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LA MECANIQUE DE NEWTON - leçon n° 11

 

La mécanique de Newton est basée sur trois lois que nous avons déjà évoquées en classe de première. Dans ce chapitre, l'énoncé de la deuxième loi sera précisé.

La mécanique de Newton permet d'étudier les systèmes qui, d'une part, sont animés de vitesses faibles devant la vitesse de la lumière (pour les grandes vitesses, il faut faire appel à la mécanique relativiste créée par Einstein) et qui, d'autre part, ont des masses et des dimensions à notre échelle (pour les systèmes à l'échelle de l'atome, il faut faire appel à la mécanique quantique).


1- NOTIONS DE CINEMATIQUE


1-1 Référentiel et repère

·On considère une mouche, assimilable à un point, "fixée" au plafond d'une voiture qui avance sur une route rectiligne horizontale à la vitesse constante V = 20 m/s.

·Par rapport au solide Terre la trajectoire de la mouche une droite. Par rapport à la Terre, le vecteur vitesse de la mouche est constant, sa norme a pour valeur V = 20 m/s.

·Par rapport au solide voiture la trajectoire de la mouche est un point immobile. Par rapport au solide voiture la vitesse de la mouche est V ' = 0 m / s puisqu'elle reste "fixée" au plafond.

Cet exemple montre qu'il faut toujours préciser le référentiel par rapport auquel on étudie le mouvement d'un mobile.

Remarque : Si la mouche se met à voler dans la voiture, son mouvement par rapport au référentiel "Terre" sera très différent de son mouvement par rapport au référentiel "voiture".

·Un référentiel est un solide. Il est déterminé par la donnée de quatre points non coplanaires. On prend souvent comme référentiel le solide Terre.

On peut également être amené à prendre un "solide" moins concret :

·Le référentiel Géocentrique (solide imaginaire construit à partir des centres de la Terre et de trois étoiles, les 4 points n'étant pas dans un même plan) est utilisé pour étudier le mouvement des satellites terrestres.

·Le référentiel Héliocentrique (solide imaginaire construit à partir des centres du soleil et de trois autres étoiles, les 4 points n'étant pas coplanaires) est utilisé pour étudier les voyages interplanétaires (Terre ® Mars par exemple) ou pour étudier le mouvement des planètes autour du Soleil.

Dans beaucoup d'exercices de terminale S, on utilisera le référentiel terrestre.

·Un repère d'espace orthonormé, lié à un référentiel, est un système d'axes orthogonaux et normés, muni d'une origine O. Dans ce repère, on peut exprimer les coordonnées du mobile ponctuel étudié.

Dans un référentiel, il est possible de tracer une infinité de repères orthonormés différents . On choisit celui qui est le mieux adapté au problème posé.

L'étude du mouvement d'un mobile nécessite non seulement le choix d'un référentiel auquel on associe un repère mais encore le choix d'une horloge permettant de mesurer le temps.


1-2 Trajectoire d'un mobile ponctuel

Dans un référentiel donné, la trajectoire d'un mobile ponctuel est formée par l'ensemble des positions successives occupées par le mobile au cours du temps.


1-3 Vecteur position d'un mobile ponctuel

Dans le repère orthonormé , lié au référentiel d'étude, la position d'un mobile ponctuel est, à l'instant t, donnée par le vecteur position :

(t) = x (t) + y (t) + z (t) (1)

A cet instant t, le mobile se trouve à une certaine distance de l'origine O du repère donnée par :

(2)


1-4 Vecteur vitesse moyenne d'un mobile ponctuel

Si, dans un référentiel donné, entre les dates t et t', le mobile se déplace de M en M', alors le vecteur vitesse moyenne entre ces deux dates est :

(3)

 


1-5 Vecteur vitesse instantanée d'un mobile ponctuel

Si, dans un référentiel donné, les dates t et t' figurant dans l'expression précédente se rapprochent de plus en plus, on montre, en mathématiques, que la limite du vecteur vitesse moyenne est la dérivée par rapport au temps du vecteur position . Cette limite est le vecteur vitesse instantanée (à l'instant t) du mobile ponctuel :

(4)

·le point d'application de est le point M où se trouve le mobile ponctuel à cet instant.

·la direction de est celle de la tangente en M à la trajectoire suivie par le point étudié.

·le sens de est celui du mouvement.

·la longueur de représente, à une échelle donnée, la norme du vecteur vitesse à cet instant.

Les coordonnées de dans le repère orthonormé , sont données ci-dessous.

La vitesse s'exprime en m / s dans le système international d'unités.


1-6 Vecteur accélération d'un mobile ponctuel

·Dans un référentiel donné le vecteur vitesse d'un mobile ponctuel peut changer de valeur et (ou) de direction. Ce changement éventuel peut se faire plus ou moins rapidement.

·Par définition, on appelle vecteur accélération instantanée du mobile ponctuel la dérivée par rapport au temps du vecteur vitesse :

(5)

·le point d'application de est le point M où se trouve le mobile ponctuel à cet instant.

·le vecteur est dirigée vers "l'intérieur" de la trajectoire.

·la longueur de représente, à une échelle donnée, la norme du vecteur accélération à cet instant.

·Les coordonnées de dans le repère orthonormé , sont données ci-dessous.

·L'accélération s'exprime en m / s² dans le système international d'unités.

Remarque : Insistons sur le fait que si le vecteur garde la même norme mais change de direction, il y a déjà un vecteur accélération. C'est le cas, notamment, des mouvements circulaires uniformes sur lesquels nous reviendrons dans une prochaine leçon.


1-7 Coordonnées des vecteurs position, vitesse et accélération dans un repère orthonormé

Dans le repère , lié au référentiel d'étude, les coordonnées des vecteurs position , vitesse et accélération d'un mobile ponctuel sont :

(6)

1-8 Cas d'un mobile non ponctuel

Dans le cas d'un mobile non ponctuel (un solide, par exemple), chaque point possède sa propre trajectoire, sa propre vitesse, sa propre accélération.

En classe terminale, on se limite souvent à l'étude du mouvement du centre d'inertie G du système.

La détermination de la trajectoire de G, de son vecteur vitesse instantanée et de son vecteur accélération instantanée, à partir des équations horaires est faite dans le problème résolu 11-A.


1-9 Remarque
: Des compléments de cinématique sont donnés dans le lexique (cliquer ici)


2- PREMIERE LOI DE NEWTON (Principe de l’inertie)

En classe de première nous avons déjà évoqué les trois lois de Newton.


2-1 Première loi de Newton

·Un référentiel Galiléen est un référentiel dans lequel le principe de l’inertie est vérifié :

Dans un référentiel Galiléen, si la somme = des forces extérieures appliquées à un solide est nulle alors le vecteur vitesse du centre d'inertie de ce solide ne varie pas.

De façon équivalente, on peut énoncer :

Dans un référentiel Galiléen, si la somme des forces extérieures appliquées à un solide est nulle alors le centre d’inertie de ce solide est soit au repos, soit en mouvement rectiligne uniforme.

·La réciproque est vraie :

Dans un référentiel Galiléen, si le vecteur vitesse du centre d'inertie d'un solide ne varie pas alors la somme = des forces extérieures appliquées au solide est nulle.

De façon équivalente, on peut énoncer :

Si, dans un référentiel Galiléen, le centre d’inertie d'un solide est soit au repos, soit en mouvement rectiligne uniforme, alors la somme vectorielle des forces extérieures appliquées à ce solide est nulle.

·Rassemblons les énoncés de la première loi de Newton :

Dans certains référentiels, appelés référentiels Galiléens, si la somme des forces extérieures appliquées à un solide est nulle alors le centre d’inertie G de ce solide est soit au repos, soit en mouvement rectiligne uniforme, et réciproquement.

On peut écrire :

reste constant en direction, sens et norme (dans un référentiel Galilen). (7)

Remarque :

·Contrairement à ce que croyaient les anciens, un solide peut donc se déplacer bien que la somme des forces appliquées à ce solide soit nulle. Le véritable opposition n'est pas entre mouvement et repos mais entre mouvement rectiligne uniforme (le repos n'est qu'un cas particulier) et les autres types de mouvement. C'est un des mérites de Newton (1642-1727) d'avoir bien compris cela.

·Si la somme des forces extérieures appliquées à un solide est nulle on dit que ce solide est pseudo-isolé.

·Comme cela a été rappelé en haut de page, un référentiel est un solide. Il est déterminé par la donnée de quatre points non coplanaires. On prend souvent un solide très concret comme une table d'expériences (référentiel du laboratoire). On peut également être amené à prendre un "solide" moins concret; c'est ce que l'on fait en particulier quand on choisit le référentiel de Copernic, "solide" construit à partir du centre du système solaire et de trois étoiles.

·Le référentiel Galiléen absolument parfait n’existe pas.

·Le référentiel Héliocentrique (solide formé par les centres, non coplanaires, du soleil et de trois autres étoiles) peut être considéré comme étant Galiléen pour étudier les voyages interplanétaires (Terre ® Mars par exemple) ou pour étudier le mouvement des planètes autour du Soleil.

·Le référentiel Géocentrique (solide formé par les centres, non coplanaires, de la Terre et de trois étoiles) est considéré comme étant Galiléen pour étudier le mouvement des satellites terrestres.

·Le référentiel terrestre (référentiel du laboratoire, solide Terre) peut être considéré comme étant Galiléen pour les expériences dont la durée est courte par rapport au jour sidéral, ce qui est le cas de la plupart des expériences de mécanique réalisées sur Terre.

·Tous les référentiels en mouvement de translation rectiligne et uniforme par rapport à un référentiel Galiléen sont eux-mêmes Galiléens.


2-2 Exemples

·Exemple n° 1 : Mouvement du centre d'inertie d'un solide pseudo-isolé dans un référentiel Galiléen.

Nous prenons comme référentiel spatial le solide Terre.

Lançons sur une table à coussin d'air horizontale un palet autoporteur muni d'un éclateur axial.

Les frottements étant nuls, les deux seules forces agissant sur le palet sont :

·le poids (essentiellement action gravitationnelle de la Terre sur le mobile)

·la force (action verticale de la table sur le mobile)

En absence de frottement la somme des forces agissant sur le mobile est nulle :

(8)

L'éclateur laisse sur le papier une trace concrétisant sa trajectoire. La trajectoire du centre d'inertie, située juste au-dessus de l'éclateur est semblable à celle de l'éclateur.

Cette trajectoire est la suivante :

·Exemple 2 : Mouvement du centre d'inertie d'un solide pseudo-isolé dans un référentiel non Galiléen.

On reproduit l'expérience précédente mais on agite le chariot supportant la table à coussin d'air pendant que le palet se déplace.

Par rapport au référentiel "chariot agité" la trajectoire du centre d'inertie est maintenant la suivante :

Le solide chariot n'est pas, ici, un référentiel Galiléen car, bien que la somme des forces agissant sur le palet soit nulle, son centre d'inertie n'est pas animé d'un mouvement rectiligne uniforme.

Dans le paragraphe suivant nous allons examiner, d'un point de vue semi-quantitatif, ce que l'on peut dire de la somme des forces appliquées à un solide si la vitesse de son centre d'inertie par rapport à un référentiel Galiléen varie (c'est à dire si ce centre d'inertie G se déplace d'un mouvement qui n'est pas rectiligne uniforme).


3- DEUXIEME LOI DE NEWTON


Il est facile de constater, dans le référentiel terrestre supposé Galiléen, qu'une force peut ralentir ou accélérer le mouvement d'un solide.

La deuxième loi de Newton, énoncée en classe de première d'un point de vue semi-quantitatif, sera cette année précisée grâce à l'introduction du vecteur accélération du centre d'inertie du solide étudié (l'étude des systèmes déformables n'est pas au programme).


3-1
Deuxième loi de Newton
(Rappel de l'ènoncé semi-quantitatif donné en classe de première)

Dans un référentiel Galiléen, si le vecteur vitesse du centre d'inertie d'un solide varie, alors la somme = des forces extérieures appliquées à ce solide n'est pas nulle et réciproquement. La direction et le sens de cette somme sont ceux de la variation de entre deux instants proches.

Exemple : Mouvement rectiligne accéléré

 

·Référentiel Galiléen : le solide Terre.

·Système étudié : le palet.

·Le solide est soumis à 3 forces extérieures :

· : essentiellement action gravitationnelle de la Terre sur le palet.

· : action normale de la piste sur le palet. Ici, grâce au coussin d'air, on néglige les frottements.

· : action du fil sur le palet.

·La somme + + = + = (9) des forces extérieures appliquées à ce solide n'est pas nulle.

·Etudions la variation de la vitesse du centre d'inertie du palet.

·Représentons les vecteurs vitesses :

·Déterminons les variations de vitesse :

= - = 1,063 - 0,563 = 0,500
(10)

= - = 1,313 - 0,813 = 0,500 (11)

·Conformément à la deuxième loi de Newton, la somme des forces extérieures appliquées au solide :
+ + = + = (12)

a bien la direction et le sens de la variation = 0,500 (13) du vecteur .

·De plus, ici, la variation de vitesse = (14).

Cela est lié au fait que la force est un vecteur constant.

·L'introduction du vecteur accélération du centre d'inertie du solide va permettre de donner un énoncé plus précis de la deuxième loi de Newton.


3-2
Deuxième loi de Newton
(Enoncé de la classe de terminale)

Dans un référentiel Galiléen, la somme des forces extérieures appliquées à un solide est égale au produit de la masse m du solide par l'accélération de son centre d'inertie :

(15)

·En mécanique classique, on identifie la masse inertielle figurant dans cette loi de Newton et la masse gravitationnelle qui intervient dans la force de gravitation.

·On peut considérer cette deuxième loi de Newton loi comme un principe justifié par toutes les conséquences qu'on en tire.

Les chapitres qui suivront permettront de l'appliquer de très nombreuses fois.

·Une première application, reprenant le montage précédent, est faite dans le problème résolu 11-B.

Remarque : Si = alors = et, par conséquent, reste constant en direction, sens et norme (on retrouve la première loi de Newton).


4- TROISIEME LOI DE NEWTON


4-1 Interaction de deux corps

On dit que deux corps A et B sont en interaction si l'état de mouvement ou de repos de l'un (A) dépend de l'existence de l'autre (B). Une interaction entre deux corps A et B suppose toujours deux actions réciproques : celle de A sur B et celle de B sur A.


4-2 Troisième loi de Newton
(Loi des actions réciproques) :

A une interaction entre un objet A et un objet B correspondent deux forces : l'une exercée par A sur B, notée A / B, l'autre exercée par B sur A, notée B / A . Les deux forces associées à une même interaction sont toujours égales et opposées :

A / B = - B / A (16)


4-3 Exemples

Exemple n° 1 : Interaction à distance Terre / Lune.

La Terre attire la Lune avec une force . Réciproquement, la Lune attire la Terre avec une force égale et opposée à :

  = - (17)

Exemple n° 2 : Interaction de contact solide / sol.

Un solide, immobile par rapport à la Terre, appuie sur le sol horizontal avec une force . Réciproquement, le sol soutient le solide, avec une force , telle que :

= - (18)

Remarque :

·Le vecteur est différent du vecteur poids du solide (leur point d'application, notamment, est différent). Le vecteur existe même en l'absence du sol. Si on confond le poids appliqué au centre de gravité G avec la force de Newton exercée par la Terre sur le solide, l'action réciproque représentant l'action du solide sur la Terre serait appliquée au centre de la Terre.

·Sur le solide S s'exercent deux forces extérieures :

· (poids) : essentiellement action gravitationnelle de la Terre sur le solide S (force à distance)

· : action verticale du sol sur le solide S (force de contact)

Comme le solide est au repos dans le référentiel terrestre (Galiléen), on peut, d'après le principe de l'inertie, écrire :

+ = (19)


4-4 Exercice : Inventaire des forces agissant sur un solide

Enoncé : Un joueur lance verticalement vers le haut un médecine-ball (ballon rempli de sable, de masse voisine de 1 kg).

a- Représenter sur un diagramme les interactions entre le ballon et les autres objets pendant le lancer, la montée, la descente, la réception.

b- Pour chacune des quatre phases on précisera les forces extérieures agissant sur le ballon (faire quatre figures).

On négligera la poussée d'Archimède s'exerçant sur le ballon mais on tiendra compte des frottements entre le ballon et l'air.

Solution :

a- Représentons sur un diagramme les interactions entre le ballon et les autres objets pendant les quatre phases du mouvement du ballon par rapport au référentiel terrestre, supposée Galiléen.

Les objets en interaction sont représentés par des ellipses. Une interaction est représentée par un trait avec une flèche à chaque extrémité .

b- Pour chacune des quatre phases précisons, sur un schéma, les forces extérieures agissant sur le ballon. Les forces sont tracées à partir de centre d'inertie G du ballon.

Terre / ballon est la force exercée par la Terre sur le ballon que l'on confond avec le poids du ballon. main / ballon est la force exercée par la main du joueur sur le ballon.

air / ballon est la force de frottement exercée par l'air sur le ballon.

On néglige la poussée d'Archimède par rapport aux autres forces.

 

Lancer : La somme des forces extérieures agissant sur le ballon est verticale, orientée vers le haut. Le vecteur accélération = / m est également vertical, orienté le haut (2° loi de Newton). Le vecteur dirigé vers le haut a une norme croissante (mouvement accéléré).

Montée : La somme des deux forces extérieures agissant sur le ballon est verticale, orientée vers le bas. Le vecteur accélération = / m est également vertical, orienté le bas (2° loi de Newton). Le vecteur dirigé vers le haut a une norme décroissante (mouvement retardé).

Descente : La somme des deux forces extérieures agissant sur le ballon est verticale, orientée vers le bas. Le vecteur accélération = / m est également vertical, orienté le bas (2° loi de Newton). Le vecteur dirigé vers le bas a une norme croissante (mouvement accéléré).

Réception : La somme des forces extérieures agissant sur le ballon est verticale, orientée vers le haut. Le vecteur accélération = / m est également vertical, orienté le haut (2° loi de Newton). Le vecteur dirigé vers le bas a une norme décroissante (mouvement retardé).


5- LES TROIS LOIS DE NEWTON


Rassemblons, pour terminer cette leçon, les 3 lois de Newton qui gouvernent la mécanique classique.

Première loi de Newton (Principe de l’inertie) 

Dans certains référentiels, appelés référentiels Galiléens, si la somme des forces extérieures appliquées à un solide est nulle alors le centre d’inertie G de ce solide est soit au repos, soit en mouvement rectiligne uniforme, et réciproquement.

On peut écrire :

reste constant en direction, sens et norme (dans un référentiel Galilen). (7)

Deuxième loi de Newton (Principe fondamental de la mécanique classique)

Dans un référentiel Galiléen, la somme des forces extérieures appliquées à un solide est égale au produit de la masse m du solide par l'accélération de son centre d'inertie :

(15)

Troisième loi de Newton (Loi des actions réciproques)

A une interaction entre un objet A et un objet B correspondent deux forces : l'une exercée par A sur B, notée A / B, l'autre exercée par B sur A, notée B / A . Les deux forces associées à une même interaction sont toujours égales et opposées :

A / B = - B / A (16)

 

A VOIR :

Problème résolu n° 11 A : Mouvement parabolique d'un plongeur.

Problème résolu n° 11 B : Mouvement sur une table à coussin d'air.

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