On considère le circuit
représenté ci-dessous :
figure
1
Le condensateur est initialement chargé.
En fermant l'interrupteur K, on relie ce condensateur à une
bobine AB d'inductance L et de résistance r.
Données : C = 0,22 mF et L = 4,7 mH.
· 1- Etablir
l'équation différentielle régissant
l'évolution temporelle de la
charge q = qB du condensateur.
Cette équation se simplifierait si la
résistance r de la bobine AB était nulle. Calculer,
dans cette hypothèse, la période propre 
et la
fréquence propre des oscillations électriques.
(corrigé)
· 2- Pourquoi faut-il,
dans le montage réel, apporter de l'énergie pour
entretenir les oscillations ? (c)
· 3- On introduit dans le
circuit un générateur dont la tension à ses
bornes est proportionnelle à l'intensité du
courant.
figure
2
a) Etablir l'équation différentielle
satisfaite par la charge q du condensateur. (c)
b) Justifier l'appellation de "résistance
négative" donnée au dipôle correspondant à
la portion de circuit MA qui contient le générateur.
(c)
c) A quelle condition (relation entre r et k) y a-t-il
"accrochage", c'est-à-dire établissement des
oscillations entretenues ? (c)
· 1-
(énoncé) Etablissons
l'équation différentielle régissant
l'évolution temporelle de la
charge q = qB du condensateur.
figure
3
· L'orientation du circuit de la figure 3 permet
d'écrire :
i = iAB = iBM = iMA 
(1)
i = iBM = 
(2) et donc .gif)
= 
(3)
uAB = r
iAB +
L .gif)
= r i + L (4)
uBM = 
(5)
uMA = 0 (6)
· La loi des tensions appliquée à la maille
ABMA s'écrit :
uAB + uBM + uMA = 0
Remplaçons ces tensions par leur valeur
donnée par les relations (4), (5) et (6)
:
r i + L + + 0 = 0 (7)
Comme on cherche l'équation
différentielle régissant l'évolution
temporelle de la charge q =
qB du
condensateur, il nous faut faire disparaître l'intensité
du courant i de l'équation (7).
On a vu que i = (2) et = (3).
Portons dans l'équation (7) r i + L + + 0 = 0 :
r + L + = 0
L'équation (8) est une équation
différentielle du second ordre,
à coefficients constants, sans second membre. Elle
régit l'évolution de la charge q = qB du condensateur en
fonction du temps.
· Si la résistance r de la bobine était
négligeable, alors l'équation (7) se simplifierait
:
L + = 0 (9)
+ 
qB =
0
La solution de (10) est une fonction
sinusoïdale de la forme :
q = Qmax cos (
t + j ) (11) avec la
période propre :
(12)
L'énoncé donne C = 0,22
mF = 2,2
´
10 - 7
F et L = 4,7 mH = 4,7 ´ 10 - 3 H. On obtient :
To = 2,020 ´ 10 - 4 s (13)
La fréquence fo des oscillations
électriques est :
fo = 1 /
To =
4950 Hz (14)
|
Si la
résistance r de la bobine AB était
négligeable, la période propre et la
fréquence propre des oscillations électriques
sinusoïdales auraient pour valeur :
To = 2,020 ´ 10 - 4 s  2,0 x
10 - 4
s
(13)
fo = 1 / To = 4950 Hz 5,0 x
10 3
Hz
(14)
Les résultats
numériques, comme les données de
l'énoncé, ne doivent comporter que 2 chiffres
significatifs.
|
· 2-
(e) Nécessité
d'apporter de l'énergie pour entretenir les oscillations
malgré la présence de la résistance r.
· Si la résistance r du circuit
était nulle l'énergie
électromagnétique du circuit se conserverait. Cela
s'écrirait :
E = Eélectrique +
Emagnétique = 
C
U 2 + L i 2 = constante (15)
L'énergie, initialement stockée
dans le condensateur, passerait progressivement dans la bobine puis
de la bobine dans le condensateur et le cycle recommencerait.
· Dans le cas où la
résistance r du circuit n'est pas nulle, il y a
dissipation d'énergie calorifique à travers la
résistance, ce qui entraîne un amortissement des
oscillations avec diminution progressive de l'énergie
électromagnétique du circuit r, L, C.
Si, malgré la
présence de la résistance r, on veut entretenir des
oscillations d'amplitude constante dans le circuit, il faut compenser
la perte d'énergie calorifique (effet Joule), en ajoutant dans
le circuit un dipôle équivalent à une
"résistance négative", laquelle au lieu de consommer de
l'énergie électrique en fournira au circuit pour
compenser celle perdue dans la résistance positive r.
· 3- Etude du circuit en
présence du générateur auxiliaire.
figure
4
a) (e) Etablissons
la nouvelle équation différentielle satisfaite par la
charge q du condensateur.
En se rapportant à la figure 4, on peut
écrire :
· La loi des tensions appliquée à la maille
ABMA s'écrit :
uAB + uBM + uMA = 0 (16)
r i + L + - k i =
0
Mais, on sait que i = iAB = iBM = (2) et que = (3)
r + L + - k = 0
b)
(e) Justifions
l'appellation de "résistance négative" donnée au
dipôle correspondant à la portion de circuit MA qui
contient le générateur.
Le dipôle correspondant à la
portion de circuit MA qui contient le générateur a pour
caractéristique UMA = - k
iMA (18) (avec k positif). Pour une
résistance habituelle R, positive, on écrirait
UMA =
R iMA
(19).
La comparaison des relations (18) et
(19) montre que le dipôle correspondant à MA se
comporte comme une résistance négative R = - k (avec k
positif).
On sait qu'une résistance habituelle,
positive, reçoit de l'énergie électrique. Ici,
le dipôle MA ne reçoit pas d'énergie
électrique mais, au contraire, en fournit au reste du
circuit.
c) (e) A quelle condition
(relation entre r et k) y a-t-il "accrochage", c'est-à-dire
établissement des oscillations entretenues ?
· Reprenons l'équation différentielle
établie ci-dessus :
L + (r - k) + = 0 (17)
· Si on choisit k = r (condition d'accrochage)
alors l'équation (17) devient :
L + = 0 (19) identique
à L + = 0 (9)
Nous avons vu que la solution de (9) est une
fonction sinusoïdale de la forme :
q = Qmax cos (
t + j ) (12) avec la
période propre :
2,0 x 10 - 4 s(12)
|
Ainsi, malgré
la présence de la résistance r, on peut
entretenir des oscillations sinusoïdales dans le
circuit r, L, C si on choisit k = r (condition
d'accrochage).
|
Remarque : Il est
également utile de revoir le
paragraphe 4 de la leçon 10. La
partie bleue du schéma constitue la "résistance
négative" du montage.
+ r
+
= 0
qB = 0