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PROBLEME RESOLU n° 11-B : Mouvement sur une table à coussin d'air

 

Rappel : Deuxième loi de Newton (Enoncé de la classe de terminale)

Dans un référentiel Galiléen, la somme des forces extérieures appliquées à un solide est égale au produit de la masse m du solide par l'accélération de son centre d'inertie :


ENONCE :

 
Le mobile autoporteur utilisé pour réaliser l'expérience schématisée, ci-dessous, sur la table à coussin d'air, a une masse m = 615 g. On néglige tous les frottements, ainsi que la masse de la poulie.

Une étude de l'enregistrement a permis de calculer les vitesses à différentes dates (voir la leçon précédente).

· 1 Représenter le graphe associé à v = f (t). (c)

· 2 Déterminer le vecteur accélération du centre d'inertie. (c)

· 3 Enoncer la deuxième loi de Newton. En déduire la valeur des forces extérieures s'exerçant sur le mobile autoporteur. (c)

· 4 Calculer la valeur des forces extérieures s'exerçant sur le solide suspendu à l'extrémité de la portion verticale du fil. (c)

On donne g = 9,80 n / kg.


SOLUTION :


· 1 (e) Représentons le graphe associé à v = f (t)

Nous remarquons que lors de l'enregistrement de la trace Go, à la date to = 0 s, le mobile possédait déjà un vitesse Vo voisine de 0,32 m/s.


·
2
(e) Déterminons le vecteur accélération du centre d'inertie.

Le vecteur accélération s'écrit :

= a (1)

Calculons sa valeur :

a = (2)

La valeur de a est égale au coefficient directeur de la tangente à la courbe v = f(t). Ici, la tangente est confondue avec la droite tracée.

a = np / mn = 0,905 / 0,146

a = 6,20 m / s² (3)

 


·
3
(e) Calculons la valeur des forces extérieures s'exerçant sur le mobile autoporteur (palet).

 

· Référentiel Galiléen : le solide Terre.

· Système étudié : le mobile autoporteur.

· Le mobile est soumis à 3 forces extérieures :

(poids) : essentiellement action gravitationnelle de la Terre sur le mobile.

: action normale de la piste sur le mobile. Ici, grâce au coussin d'air, on néglige les frottements.

: action du fil sur le mobile.

· Appliquons la deuxième loi de Newton :

Dans un référentiel Galiléen, la somme des forces extérieures appliquées à un solide est égale au produit de la masse m du solide par l'accélération de son centre d'inertie.

Ici, nous écrirons donc :

+ + = m (4)

Projetons sur les vecteurs de base :

Px + Rx + Tx = m ax (5)

Py + Ry + Ty = m ay (6)

Soit, en remarquant que ay = 0 m/s² , Tx = T, Ty = 0 N, Px = 0 n, Rx = 0 N, Py = - P, Ry = R

0 + 0 + T = m ax (5 bis)

- P + R + 0 = 0 (6 bis)

(T, P et R désignent les normes positives des vecteurs forces)

On en déduit :

T = m ax = 0,615 ´ 6,20

R = P = m ´ g = 0,615 ´ 9,80

Finalement :

T = 3,81 N (7)

R = 6,03 N (8)

P = 6,03 N (9)


· 4 (e) Calculons la valeur des forces extérieures s'exerçant sur le solide suspendu à l'extrémité de la portion verticale du fil.

Sur le solide suspendu à l'extrémité de la portion verticale du fil s'exercent deux forces :

: essentiellement action gravitationnelle de la Terre sur le solide.

: action du fil sur le solide.

Si la poulie est de masse négligeable et si les frottements sont négligeables, alors le fil est tendu de la même façon avant et après la poulie :

T ' = T = 3,81 N (10)

De plus, les deux solides de masse m et M ont, à chaque instant, même valeur de l'accélération :

a ' = a = 6,20 m / s² (11)

La deuxième loi de Newton s'écrit pour le solide de masse M :

+ = M (12)

Projetons sur la verticale descendante :

P ' - T ' = M ´ a ' (13)

M ´ g - T ' = M ´ a '

M ´ 9,80 - 3,81 = M ´ 6,20

M (9,80 - 6,20) = 3,81

M = 3,81 / 3,60 = 1,06 kg (14)

Finalement les deux forces extérieures agissant sur le solide de masse M sont :

P ' = M ´ g = 10,4 N (15)

T ' = 3,81 N (16)

Si la masse de la poulie n'était pas négligeable, alors T ' serait supérieur à 3,81 N.

 

A VOIR :

Problème résolu n° 11 A : Mouvement parabolique d'un plongeur.

Problème résolu n° 11 B ci-dessus : Mouvement sur une table à coussin d'air.

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