·
1- Un condensateur de capacité C = 33 m F est chargé avec un
générateur de tension réglé sur
Uo =
10 V. La résistance du générateur est
négligeable.
Calculer la charge du condensateur et
l'énergie qu'il a emmagasinée. (corrigé)
· 2- Ce condensateur chargé est
déconnecté du générateur puis
relié aux bornes d'une bobine d'inductance L = 120 mH. Dans
cette question on suppose
nulle la résistance du circuit. On
observe ce qui se passe aux bornes de la bobine à l'aide d'un
oscilloscope.
a-
Faire un schéma du montage.
Dessiner qualitativement la figure observée sur l'écran
de l'oscilloscope. (c)
b-
Donner une interprétation
énergétique du phénomène. (c)
c-
Etablir l'équation
différentielle régissant l'évolution
temporelle de la tension
instantanée uAB aux bornes du
condensateur. (c)
d- Déduire de l'équation
précédente l'équation différentielle
régissant l'évolution temporelle de la
charge
instantanée qA de l'armature A du
condensateur.
On admettra que la solution de cette
équation différentielle est :
qA = Qmax cos ( 
t + j ) en posant
(période propre des oscillations)
Calculer la période propre
To des
oscillations. (c)
e-
Le circuit constitué par la
bobine et le condensateur chargé a été
fermé à l'instant pris comme origine des temps t = 0.
Déterminer la valeur numérique
des constantes Qmax et j qui interviennent dans l'expression de la charge
instantanée qA = Qmax cos ( t + j ) de l'armature A du
condensateur. (c)
f- Calculer la valeur maximale de l'intensité du
courant. (c)
· 3- En réalité la bobine possède une
inductance L mais aussi une résistance r.
a-
La tension u = uAB aux bornes du
condensateur est enregistrée avec un oscilloscope
spécial à mémoire qui permet la visualisation
d'un phénomène qui ne se produit qu'une fois.
Pourquoi a-t-on besoin d'un tel appareil ?
Donner une interprétation
énergétique du phénomène. (c)
b-
La courbe obtenue avec la
sensibilité horizontale 10 ms / division est reproduite
ci-dessous.
Comparer la pseudo-période T et
T0.
Calculer l'énergie calorifique dégagée dans r
après 1 oscillation. (c)
· 1- (énoncé) Charge du condensateur (interrupteur en position
1).
Calculons la charge du condensateur et
l'énergie qu'il emmagasine.
Comme la résistance du circuit PABP
est nulle, la charge du condensateur est quasi instantanée.
Cette charge est qA = C ´ UAB = C ´ Uo = 33 ´ 10 - 6 ´
10 soit :
|
qA = 3,3 ´ 10 - 4 C
(1)
|
L'armature B porte un charge négative
qB
= - qA = - 3,3 ´
10 -
4 C
· L’énergie
emmagasinée est :
WAB = 
C
Uo ² = ´ 33 ´ 10 - 6
´ 102 = 16,5
´ 10 -
4 J
|
WAB = 1,65 ´ 10 - 3 J (2)
|
Remarque : Si la résistance du circuit PABP
n'était pas nulle, la charge du condensateur ne serait pas
instantanée (voir
la leçon 8).
·
2- Oscillations électriques libres non amorties
a- (e) Le
montage peut être schématisé de la
façon suivante (interrupteur en position 2) :
La tension uNM aux bornes de la
bobine évolue sinusoïdalement (régime
périodique) :
Remarquons que uNM =
uAB.
b- (e) Interprétation énergétique du
phénomène.
Initialement, toute l’énergie est
sous forme électrique dans le condensateur. Quand le
condensateur se décharge, il transfère son
énergie à la bobine qui la stocke sous forme
magnétique. La bobine retransmet cette énergie au
condensateur et ainsi de suite.
Il y a échange entre l’énergie
électrique du condensateur et l’énergie
magnétique de la bobine. En l’absence de résistance,
cet échange se fait sans perte. L'énergie totale
reste constante. A chaque instant, on a :
(3)
c- (e) Etablissons
l'équation différentielle régissant
l'évolution temporelle de la
tension
instantanée uAB aux bornes du
condensateur.
La loi des tensions appliquée
à la maille ABMNA s’écrit :
uAB +
uBM
+ uMN + uNA
= 0 (4)
uAB + 0 +
uMN
+ 0 = 0
(5)
Comme on cherche l'équation
différentielle régissant l'évolution
temporelle de la tension instantanée uAB
aux bornes du condensateur, il
nous faut faire disparaître l'intensité du courant i
de l'équation (5).
On sait que pour un condensateur AB :
iAB = 
= C
(6) en notant
=
(7)
Le schéma ci-dessus montre que
iMN
= iAB :
iMN =
iAB
= = C (8)
Dérivons par rapport à t
:
(9)
Portons dans l'équation (5) :
(10)
ou encore, en posant u = uAB :
(11)
|
 (12)
|
L'équation (12) est une
équation différentielle du second ordre, à
coefficients constants, sans second membre.
d- (e) Ecrivons
l'équation différentielle régissant
l'évolution temporelle de la
charge
instantanée q =
qA
de l'armature A du condensateur.
Comme u = uAB =
qA
/ C = q / C (13) la
relation
(12) s’écrit aussi :
|
 (14)
|
On admet que cette équation
différentielle (14) a pour
solution :
|
q =
qA = Qmax cos (  t + j ) (15) en posant :
 (16) (période propre des
oscillations)
Qmax est la charge maximale de
l'armature A.
j est la phase à
l'origine des dates.
|
L'énoncé donne L = 120 mH =
1,20 ´ 10 -
1 H et C = 33 m F = 3,3 ´ 10 - 5 F.
La période propre des oscillations
électriques est :
= 1,25 ´ 10 - 2 s
|
To  1,3 x 10 - 2 s (17)
|
La fréquence propre des oscillations
électriques est :
fo
= 1 /
To
= 80 Hz (17
bis)
e-
(e) Le circuit
constitué par la bobine et le condensateur chargé a
été fermé à l'instant pris comme
origine des temps t = 0. Déterminons la valeur
numérique des constantes Qmax et j qui interviennent dans
l'expression de la charge instantanée qA =
Qmax cos ( t
+ j )
(15)
de
l'armature A du condensateur.
Pour déterminer les deux constantes
Qmax et j nous nous servirons des valeurs de
qA
et de l'intensité du courant i à la date 0 à
laquelle on place l'interrupteur en position 2.
Calculons iAB :
iAB = = - Qmax sin ( t + j ) (18)
A l’instant t = 0
s, on sait que qA (0) = 3,3
´ 10 -
4 C et que iAB (0) = 0 A. Portons
ces valeurs dans (15)
et (18) :
3,3 ´ 10 - 4 =
Qmax cos ( j ) (15 bis)
0 = - Qmax sin ( +
j )
(18 bis)
On obtient :.
sin ( j ) = 0
3,3 ´
10 -
4 = Qmax cos (
j ).
Il semble y avoir deux solutions :
j1
= 0 avec
Q1max
= 3,3 ´ 10
- 4 (19)
j2 = p avec
Q2max
= - 3,3
´ 10 - 4
(20)
La relation q = Qmax cos ( t + j ) (15)donne alors :
q1
= 3,3 ´
10 - 4 cos ( t + 0 )
q2 = -
3,3 ´ 10
- 4 cos ( 
t + p
)
En fait ces deux solutions sont identiques
car :
-
3,3 ´ 10
- 4 cos ( t + p
) = 3,3
´ 10 - 4 cos ( t + 0 )
On peut donc retenir :
q =
3,3 ´ 10 - 4 cos ( t + 0 ) (21)
avec :
To = 1,25 ´
10 -
2 s soit
= 502,2 rad
/ s 5,0 x 10 2
rad / s
Finalement :
|
q =
qA = 3,3 ´ 10 - 4 ´ cos ( 5,0 x 10 2 t ) (22)
|
f-
(e) Calculons la valeur
maximale de l'intensité du courant.
L’intensité du courant est :
iAB = = - Qmax sin ( t + j ) (18)
iAB = = - 502,2
´ 3,3
´ 10 - 4
´ sin ( 502,2 t
)
iAB = = - 0,166
´
sin ( 502,2 t ) (23)
Sa valeur maximale est :
|
Imax = 0,166 A 0,17 s (24)
|
·
3- Oscillations électriques libres amorties par la
résistante r.
a- (e)
Utilité d'un oscillographe à mémoire.
Chaque échange d’énergie entre
le condensateur et la bobine s’accompagne d’une perte
d’énergie calorifique dans la résistance.
Ceci se traduit par une diminution de
l’amplitude de la tension u = uAB. On a un
régime pseudo-périodique. Les oscillations
disparaissent vite. Il faut un oscilloscope qui mémorise
l’évolution de u afin de pouvoir exploiter
l’enregistrement.
b- (e) Comparons
la pseudo-période T et la période propre
T0.
·
La
sensibilité horizontale est de 10 ms / div.
·
Sur le graphe ci-dessus, on mesure une
pseudo période :
|
T = 1,3 div
´ 10 ms / div = 13 ms = 0,013 s
(25)
|
Cette pseudo-période T est proche de
la période propre T0 = 0,0125 s..
· A la date t = 0 s, la tension u du condensateur vaut
u0
= 10 V (26) (figure
ci-dessus).
Le condensateur possède alors
l'énergie WAB (0) = 1,65
´
10 - 3 J (2)
La bobine ne possède aucune
énergie car, à t = 0, l'intensité du courant
est nulle et Wbobine(0) = .gif)
L i² =
0 J (27)
· Après 1 pseudo-oscillation, la tension du
condensateur ne vaut plus que u1 = 5 V (28) (figure
ci-dessus).
Le condensateur possède alors
l’énergie E1 = C
u12 = 4,12 ´ 10 – 4 J (29)
La bobine ne possède aucune
énergie car à t = T , l'intensité est nulle
et Wbobine = L
i² = 0 J (30)
· Après une oscillation la perte
d’énergie du circuit est :
|
E0 – E1 = 1,65 ´ 10 - 3 - 4,12 10 – 4 = 1,24 ´ 10 – 3 J
(31)
|
C’est la résistance r qui, par effet
Joule, a dégagé cette énergie sous forme
calorifique.