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PROBLEME RESOLU n° 12-B : Résolution d'une équation différentielle - Méthode graphique d'Euler

 

ENONCE :

 

Lors de l'étude, dans la leçon 12, de la chute verticale d'une bille de verre (rayon r, masse volumique m) dans un récipient contenant de l'huile de ricin (masse volumique mo, coefficient de viscosité h) nous avons vu que la bille était soumise à trois forces :

·Le poids = p r3 m g , essentiellement dû à l'action gravitationnelle de la Terre sur la bille

·La poussée d'Archimède = - p r3 m o g exercée par le liquide sur la bille. Elle s'exercerait sur la bille même si celle-ci était au repos.

·La force de frottement fluide = - 6 p h r V également exercée par le liquide sur la bille ( V > 0 ). Elle ne s'exerce sur la bille que si celle-ci est en mouvement.

Nous avons alors trouvé l'équation différentielle du premier ordre relative à la vitesse V de la bille :

+ = C (1) avec :

t = (2 m / 9 h ) r 2 (2) et C = g (1 - mo / m) (3)


·
1
Préciser les unités avec lesquelles s'expriment les constantes t et C. Calculer leur valeur numérique. (c)

On donne :

r = 1,00 mm m = 2600 kg / m3 mo = 970 kg / m3 h = 5,00 Pa.s g = 9,81 N / kg


·
2
Déterminer l'accélération initiale de la bille et la vitesse limite qu'elle atteint. (c)


·
3
A l'aide de la méthode graphique d'Euler, dont on exposera le principe, procéder à une résolution approchée de l'équation différentielle relative à la vitesse en adoptant un pas de durée D t = 5,00 ´ 10 - 5 s. (c)


·
4
Commenter brièvement le graphe obtenu. (c)


· 5 Compléments : La force de frottement est, dans cet exercice, proportionnelle à V. Il en résulte que l'équation différentielle relative à la vitesse :

+ = C (1) admet une solution analytique assez facile à exprimer.

· Montrer que cette solution analytique est de la forme :

V = A exp ( - t / t ) + B

· Déterminer les valeurs littérales puis numériques des constante A et B. (c)

 

SOLUTION :

 

· 1- (e) Calculons les valeurs numériques des constantes t et C qui apparaissent dans l'équation différentielle du premier ordre relative à la vitesse V de la bille qui tombe dans le liquide :

+ = C (1) avec :

t = (2 m / 9 h ) r 2 (2) et C = g (1 - mo / m) (3)

Unités : Les trois termes de l'équation (1) doivent avoir les mêmes unités.

Par conséquent C et s'expriment en m / s² comme le premier terme  .

Cela implique que C soit en m / s² et t en seconde lorsqu'on utilise le système international d'unités (ce qui est très souvent le cas en physique).

Calculs :

·Constante t = (2 m / 9 h ) r 2 = (2 ´ 2600 / 9 ´ 5).(10 - 3) 2

·Constante C = g (1 - mo / m) = 9,81 ( 1 - 970 / 2600)

t = (2 m / 9 h ) r 2 = 1,156 ´ 10 - 4 s1,16 ´ 10 - 4 s (4)

C = g (1 - mo / m) 6,15 m / s² (5)

+ = C (1)


· 2 (e) Déterminons l'accélération initiale a (0) de la bille et la vitesse limite qu'elle atteint.

· Avec t 1,16 ´ 10 - 4 s (4) et C 6,15 m / s² (5) l'équation différentielle (1) s'écrit :

+ = C (1)

+ 8,65 x 10 3 V = 6,15 (6)

A l'instant t = 0 s, la vitesse initiale est nulle V (o) = 0 m / s. D'après l'équation (1) l'accélération initiale est :

a (o) = ( ) (o) 6,15 m / s² (7)

Cette accélération va diminuer au cours du temps.

Rappelons que, dans l'air, au voisinage du sol terrestre, l'accélération initiale serait de 9,81 m / s².

· La vitesse limite Vlim vers laquelle tend la bille est obtenue lorsque les forces résistantes (poussée d'Archimède et force de frottement fluide) compensent le poids moteur.

La somme des forces extérieures agissant sur la bille devient alors nulle, de même que l'accélération (voir la 1° loi de Newton).

L'équation+ 8,65 x 10 3 V = 6,15 (6) s'écrit alors :

0 + 8,65 x 10 3 Vlim = 6,15

Vlim = 6,15 / (8,65 x 10 3)

Vlim 7,10 ´ 10 - 4 m / s (8) valeur numérique de Vlim = C.t (8 bis)


· 3 (e) A l'aide de la méthode graphique d'Euler, procédons à une résolution approchée de l'équation différentielle :

+ 8,65 x 10 3 V = 6,15 (6)

L'énoncé propose d'adopter un pas D t = 5,00 ´ 10 - 5 s.

Sur cette durée D t, on va confondre l'accélération instantanée et l'accélération moyenne .

La relation + 8,65 x 10 3 V = 6,15 (6) est remplacée par la relation :

+ 8,65 x 10 3 V 6,15 (9) avec D t = 5,00 ´ 10 - 5 s (10)

+ 8,65 x 10 3 V 6,15 (11)

DV = 5,00 ´ 10 - 5 (6,15 - 8,65 x 10 3 V)

DV = 3,075 ´ 10 - 4 - 0,433 ´ V (12)

Entre les date t i et t i + 1 = t i + D t, la vitesse varie de DV = Vi + 1 - V i. Portons dans (12) :

Vi + 1 - Vi = 3,075 ´ 10 - 4 - 0,4327 ´ Vi

Vi + 1 = 3,075 ´ 10 - 4 + 0,5673 Vi (13)

·A partir de V0 = 0 m / s on calcule, grâce à la relation (13), V1 = 3,075 ´ 10 - 4 m / s 3,08 ´ 10 - 4 m / s.

·A partir de V1 = 3,075 ´ 10 - 4 m / s on calcule , grâce à la relation (13), V2 = 3,075 ´ 10 - 4 + 0,5673 Vi 4,82 ´ 10 - 4 m / s.

·On peut ensuite calculer, toujours grâce à la relation (13), V3 , V4 , etc.

· Graphique d'Euler :

Rassemblons les résultats permettant de tracer V (t) :

t (s)

0

5,00 ´ 10 - 5

1,00 ´ 10 - 4

1,50 ´ 10 - 4

2,00 ´ 10 - 4

2,50 ´ 10 - 4

3,00 ´ 10 - 4

3,50 ´ 10 - 4

4,00 ´ 10 - 4

4,50 ´ 10 - 4

V (m/s)

0

3,08 ´ 10 - 4

4,82 ´ 10 - 4

5,82 ´ 10 - 4

6,37 ´ 10 - 4

6,69 ´ 10 - 4

6,87 ´ 10 - 4

6,97 ´ 10 - 4

7,03 ´ 10 - 4

7,06 ´ 10 - 4

Point

O

I1

I2

I3

I4

I5

I6

I7

I8

I9

·En joignant les divers points I0, I1, I2 , I3, I4, I5, etc, on obtient une représentation graphique approchée de la courbe V (t).

 

Remarque :

Si la force de frottement variait comme V n, avec n différent de 1, l'expression (13) Vi + 1 = 3,075 ´ 10 - 4 + 0,5673 Vi serait plus compliquée.


·
4
(e) Commentons brièvement le graphe obtenu.

· Le mouvement de la bille comporte deux phases:

·le mouvement transitoire (initial), au cours duquel la vitesse varie beaucoup.

·le régime permanent (asymptotique) au cours duquel la vitesse varie peu.

La vitesse tend de façon asymptotique vers la valeur limite Vlim = 7,10 ´ 10 - 4 m / s (8)

· Initialement le poids (force motrice) l'emporte sur les forces résistantes et la bille possède un mouvement rectiligne accéléré. Mais cette accélération diminue au fur et à mesure que la force de frottement liquide-bille augmente.

· Au bout de quelques temps, les forces résistantes sont pratiquement égales à la force motrice. L'accélération devient quasi nulle et le mouvement de la bille devient un mouvement rectiligne à vitesse quasi constantes.

Remarque : Traçons la tangente à la courbe au point O (0, 0). Cette tangente coupe l'asymptote en un point J d'abscisse :

t = 1,16 ´ 10 - 4 s (16)

(t est la constante de temps qui figure dans l'équation différentielle + = C ).

Cette propriété peut être démontrée à partir de la solution analytique abordée ci-dessous. Cette solution analytique est ici relativement simple à trouver car la force de frottement est proportionnelle à V (cela ne serait pas possible si la force de frottement était, par exemple, proportionnelle à V n ).


· 5 (e) Compléments :

Vérifions que la solution analytique de l'équation différentielle + = C(1) est de la forme :

V = A exp ( - t / t ) + B (17)

· Calculons la dérivée, par rapport au temps t, de V = A exp ( - t / t ) + B (14)

  = - (A / t) exp ( - t / t ) + 0 (18)

Portons = - (A / t) exp ( - t / t ) (18) et V = A exp ( - t / t ) + B (17) dans :

+ = C(1)

On obtient :

- (A / t) exp ( - t / t ) + [ (A / t) exp ( - t / t ) + B ] / t = C soit :

 B / t = C (19)

La fonction V = A exp ( - t / t ) + B (17) est bien solution de + = C (1) si B = C. t (19 bis)

La fonction V = A exp ( - t / t ) + C. t (20) est solution analytique de + = C(1)

· La valeur de la constante A dépend des conditions initiales. Ici, pour t = 0 s on doit avoir V (0) = 0 m / s.

Portons dans V = A exp ( - t / t ) + C. t (20) :

0 = A exp ( - 0 / t ) + C. t, mais exp ( - 0 / t ) = 0

0 = A + C. t

A = - C. t (21)

· Finalement la solution analytique de notre problème est :

V = - C. t exp ( - t / t ) + C. t (22)

V = C. t [ 1 - exp ( - t / t ) ] (23)

· Déterminons les valeurs littérales puis numériques des constante A et B figurant dans V = A exp ( - t / t ) + B (17).

Par identification des relations V = A exp ( - t / t ) + B (17) et V = - C. t exp ( - t / t ) + C. t (22) on obtient :

A = - C. t et B = C. t

Avec t = 1,156 ´ 10 - 4 s (4) et C = 6,15 m / s² (5), on obtient :

A = - 7,11 ´ 10 - 4 m / s et B = + 7,11 ´ 10 - 4 m / s

En tenant compte des conditions initiales (vitesse nulle lorsque t = 0 s) la solution analytique de + = C (1) est :

V = C. t [ 1 - exp ( - t / t ) ] (23)

Soit, en exprimant numériquement les constantes C et t :

V = 7,10 ´ 10 - 4 [ 1 - exp ( - t / 1,16 ´ 10 - 4 ) ] (24)

Un logiciel permettrait de tracer de façon plus précise le graphe approchée par la méthode d'Euler.

Remarques :

· Dans l'expression V = C. t [1 - exp ( - t / t ) ] (23) le produit C. t n'est autre que la vitesse Vlim définie ci-dessus.

· En partant de V = C. t [1 - exp ( - t / t ) ] (23), il est facile de montrer (voir la leçon 8) que la tangente à l'origine coupe l'asymptote horizontale en un point d'abscisse t (constante de temps).

· Rappelons qu'ici la solution analytique est relativement simple à exprimer car la force de frottement est proportionnelle à V (cela ne serait pas possible si la force de frottement était, par exemple, proportionnelle à V 2). La méthode approchée d'Euler présente, elle, le mérite de pouvoir être appliquée quelle que soit l'expression de la force de frottement.

 

A VOIR :

Problème résolu de la leçon 12 : Chute verticale libre, sans vitesse initiale.

Problème résolu de la leçon 12 : Chute verticale d'une bille soumise à une force de frottement fluide.

Problème résolu n° 12-A : Chute libre d'une bille possédant une vitesse initiale verticale.

Problème résolu n° 12-B ci-dessus : Résolution d'une équation différentielle - Méthode graphique d'Euler.

Problème n° 12 C (à résoudre) : Recherche d'un modèle de force de frottement (Bac 2005- La Réunion).

Problème résolu n° 12-D : Chute verticale d'un boulet (Bac 2011 - France).

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