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PROBLEME RESOLU n° 12-D : CHUTE VERICALE D'UN BOULET - (Bac 2011 - France)

 

ENONCE :

 

Selon la légende, Galilée (1564-1642) aurait étudié la chute des corps en lâchant divers objets du sommet de la tour de Pise (Italie). Il y fait référence dans deux ouvrages : Dialogue sur les deux grands systèmes du monde et Discours concernant deux sciences nouvelles dans lesquels il remet notamment en question les idées d'Aristote.

Figure 1 - Représentation de la tour penchée de Pise.

 

Dans cet exercice, on présente trois courts extraits de ces deux livres.

Il s'agit de retrouver certains résultats avancés par Galilée concernant la chute verticale dans l'air d'un boulet sphérique en fer, lâché sans vitesse initiale.

Pour cette étude, on choisit le référentiel terrestre, supposé galiléen, auquel on adjoint un repère d'espace (Ox) vertical orienté vers le bas (figure 1).

Donnée :

Intensité du champ de pesanteur, supposé uniforme : g = 9,8 m . s - 2.


· · 1. Modélisation par une chute libre.

· 1.1. Étude des hauteurs de chute.

Extrait n° 1 :

" Avant tout, il faut considérer que le mouvement des corps lourds n'est pas uniforme : partant du repos, ils accélèrent continuellement (). Si on définit des temps égaux quelconques, aussi nombreux qu'on veut, et si on suppose que, dans le premier temps, le mobile, partant du repos, a parcouru tel espace, par exemple une aune*, pendant le second temps, il en parcourra trois, puis cinq pendant le troisième () et ainsi de suite, selon la suite des nombres impairs ".

* une aune = 1,14 m

Le boulet est lâché au point O, d'abscisse x0 = 0 à la date t0 = 0. On suppose l'action de l'air négligeable ; dans ce cas, l'équation horaire du mouvement du centre d'inertie G du boulet est : x (t) = g t2.

1.1.1. Soient x1 la distance parcourue au bout de la durée t, x2 la distance parcourue au bout de la durée 2 t et ainsi de suite, exprimer x1, x2, x3 en fonction de g et de t . (corrigé)

1.1.2. Exprimer la différence h1 = x1 - x0 en fonction de g et de t puis les différences h2 = x2 - x1 et h3 = x3 - x2 en fonction de h1. (c)

1.1.3. Retrouve-t-on la suite des hauteurs de chute annoncée par Galilée dans l'extrait n° 1 ? Justifier. (c)

· 1.2. Etude de la durée de la chute.

Les points de vue d'Aristote et de Galilée, au sujet de l'influence de la masse m du boulet sur la durée totale D t de sa chute, diffèrent.

Extrait n° 2 :

" Cherchons à savoir combien de temps un boulet, de fer par exemple, met pour arriver sur la Terre d'une hauteur de cent coudées*.

Aristote dit qu'une " boule de fer de cent livres**, tombant de cent coudées, touche terre avant qu'une boule d'une livre ait parcouru une seule coudée ", et je vous dis, moi, qu'elles arrivent en même temps.

Des expériences répétées montrent qu'un boulet de cent livres met cinq secondes pour descendre de cent coudées ".

* une coudée correspond à une distance de 57 cm ; ** une livre est une unité de masse

1.2.1. Parmi les propositions ci-dessous, attribuer celle qui correspond à la théorie d'Aristote et celle qui correspond à la théorie de Galilée :

a) La durée de chute augmente quand la masse du boulet augmente;

b) La durée de chute diminue quand la masse du boulet augmente;

c) La durée de chute est indépendante de la masse. (c)

1.2.2. En utilisant l'expression x (t) = g t2, calculer la durée Dt de la chute d'un boulet qui tombe d'une hauteur totale H = 57 m (100 coudées). Ce résultat est différent de la valeur annoncée dans l'extrait n° 2. Proposer une explication à l'écart constaté. (c)


· · 2. Chute réelle.

Galilée admet plus loin que les deux boules, de masses respectives une et cent livres, arrivent au sol avec un léger écart.

Extrait n° 3 :

" Vous constatez, en faisant l'expérience, que la plus grande précède la plus petite de deux doigts, c'est à dire que quand celle-là frappe le sol, celle-ci s'en trouve encore à deux doigts. Or, derrière ces deux doigts, vous ne retrouverez pas les quatre-vingt-dix-neuf coudées d'Aristote. "

On considère que trois forces s'exercent sur un boulet pendant sa chute verticale : son poids , la poussée d'Archimède et la force de frottement .

La norme de la force de frottement a pour expression : f = p R 2 rair C v 2

Où v est la vitesse du centre d'inertie du boulet, R est le rayon du boulet et C est une constante sans unité.

Données :

Masse volumique de l'air : rair = 1,29 kg . m - 3;

Masse volumique du fer : rfer = 7,87 x 10 3 kg . m - 3;

Volume d'une sphère : VS = p R 3

· 2.1. Lors de la chute, représenter ces trois forces sur un schéma sans souci d'échelle. (c)

· 2.2. Le poids et la poussée d'Archimède sont constants pendant la chute d'un boulet.

Etablir le rapport de leurs expressions et en déduire que la poussée d'Archimède est négligeable. (c)

· 2.3. Etude dynamique

2.3.1. Appliquer la deuxième loi de Newton. Projeter les forces sur l'axe (Ox) vertical orienté vers le bas (Photo 1). Déterminer l'expression de la dérivée par rapport au temps de la vitesse . (c)

2.3.2. En déduire que l'expression de la vitesse limite v lim est : . (c)

2.3.3. Vérifier, en effectuant une analyse dimensionnelle, que l'expression de v lim est bien homogène à une vitesse. (c)

· 2.4. On considère deux boulets sphériques B1 et B2 en fer de masses respectives m1 = 1 livre et m2 = 100 livres et de rayons respectifs R1 = 2,2 cm et R2 = 10,1 cm. On note v1 lim et v2 lim les vitesses limites respectives des boulets B1 et B2. Exprimer le rapport v2 lim / v1 lim en fonction des seuls rayons R1 et R2 et en déduire le boulet qui a la vitesse limite la plus élevée. (c)

· 2.5. Un logiciel permet de simuler les évolutions de la vitesse v (t) (figure 2) et de la position x (t) du boulet pendant sa chute (figure 3 et zoom de la figure 3 sur la figure 4).

Ces courbes sont obtenues pour les trois situations suivantes :

- La chute du boulet B1 dans l'air (courbes c et c'),

- La chute du boulet B2 dans l'air (courbes b et b'),

- La chute libre (courbes a et a').

2.5.1. Expliquer l'attribution des courbes b et c aux boulets B1 et B2. (c)

2.5.2. La hauteur de chute est de 57 m. Déterminer graphiquement la date tsol à laquelle le premier boulet touche le sol. S'agit-il de B1 ou de B2 ? (c)

2.5.3. A quelle distance du sol se trouve l'autre boulet à cette date ? Ce résultat est-il en accord avec l'extrait n° 3 ? (c)

 

Documents de l'exercice 2

 

 

SOLUTION :


· · 1. Modélisation par une chute libre.

· 1.1. Étude des hauteurs de chute.

1.1.1. (énoncé) Soient x1 la distance parcourue au bout de la durée t, x2 la distance parcourue au bout de la durée 2 t et ainsi de suite, exprimons x1, x2, x3 en fonction de g et de t

La relation x (t) = g t2 (1)donne :

x1( t ) = g t 2 (2)

x2( 2 t ) = g (2 t) 2 = 2 g t 2 (3)

x3( 3 t ) = g (3 t) 2 = g t 2 (4)

1.1.2. (e) Exprimons la différence h1 = x1 - x0 en fonction de g et de t puis les différences h2 = x2 - x1 et h3 = x3 - x2 en fonction de h1.

h1 = x1 - x0 = g t 2 = 1 h1 (5)

h2 = x2 - x1 = 2 g t 2 - g t 2 = g t 2 = 3 h1 (6)

h3 = x3 - x2 = g t 2 - 2 g t 2 = g t 2 = 5 h1 (7)

1.1.3. (e) On retrouve la suite des hauteurs de chute annoncée par Galilée dans l'extrait n° 1 :

" ...si on suppose que, dans le premier temps, le mobile, partant du repos, a parcouru tel espace, par exemple une aune*, pendant le second temps, il en parcourra trois, puis cinq pendant le troisième () et ainsi de suite, selon la suite des nombres impairs ".  

· 1.2. Etude de la durée de la chute.

1.2.1. (e) Parmi les propositions ci-dessous, attribuons celle qui correspond à la théorie d'Aristote et celle qui correspond à la théorie de Galilée :

a) La durée de chute augmente quand la masse du boulet augmente;

b) La durée de chute diminue quand la masse du boulet augmente;

c) La durée de chute est indépendante de la masse.

Aristote pense que "La durée de chute diminue quand la masse du boulet augmente." (b)

Galilée pense que "La durée de chute est indépendante de la masse." (c)

1.2.2. (e) En utilisant l'expression x (t) = g t2, calculons la durée Dt de la chute d'un boulet qui tombe d'une hauteur totale H = 57 m (100 coudées).

La relation x (t) = g t2 (1) donne :

H = g Dt2

57 = x 9,8 x Dt2

Dt2 = 2 x 57 / 9,8 = 11,6327 s2

Dt = 3,41 s (8)


Ce résultat est différent de la valeur annoncée par Galilée dans l'extrait n° 2 soit 5 s.

Cela est probablement causé par l'imprécision des chronomètres utilisés à l'époque. Les frottements dus à l'air eux ne jouent qu'un rôle minime avec un boulet.


· · 2. Chute réelle.

· 2.1. (e) Lors de la chute, représentons les trois forces agissant sur le boulet (sans souci d'échelle).

· 2.2. (e) Le poids et la poussée d'Archimède sont constants pendant la chute d'un boulet.

Calculons le rapport de leurs expressions et montrons que la poussée d'Archimède est négligeable.

P = m x g = VS x rfer x g = x p x R 3 x rfer x g (9)

P = VS x rair x g (10)

P / P = VS x rfer x g / ( VS x rair x g )

P / P = rfer / rair (11)

P / P = 7,87 x 10 3 / 1,29 = 6,10 x 10 3 (12)

La poussée d'Archimède est bien négligeable par rapport au poids.

· 2.3. Etude dynamique

2.3.1. (e) Appliquons la deuxième loi de Newton. Projetons les forces sur l'axe (Ox) vertical orienté vers le bas (Figure 1). Déterminons l'expression de la dérivée par rapport au temps de la vitesse .

Référentiel Galiléen : le solide Terre.

Système étudié : le boulet.

Le boulet est soumis à 3 forces extérieures : son poids , la poussée d'Archimède et la force de frottement .

Deuxième loi de Newton : Dans un référentiel Galiléen, la somme des forces extérieures appliquées à un solide est égale au produit de la masse m du solide par l'accélération de son centre d'inertie :

+ + = m (13)

On peut négliger la poussée d'Archimède :

+ = m (14)

Projetons sur l'axe vertical :

P - f = m a (15)

VS rfer g - p R 2 rair C v 2 = VS rfer a

a = = g - p R 2 rair C v 2 / VS rfer avec VS = p R 3

a = = g - (rair / rfer) ( C v 2/ R) (16)

2.3.2. (e) Montrons que l'expression de la vitesse limite v lim est : . (17)

Le poids P reste constant durant la chute proposée. La force de frottement augmente avec la vitesse. Lorsque ces 2 forces deviennent égales le mouvement du boulet devient rectiligne uniforme.

L'équation + = m (14)donne alors :

P - f = 0 (18)

P = f

VS rfer g = p R 2 rair C v lim2 (19)

p R 3 rfer g = p R 2 rair C v lim2

v lim2 =

(17)

2.3.3. (e) Vérifions, en effectuant une analyse dimensionnelle, que l'expression de v lim est bien homogène à une vitesse.

rfer / rair est un rapport sans unité de même que la constante C. (20)

dim v lim2 = dim = dim (R g) (21)

L'unité de v lim2 est donc égale à l'unité de (R g) soit m x m / s2 ou m2 / s2.

L'unité de v lim est donc le m / s. (22)

L'expression de v lim est bien homogène à une vitesse. (23)

· 2.4. (e) On considère deux boulets sphériques B1 et B2 en fer de masses respectives m1 = 1 livre et m2 = 100 livres et de rayons respectifs R1 = 2,2 cm et R2 = 10,1 cm. On note v1 lim et v2 lim les vitesses limites respectives des boulets B1 et B2. Exprimons le rapport v2 lim / v1 lim en fonction des seuls rayons R1 et R2 et précisons quel est le boulet qui a la vitesse limite la plus élevée.

La relation (17) permet d'écrire :

v2 lim / v1 lim = (24)

C'est le boulet B2 qui a la vitesse limite la plus élevée. (25)

· 2.5. Un logiciel permet de simuler les évolutions de la vitesse v (t) (figure 2) et de la position x (t) du boulet pendant sa chute (figure 3 et zoom de la figure 3 sur la figure 4).

Ces courbes sont obtenues pour les trois situations suivantes :

- La chute du boulet B1 dans l'air (courbes c et c'),

- La chute du boulet B2 dans l'air (courbes b et b'),

- La chute libre (courbes a et a').

2.5.1. (e) Expliquons l'attribution des courbes b et c aux boulets B1 et B2.

La courbe (b) indique une vitesse limite supérieure à celle de la courbe (c). La courbe (b) correspond donc au boulet B2 dont le rayon R2 est supérieur à R1 (courbe c). (26)

2.5.2. (e) La hauteur de chute est de 57 m. Déterminons graphiquement la date tsol à laquelle le premier boulet touche le sol. Nous préciserons s'il s'agit de B1 ou de B2.

 

La date tsol à laquelle le premier boulet touche le sol (x = 57 m) correspond à la courbe ( b' ) c'est à dire au boulet B2 (point M sur la figure 4) (27)

La courbe ( a' ) correspond à une chute libre sans frottement.

2.5.3. (e) Voyons à quelle distance du sol se trouve l'autre boulet à cette date.

A la date tM le boulet B1 a parcouru 56 m (point N sur la figure 4). Il se trouve à 1 m du sol. (28)

Ce résultat n'est pas en accord avec l'extrait n° 3 qui ne donne que deux doigts. (29)

Extrait n° 3 :

" Vous constatez, en faisant l'expérience, que la plus grande précède la plus petite de deux doigts, c'est à dire que quand celle-là frappe le sol, celle-ci s'en trouve encore à deux doigts..."

A VOIR :

Problème résolu de la leçon 12 : Chute verticale libre, sans vitesse initiale.

Problème résolu de la leçon 12 : Chute verticale d'une bille soumise à une force de frottement fluide.

Problème résolu n° 12-A : Chute libre d'une bille possédant une vitesse initiale verticale.

Problème résolu n° 12-B : Résolution d'une équation différentielle - Méthode graphique d'Euler

Problème n° 12 C (à résoudre) : Recherche d'un modèle de force de frottement (Bac 2005- La Réunion).

Problème résolu n° 12-D ci-dessus : Chute verticale d'un boulet (Bac 2011 - France).

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