)

3.5. La figure 5 représente l'évolution temporelle de la puissance électrique p (t) reçue par la lampe (L1). On estime que pour réveiller un individu, la lumière est suffisante lorsque cette puissance a atteint 90 % de sa valeur maximale.

A partir de cette courbe, déterminer la durée nécessaire pour permettre le réveil. (c)

3.6. Cette durée est-elle compatible avec l'utilisation d'un tel montage pour une "lampe à diffusion douce" ? Quels paramètres faudrait-il pouvoir modifier pour contrôler la durée du phénomène ? (c)

 

SOLUTION :


· 1- Influence d'une bobine dans un circuit électrique.

1.1. (énoncé) Immédiatement après la fermeture de l'interrupteur K, les deux lampes ne s'allument pas simultanément :

· La lampe (L1) s'allume quasi instantanément car le courant électrique d'intensité i1 s'établit immédiatement.

· La lampe (L2) s'allume avec retard car l'inductance de la bobine retarde l'établissement du courant d'intensité croissante i2.

1.2. (e) Dans la partie QXT du circuit contenant la bobine (voir la figure 1 bis), on peut observer successivement deux régimes différents pour le courant électrique.

On observe d'abord le régime transitoire durant lequel l'intensité du courant i 2 partant de zéro croît progressivement jusqu'à sa valeur limite i2 max puis, quand la valeur limite est atteinte, on observe le régime permanent.

· Durant la phase transitoire on peut écrire uXT = r i2 + L di2 / dt (1).

· En régime permanent on écrira uXT = r i2 max + 0 = r i2 max (2) car, alors, l'intensité i2 = i2 max = constante et di2 max / dt = 0.

1.3. (e) En fin d'expérience, quand i2 prend sa valeur constante i2 max, la luminosité des deux lampes devient identique. En effet :

· La branche 1 QST continue à se comporter comme un conducteur ohmique de résistance totale RLampe + R1 = RLampe + 7 (3).

· Parcourue par un courant d'intensité constante i2 max la bobine se comporte comme un conducteur ohmique de résistance r = 7 W, l'inductance L ne joue plus de rôle. La branche 2 QXT se comporte comme un conducteur ohmique de résistance totale RLampe + r = RLampe + 7 (4).

· D'après les relations (3) et (4) les deux branches QST et QXT ont donc la même résistance et sont soumises à la même tension de 24 V. Les deux lampes auront la même luminosité.

1.4. On appelle t la constante de temps caractérisant l'évolution temporelle de l'intensité du courant électrique lors de l'association en série d'un conducteur ohmique de résistance R et d'une bobine d'inductance L. Dans le cas étudié R = R1 + RLampe (5).

1.4.1. (e) Exprimons la constante de temps t en fonction de l'inductance L et de la résistance R.

La constante de temps est :

t = L / R = L / (R1 + RLampe) (6)

1.4.2. (e) Vérifions par analyse dimensionnelle, que l'expression obtenue pour t (soit t = L / R) est bien homogène à un temps.

[ t ] = [ L ] / [ R ] = [ L ] [ R ] - 1 (7)

· Le relation u = L di / dt permet d'écrire [ U ] = [ L ] [ I ] / [ T ] [ L ] = [ U ] [ T ] / [ I ] = [ U ] [ T ] [ I ] - 1 (8)

· La relation u = R i soit R = u / i permet d'écrire [ R ] = [ U ] / [ I ] = [ U ] [ I ] - 1 [ R ] - 1 = [ U ] - 1 [ I ] (9)

Portons les relations (8) et (9) dans la relation (7) :

[ t ] = [ L ] x [ R ] - 1 = [ U ] [ T ] [ I ] - 1 x [ U ] - 1 [ I ] soit :

[ t ] = [ T ] (10)

La constante de temps t est donc bien homogène à un temps.

1.4.3. (e) Justifions par un calcul d'ordre de grandeur le fait que le phénomène d'établissement progressif du courant dans la lampe (L2) est détectable par un observateur. On prend R 10 W.

· Calculons la constante de temps :

t = L / R = 1 / 10 = 0,1 s (11)

· La durée nécessaire pour atteindre la luminosité maximale est de l'ordre de 5 t0,5 s (12)

· L'énoncé précisant que l'il est capable de distinguer deux images consécutives séparées d'environ 0,1 s on peut effectivement conclure que le phénomène d'établissement progressif du courant dans la lampe (L2) est détectable par un observateur.


· 2- Vérification de la valeur de l'inductance L de la bobine utilisée.

Les élèves réalisent le montage, représenté sur la figure 2 bis, permettant d'enregistrer la décharge d'un condensateur de capacité C = 22 mF à travers la bobine. Le condensateur est initialement chargé sous une tension E2 = 6,0 V (commutateur en position 1).

Après avoir basculé le commutateur en position 2, on enregistre l'évolution de la tension aux bornes du condensateur au cours du temps; la courbe obtenue est représentée sur la figure 3.

2.1. (e) Le régime correspondant à cette évolution de la tension UC (t) est qualifié de pseudo-périodique.

2.2. (e) Précisons la cause, en terme d'énergie, de l'amortissement des oscillations observé sur l'enregistrement donné en figure 3 ?

L'énergie électrique totale stockée dans le circuit ( C u2c dans le condensateur + L i 2 dans la bobine) (13) diminue car, lors de chaque oscillation, une partie de cette énergie est transformée en énergie calorifique dans la résistance r (effet Joule).

2.3. (e) L'énergie totale emmagasinée dans le circuit est décroissante.

2.4. (e) On rappelle que la période propre T0 d'un circuit LC est égale à (14) et que dans le cas où l'amortissement est faible, la pseudo-période T des oscillations est proche de la période propre T0.

· La figure 3 permet de déterminer graphiquement la pseudo période T. On voit que 6 T 180 ms. On en déduit :

T 30 ms = 3,0 x 10 - 2 s (15)

· On peut aussi déterminer l'inductance L de la bobine. On sait que :

L T2 / 4 p2 C = 9,0 x 10 - 4 / (4 p2 x 22 x 10 - 6)

L 1,0 H (16)

2.5. (e) La valeur de l'inductance calculée L 1,0 H (16) est compatible avec les données du constructeur.


· 3 - Etude expérimentale de la luminosité d'une lampe dans un circuit électrique contenant une bobine.

3.1. (e) L'énergie électrique reçue par la lampe est transférée à l'environnement sous forme lumineuse et calorifique (rayonnement visible et invisible).

3.2. (e) Pour enregistrer les tensions uRo et uBD sur l'interface d'acquisition on relie (M) en D, (Y1) en C et (Y2) en B.

3.3. Les élèves souhaitent suivre l'évolution temporelle de la puissance électrique reçue par la lampe (L1). A partir des grandeurs mesurées uRo, uBD et de la résistance R0, exprimons :

3.3.1. (e) la tension u (t) = uBC aux bornes de la lampe :

u (t) = uBC = uBD + uDC = uBD - uCD

u (t) = uBD - uRo (17)

3.3.2. (e) l'intensité i (t) du courant électrique :

i (t) = uRo / R0 (18)

3.3.3. (e) la puissance électrique p (t) reçue par la lampe :

p (t) = uBC x i (t) = u (t) x i (t)

p (t) = (uBD - uRo) uRo / R0 (19)

3.4. (e) L'intensité du courant en régime permanent imax est :

imax = E / (r + RLampe + R0) (20)

Les élèves ont choisi un conducteur ohmique dont la valeur de résistance est très faible (R0 = 1 W) afin que l'intensité du courant soit importante et que, par conséquent, la luminosité de la lampe soit importante.

3.5. (e) La figure 5 représente l'évolution temporelle de la puissance électrique p (t) reçue par la lampe (L1). On estime que pour réveiller un individu, la lumière est suffisante lorsque cette puissance a atteint 90 % de sa valeur maximale.

A partir de cette courbe, on peut déterminer la durée nécessaire pour permettre le réveil.

La puissance électrique maximale reçue par la lampe (L1) est pmax = 11,3 W (21) (voir la figure 5 bis)

Pour réveiller un individu, la lumière est suffisante lorsque cette puissance a atteint 90 % de 11,3 watts soit environ 10 watts.

La durée nécessaire pour permettre le réveil est déterminée graphiquement :

Pour atteindre environ 10 watts il faut une durée t 1,3 s (22)

3.6. (e) Cette durée de 1,3 s est trop courte pour être compatible avec l'utilisation d'un tel montage pour une "lampe à diffusion douce".

Afin d'allonger la durée du réveil en douceur il faudrait pouvoir augmenter la constante de temps t = L / (r + RLampe + R0) (23).

On devrait donc, pour une lampe donnée, augmenter L et (ou) diminuer (R0 + r).

 

A VOIR :

Problème résolu n° 10 A : Charge d'un condensateur - Décharge oscillante.

Problème résolu n° 10-B : Principe de l'entretien des oscillations électriques.

Problème n° 10 C (à résoudre) : Oscillations électriques libres.

Problème n° 10 D ci-dessus (avec corrigé) : Un réveil en douceur (Bac 2008 - France).

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