Rappel :
A la date t = 0, un plongeur quitte un tremplin avec une vitesse
, de valeur 4,50 m / s, inclinée de a = 40° par rapport à l’horizontale. On étudie le mouvement du centre d’inertie G du plongeur par rapport au référentiel terrestre supposé Galiléen. On associe à ce référentiel un repère orthonormé ( O,
) représenté sur le schéma ci-dessous.
· 1 Donner, à l’instant du départ, les coordonnées du vecteur position
, du vecteur vitesse
et du vecteur pesanteur
. (corrigé)
On donne g = 9,8 m / s² et OG0 = 6 m = y0.
· 2 En appliquant le théorème du centre d’inertie qui sera étudié plus loin dans le cours on peut établir les équations horaires donnant la position du centre d’inertie G à chaque instant de la trajectoire aérienne. On trouve :
= x
+ y
avec :
x = V0 cos a t
(1)
y = -
g t2+ V0 sin a t + y0
(2)
Trouver l’équation littérale y = f ( x ) de la trajectoire.
Vérifier que cette équation, avec les valeurs numériques de l’énoncé, s’écrit :
y = - 0,41 x2 + 0,84 x + 6 (c)
· 3 Déterminer littéralement les coordonnées du vecteur vitesse
et du vecteur accélération
à l’instant t.
Représenter ces deux vecteurs au point G, sur le schéma ci-dessus. (c)
· 4 Calculer les coordonnées du point H où le plongeur pénètre dans l’eau.
Calculer la date et la vitesse du plongeur à l’arrivée au point H. (c)
SOLUTION :
· 1 (énoncé) Donnons, à l’instant du départ, les coordonnées du vecteur position, du vecteur vitesse
et du vecteur pesanteur
:
![]()
Lors du mouvement du plongeur, les coordonnées du vecteur position
et du vecteur vitesse
du centre d’inertie G changeront. Par contre, les coordonnées du vecteur pesanteur
resteront les mêmes.
· 2 (e) En appliquant le théorème du centre d’inertie qui sera étudié plus loin dans le cours on peut établir les équations horaires donnant la position du centre d’inertie G à chaque instant de la trajectoire aérienne. Dans ce problème, l'énoncé donne :
= x
+ y
avec :
x = V0 cos a t
(1)
y = -
g t2+ V0 sin a t + y0
(2)
·
Cherchons l’équation littérale y = f ( x ) de la trajectoire.
La relation (1) donne t = x / Vo cos a .
Portons dans la relation (2) :
y = - ( g / 2V0²cos² a ) x² + tan a x + y0
(3)
Numériquement avec g = 9,8 m/s², V0 = 4,50 m/s, y0 = 6 m et a = 40°, on obtient :
y = - 0,41 x² + 0,84 x + 6
(4)
· 3 (e) Déterminons littéralement les coordonnées du vecteur vitesseet du vecteur accélération
à l’instant t.
·
Rappelons les coordonnées du vecteur position
= x
+ y
avec :
x = V0 cos a t
(1)
y = -
g t2+ V0 sin a t + y0
(2)
·
En dérivant par rapport au temps le vecteur position on obtient le vecteur vitesse :
(5)
Les coordonnées sont :
Vx = dx / dt = V0 cos a
(6)
Vy = dy / dt = - g t + Vo sin a
(7)
On peut également écrire :
= Vx
+ Vy
![]()
(8)
![]()
Vx = 3,45 m/s
(6 bis)
Vy = - 9,8 t + 2,89
(7 bis)
On peut également écrire :
= 3,45
+ ( - 9,8 t + 2,89 )
(8 bis)
·
En dérivant par rapport au temps le vecteur vitesse on obtient le vecteur accélération :
(9)
Les coordonnées sont :
ax = dVx / dt
(10)
ay = dVy / dt
(11)
On peut également écrire :
= ax
+ ay
![]()
(12)
ax = 0 m/ s²
(10 bis)
ay = - 9,8 m/s²
(11 bs)
On peut également écrire :
= 0
– 9,8
![]()
(12 bis)
Remarque : Le vecteur accélération
s'obtient en dérivant une fois le vecteur vitesse :
c'est à dire en dérivant deux fois le vecteur position
. On peut écrire :
=
![]()
(13)
· 4 (e) Calculons les coordonnées du point H où le plongeur pénètre dans l’eau.Lorsque G pénètre dans l’eau au point H on a yH = 0 m. On peut porter cette valeur dans (2) ou dans (4) :
La relation
(4)
y = - 0,41 x² + 0,84 x + 6
s'écrit :
0 = - 0,41 x² + 0,84 x + 6
Calculons le discriminant D = b² - 4ac = 10,55
On en déduit les deux solutions :
·
x1 = ( - b + Ö D ) / 2a = - 2,93 m (valeur à éliminer car xH est nécessairement positif d'après le schéma).
·
x2 = ( - b - Ö D ) / 2a = 4,96 m
Les coordonnées du point H sont donc :
xH = 4,96 m et yH = 0 m
(14)
·
La date s’obtient en portant xH = 4,96 m dans la relation (1) xH = Vo ´ cos a ´ tH qui donne :
tH = xH / Vo ´ cos a = 4,96 / 4,5 cos ( 40° ) = 4,96 / 3,45
tH = 1,44 s
(15)
·
En portant tH = 1,44 s dans (6) et (7) on obtient les coordonnées du vecteur
vitesse de G à l'arrivée au point H :
VHx = 3,45 m/s
VHy = - 9,8 ´ tH + 2,89 = - 9,8 ´ 1,44 + 2,89 = - 11,1 m/s
La norme du vecteur
est :
= 11,7 m/s
(16)
Remarque : Le théorème de l'énergie cinétique, étudié en classe de première, donne plus rapidement la valeur de
connaissant la valeur de Vo.
Enoncé particulier de ce théorème : Dans un référentiel Galiléen, la variation de l'énergie cinétique d'un solide, entre deux instants t initial et t final, est égale à la somme des travaux des forces extérieures appliquées au solide entre ces deux instants.
Nous ferons l'hypothèse que tous les points du plongeur ont la même vitesse, à chaque instant.
m VH² -
m VO² = W(
) = + m g h
VH² = VO² + 2 g h = 4,5² + 2 ´ 9,8 ´ 6 = 137,85 m 2 / s 2
VH =
= 11,7 m/s
(16 bis)
A VOIR :
Problème résolu n° 11 A ci-dessus : Mouvement parabolique d'un plongeur.
Problème résolu n° 11 B : Mouvement sur une table à coussin d'air.