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PROBLEME A RESOUDRE n° 12-C : Recherche d'un modèle de force de frottement (Bac 2005- La Réunion)

(Calculatrice autorisée)

 

ENONCE :


Données pour l'exercice :

·Volume de la bille en acier : V = 0,52 cm3

·Masse volumique de l'acier : r A = 7850 kg/m3

·Masse volumique de l'huile : r H = 920 kg/m3

·Accélération de la pesanteur au lieu de l'expérience : g = 9,8 m/s²

On réalise la chronophotographie de la chute d'une bille sphérique en acier dans l'huile. Pour ce faire, on filme la bille dans une éprouvette remplie d'huile, avec un caméscope numérique au rythme de 50 images par seconde. Grâce à un traitement adéquat des images, on obtient le document 1 (voir en fin de sujet). On repère ensuite la position, sur chaque image, du centre d'inertie de la bille : M0 correspond à sa position initiale, celle-ci étant lâchée, à l'instant t0 pris comme origine des dates, sans vitesse initiale.


·
A- Exploitation de l'enregistrement

A.1. En vous aidant du document 1 et du document 2 (en fin de sujet), préciser les caractéristiques du mouvement de la bille entre les positions M15 et M21. Quelle est la loi de Newton ainsi illustrée ?

A.2. A partir des conditions de prise de vue données ci-dessus, justifier les valeurs qui apparaissent dans la colonne temps t (ms) du tableau du document 2.


·
B- Etude cinématique

Le point M0 étant pris comme origine des espaces et des temps (y = 0 et t = 0), on repère les différentes hauteurs réelles de chute de la bille dans l'huile, notées y, aux dates t correspondantes. On calcule alors les vitesses correspondantes. Les différentes grandeurs sont notées dans le tableau du document 2.

B.1. Calculer la vitesse de la bille pour la position M6.

B.2. Calculer l'accélération de la bille pour la position M18. Le résultat obtenu est-il compatible avec celui obtenu au A-1 ? Argumenter la réponse.

NB : Pour les questions B-1 et B-2, on aura soin de préciser scrupuleusement la méthode employée pour déterminer les valeurs de la vitesse et de l'accélération aux points demandés.


·
C- Etude dynamique

C.1. Sur un schéma, faire figurer, sans souci d'échelle, toutes les forces s'exerçant au centre d'inertie G de la bille tombant dans l'huile.

C.2. Calculer la masse m de la bille.

C.3. Donner l'expression littérale de la poussée d'Archimède, PA, s'exerçant sur la bille plongée dans l'huile. Calculer sa valeur.


·
D- Equation différentielle du mouvement de la bille

Soit f l'intensité de la force de frottement à laquelle est soumise la bille en mouvement dans l'huile.

D.1. Par application du théorème du centre d'inertie que l'on énoncera, établir que le mouvement de la bille obéit à une équation différentielle du type : dv/dt + f/m = A, où A est une constante et v la vitesse de la bille.

D.2. Donner l'expression littérale de A puis calculer sa valeur. Préciser son unité.


·
E- Recherche de modèles pour la force de frottement

On se propose de déterminer expérimentalement si l'intensité de la force de frottement f à laquelle est soumise la bille en mouvement dans l'huile est de la forme f = k1 . v ou f = k2 . v², k1 et k2 étant des constantes et v la vitesse de la bille.

On utilise un tableur pour représenter la vitesse de la bille en fonction du temps. On obtient le graphe du document 3 (en fin de sujet) : les points expérimentaux obtenus y sont représentés sous forme de losange. On détermine ainsi la valeur de la vitesse limite de chute de la bille :

v lim = 0,95 m/s

E.1. Première hypothèse : f = k1 . v

E.1.a Montrer que l'équation différentielle précédente peut alors se mettre sous la forme dv/dt + B1.v = A où A est la constante déterminée dans la partie D.

E.1.b Lorsque la vitesse de la bille atteint la vitesse limite vilim, que devient le terme dv/dt de l'équation différentielle précédente ? En déduire l'expression littérale de B1 en fonction de A et v lim. Calculer alors la valeur de la constante k1 et préciser son unité.

E.2. Deuxième hypothèse : f = k2 . v²

Dans ce cas, l'équation différentielle se met sous la forme : dv / dt + B2.v² = A

Déterminer l'expression littérale de B2 en fonction de A et vlim. Calculer alors la valeur de la constante k2 et préciser son unité.

E.3. Comparaison des deux modèles précédents :

Grâce au tableur et à la méthode d'Euler, on détermine les courbes théoriques correspondant aux deux modèles précédents. Le premier modèle sera noté "modèle n° 1" sur le document 3 (en fin de sujet) correspond à l'hypothèse d'une force de frottement du type f = k1 . v. Le second modèle noté "modèle n° 2" correspond à l'hypothèse d'une force de frottement du type f = k2 . v².

En vous aidant du document 3, préciser les domaines de vitesse, sous forme d'un encadrement, pour lesquels chacun des deux modèles précédents semble coïncider le mieux avec les points expérimentaux.

 

 

Positions de la bille

t (ms)

y (mm)

v (m/s)

M0

0

0,0

0,00

M1

20

4,5

0,23

M2

40

9,0

0,34

M3

60

18,0

0,46

M4

80

27,5

0,58

M5

100

41,0

0,64

M6

120

53,0

.

M7

140

69,0

0,75

M8

160

83,0

0,80

M9

180

101,0

0,88

M10

200

118,0

0,90

M11

220

137,0

0,93

M12

240

155,0

0,93

M13

260

174,0

0,95

M14

280

193,0

0,93

M15

300

211,0

0,95

M16

320

231,0

0,95

M17

340

249,0

0,95

M18

360

269,0

0,95

M19

380

287,0

0,95

M20

400

307,0

0,95

M21

420

325,0

.

Document 2 : Tableau donnant la vitesse de la bille suivant sa position

 

 

 

Après avoir résolu ce problème, consultez la solution type.

 

A VOIR :

Problème résolu de la leçon 12 : Chute verticale libre, sans vitesse initiale.

Problème résolu de la leçon 12 : Chute verticale d'une bille soumise à une force de frottement fluide.

Problème résolu n° 12-A : Chute libre d'une bille possédant une vitesse initiale verticale.

Problème résolu n° 12-B : Résolution d'une équation différentielle - Méthode graphique d'Euler.

Problème n° 12 C ci-dessus (à résoudre) : Recherche d'un modèle de force de frottement (Bac 2005 - La Réunion).

Problème résolu n° 12-D : Chute verticale d'un boulet (Bac 2011 - France).

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