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PROBLEME AVEC CORRIGE n° 15-B : Pendule de Foucault - Rotation de la Terre

 

ENONCE :


Document : Bien sûr qu'elle tourne !

Pour permettre d'apporter une preuve expérimentale, élégante et simple de la rotation de la Terre sur elle-même, Foucault imagina plusieurs expériences qui utilisent les propriétés d'un pendule simple. Celle réalisée au Panthéon eut un grand succès populaire. Il fit connaître sa découverte à l'Académie en 1851 ; voici des extraits du texte de sa communication :

"Le mouvement de la Terre sur elle-même est ici rendu évident au moyen d'un grand pendule, dont le fil attaché au sommet de la coupole descend jusqu'au niveau de la rampe et porte à son extrémité inférieure une boule formée d'une enveloppe de cuivre renfermant une masse de plomb qui la remplit complètement. Le fil a 67 mètres de long (...) ; la boule pèse 28 kilogrammes (...). Quand il est au repos, le pendule marque le point de centre commun à la table et au grand cercle de bois (la rampe) qui l'entoure. Ce cercle (...) a (...) 6,0 mètres de diamètre (...) (voir la figure ci-dessous).

Si (...) on éloigne de sa position d'équilibre la masse du pendule et si on l'abandonne à l'action de la pesanteur sans lui communiquer aucune impulsion latérale, son centre de gravité repassera par la verticale, et, en vertu de la vitesse acquise, il s'élèvera de l'autre côté de la verticale à une hauteur presque égale à celle d'où il est parti.

Parvenu à ce point, sa vitesse expire, change de signe, et le ramène, en le faisant encore passer par la verticale, un peu au-dessous de son point de départ. Ainsi l'on provoque un mouvement oscillatoire de la masse pendulaire suivant un arc de cercle dont le plan est nettement déterminé et auquel l'inertie de la masse assure une position invariable dans l'espace.

Ce pendule, le plus grand qui ait été construit jusqu'ici, donne une oscillation de huit secondes ; il lui faut seize secondes pour aller et venir. Quoique ces oscillations diminuent d'amplitude assez rapidement, au bout de cinq ou six heures, elles sont encore assez grandes ...

Pour lancer le pendule on écarte la "boule" jusqu'au bord du grand cercle en bois et on le lâche sans vitesse initiale (...) et, pour voir comment il marche, on place sur le rebord du cercle de bois deux bancs (tas) de sable humide, fraîchement moulés. Ils sont alignés selon la courbe du pendule. Celui-ci pratique, en passant sur chacun d'eux, une petite brèche qui s'agrandit de plus en plus tant que les oscillations dépassent le cercle de bois.

L'agrandissement de la brèche a toujours lieu vers la gauche de la personne qui regarde vers le centre, comme si le plan d'oscillation tournait de droite à gauche."

Dans toutes les expressions littérales on notera L la longueur du fil, m la masse de la "boule". Pour les applications numériques on prendra g = 9,81 m / s 2.


A- Les oscillations du pendule

· 1- Vérifier que l'amplitude angulaire maximale donnée au pendule est am = 2,6°. (c)

· 2- Le mot "oscillation" utilisé par Foucault dans le passage "donne une oscillation de huit secondes" vous paraît-il correctement employé ? Pourquoi ? (c)

· 3- Etude de la période des petites oscillations du pendule simple.

a) La période des petites oscillations pour un pendule simple a pour expression :

Vérifier par l'analyse dimensionnelle l'homogénéité de cette formule. (c) (voir aussi le problème 15 C)

b) Calculer la période d'oscillation d'un pendule simple ayant même longueur de fil que le pendule de Foucault.

En comparant cette valeur à celle de la période du pendule de Foucault, peut-on assimiler ce dernier à un pendule simple ? (c)


B- Etude énergétique

· 1- Le pendule est écarté de sa position de repos de l'angle am et lâché sans vitesse initiale. L'énergie potentielle du système pendule-Terre est choisie égale à zéro pour la position de repos du pendule.

a) Sous quelles formes le système étudié possède-t-il de l'énergie ? (c)

b) Exprimer littéralement l'énergie mécanique de ce système au moment où on lâche le pendule. Calculer sa valeur. (c)

· 2- On veut calculer la vitesse Vm de la "boule" (considérée comme un point matériel) au premier passage par le point le plus bas de sa trajectoire après son lancement.

a) Quelle hypothèse doit-on faire sur l'énergie mécanique du système pour effectuer ce calcul ? (c)

b) Cette hypothèse étant admise, calculer Vm. (c)

· 3- Interpréter, en termes de transferts d'énergie, l'évolution de la vitesse du pendule décrite dans le deuxième paragraphe du texte de Foucault. (c)


C- Expérience de Foucault

· 1- L'expérience du pendule de Foucault a été reprise récemment au Panthéon. On utilise un pendule de même longueur, de mêmes dimensions, mais de masse 47 kg.

Parmi les grandeurs suivantes, indiquer celles qui sont modifiées et dans quel sens :

a) la période du pendule, (c)

b) l'énergie mécanique initiale du système. (c)

On justifiera les réponses sans calcul numérique.

· 2- Rotation de la Terre.

a) Quelle propriété du pendule, évoquée dans le texte, permet de mettre en évidence la rotation de la Terre ? (c)

b) Quelle observation faite au moment de l'expérience permet de conclure "Bien sûr qu'elle tourne !" ? (c)


SOLUTION :


A- Les oscillations du pendule  

· 1- (e) Vérifions que l'amplitude angulaire maximale donnée au pendule est am = 2,6°.

 

On voit sur la figure ci-dessus que :

sin am = OD / SD = R / L = 3 / 67 = 0,0448. Par conséquent :

am = 2,6° (1)

· 2- (e) Critique du mot "oscillation" utilisé par Foucault dans le texte.

Le mot "oscillation" correspond à un aller et retour, de durée 16 secondes. Dans le texte, ce mot n'est pas correctement employé car il s'applique, en fait, à une demi oscillation, de durée 8 secondes.

· 3- Etudions la période des petites oscillations du pendule simple :

(2)

a) (e) Vérifions par l'analyse dimensionnelle l'homogénéité de cette formule. (voir aussi le problème 15 C)

T désigne la grandeur temps - L désigne la grandeur longueur - M désigne la grandeur masse

Nous avons respectivement :

dim [ T0 ] = T

dim [ 2 p ] = pas de dimension (le radian est un simple repérage des écarts angulaires, ce n'est pas une unité)

dim [ L1/2 ] = L1/2

dim [ g ] = dim [ F / m ] = dim [ m a ] / dim [m ] = M L T - 2 / M = L T - 2

dim [ g - 1/2 ] = L-1/2 T

Finalement :

dim [ ] = dim [ L1/2 ] ´ dim [ g - 1/2 ] = L1/2 ´ L-1/2 T = T

et :

dim [ T0 ] = T (3)

On vérifie bien par l'analyse dimensionnelle l'homogénéité de la formule .

Remarque : Une question voisine a déjà été abordée à la leçon 15.

b) (e) Calculons la période d'oscillation d'un pendule simple ayant même longueur de fil que le pendule de Foucault.

Avec les valeurs de l'énoncé L = 67 m et g = 9,81 m / s 2 la formule relative à la période des petites oscillations d'un pendule simple donnerait la valeur :

= 16,4 s

La donnée L = 67 m ne comporte que 2 chiffres significatifs. Par suite :

16 s (4)

L'expérience faite avec le pendule de Foucault donnait une période de 16 s.

Avec une bonne approximation, on peut donc assimiler le pendule de Foucault à un pendule simple.

L'écart relatif entre les deux valeurs est de l'ordre de 0,4 / 16 = 0,066 voisin de 7 % .


B- Etude énergétique

· 1- Le pendule est écarté de sa position de repos de l'angle am et lâché sans vitesse initiale. L'énergie potentielle du système pendule-Terre est choisie égale à zéro pour la position de repos du pendule.

a) (e) Formes d'énergie possédées par le système boule-Terre.

Référentiel Galiléen : le solide Terre.

Système étudié : la boule placée dans le champ de pesanteur terrestre.

Le système boule-Terre possède, à un instant quelconque, lorsque la boule passe au point M, l'énergie mécanique :

Eméca (M) = Ecin (M) + Epot (M) = m VM² + m g hM (5)

Remarque : On peut parler de l'énergie cinétique de la boule dans le référentiel terrestre m V² car m et V sont relatifs à la boule. Par contre on doit parler de l'énergie potentielle du système boule -Terre m ´ g ´ h car m est relatif à la boule tandis que g est relatif à la Terre (h fait intervenir la position relative des deux objets).

On peut, à la rigueur, parler de l'énergie potentielle de la boule de masse m dans le champ de pesanteur terrestre g et donc également de l'énergie mécanique de la boule de masse m dans le champ de pesanteur terrestre g.

b) (e) Exprimons littéralement l'énergie mécanique de ce système au moment où on lâche le pendule puis calculons sa valeur numérique.

 

 

A l'instant où on lâche le pendule à partir du point D, l'énergie mécanique du système Terre-boule est :

Eméca (D) = Ecin (D) + Epot (D) (6)

Eméca (D) = m VD² + m g hD (7)

Eméca (D) = m VD² + m g BO (8)

Mais BO = BS - OS = L - L cos am = L (1 - cos am) (9)

De plus VD = 0 m / s (10)

Eméca (D) = 0 + m g L (1 - cos am)

Eméca (D) = m g L (1 - cos am) (11)

· Application numérique : m = 28 kg g = 9,81 N / kg L = 67 kg am = 2,57°

Eméca (D) = m g L (1 - cos am) = 28 ´ 9,81 ´ 67 ( 1 - cos 2,57° ) = 18,48 J

Certaines données ne comportent que 2 chiffres significatifs. On retient donc :

Eméca (D) = m g L (1 - cos am) 18,48 J (12)

 

· 2- Calculons la vitesse vm de la "boule" (considérée comme un point matériel) au premier passage par le point le plus bas de sa trajectoire après son lancement.

a) (e) Quelle hypothèse doit-on faire sur l'énergie mécanique du système pour effectuer le calcul de la vitesse vm de la "boule" (considérée comme un point matériel) au premier passage par le point le plus bas de sa trajectoire après son lancement ?

 

Référentiel Galiléen : le solide Terre.

Système étudié : la boule placée dans le champ de pesanteur terrestre.

Pour effectuer le calcul de la vitesse de la boule au point le plus bas de la trajectoire on doit faire l'hypothèse que l'énergie mécanique de la boule placée dans le champ de pesanteur terrestre se conserve.

Théorème : L'énergie mécanique d'un système soumis uniquement à des forces conservatives est constante.

Rappel : Une force est conservative si son travail ne dépend pas du chemin suivi pour aller de la position initiale à la position finale. C’est, ici, le cas du poids dont le travail est égal à m g h et de la force exercée par le fil sur la boule dont le travail est nul car reste perpendiculaire au déplacement. Lors de ce premier quart d'oscillation le travail des forces de frottement peut être considéré comme étant quasi nul.

Les deux forces et étant conservatives, l'énergie mécanique de la boule placée dans le champ de pesanteur terrestre se conserve. On écrit :

Eméca (B) = Eméca (D) (13)

Ecin (B) + Epot (B) = Ecin (D) + Epot (D) (14)

m VB² + m g hB = m VD² + m g hD (15)

Nous conviendrons de prendre nulle l'énergie potentielle d'un objet situé à l'altitude du point B.

m VB² + 0 = m VD² + m g BO (16)

Utilisons les relations BO = L (1 - cos am) (9) et VD = 0 m / s (10)

m VB² + 0 = 0 + m g L (1 - cos am) (17)

VB² = 2 g L (1 - cos am) (18)

b) (e) L'hypothèse de la conservation de l'énergie mécanique du système boule-Terre étant admise, calculons vm = VB.

La relation (18) VB² = 2 g L (1 - cos am) donne :

VB² = 2 ´ 9,81 ´ 67 (1 - cos 2,6°)

VB² = 1,319 m² / s²

Vm = VB 1,1 m / s (19)

· 3- (e) Interprétons, en termes de transferts d'énergie, l'évolution de la vitesse du pendule décrite dans le deuxième paragraphe du texte de Foucault.

- Au point de départ D, la vitesse est nulle, l'énergie du système boule-Terre est sous forme potentielle. Cette énergie potentielle devient énergie cinétique de la boule au passage par la verticale SO. Puis la boule remonte de l'autre coté d'un angle quasi égal à - am pendant que l'énergie cinétique de la boule redevient énergie potentielle du système Terre-boule. Puis une nouvelle demi-oscillation se fait en sens inverse.

Remarque : Cette hypothèse de la conservation de l'énergie mécanique du système boule-Terre utilisée jusqu'ici n'est plus valable si on considère le système pendant plusieurs heures. L'amplitude des oscillations diminue progressivement sous l'influence des forces de frottement que nous avons négligées jusqu'ici.


C- Expérience de Foucault

· 1- Expérience du pendule de Foucault reprise récemment au Panthéon.

Cette expérience a été faite avec un pendule de même longueur L = 67 m mais avec une boule de masse plus faible m = 47 kg.

a) (e) La période de ce nouveau pendule est restée la même. En effet, T0 ne fait pas intervenir la masse m :

16 s (4)

b) (e) L'énergie mécanique initiale du système boule-Terre s'écrit :

Eméca (D) = m VD² + m g hD = 0 + m g BO = m g L (1 - cos am) (20)

Les grandeurs g = 9,81 N / kg, L = 67 m et am = 2,6° sont les mêmes que dans l'expérience initiale mais la masse m est plus grande, par conséquent, dans cette expérience récente, l'énergie mécanique initiale du système boule-Terre est plus grande.

· 2- Rotation de la Terre

a) (e) Propriété du pendule, évoquée dans le texte, permettant de mettre en évidence la rotation de la Terre.

"Ainsi l'on provoque un mouvement oscillatoire de la masse pendulaire suivant un arc de cercle dont le plan est nettement déterminé et auquel l'inertie de la masse assure une position invariable dans l'espace."

Précisons que c'est, non pas dans le référentiel terrestre, que le plan d'oscillation du pendule reste invariable, mais dans le référentiel géocentrique (référentiel Galiléen de meilleure qualité pour les expériences se déroulant pendant plusieurs heures).

b) (e) Conclusion : "Bien sûr qu'elle tourne !"

Le pendule pratique, en passant sur chacun des deux bancs de sable humide, placés sur le rebord du cercle de bois, une petite brèche qui s'agrandit de plus en plus tant que les oscillations dépassent le cercle de bois.

L'agrandissement de la brèche a toujours lieu vers la gauche de la personne qui regarde vers le centre, comme si le plan d'oscillation tournait de droite à gauche.

Cette observation faite au moment de l'expérience permet de conclure, à propos de la Terre, "Bien sûr qu'elle tourne !" . Cette rotation s'observe dans le référentiel géocentrique.

Dans le référentiel héliocentrique et pour une durée de plusieurs semaines le mouvement de la Terre est encore plus complexe.

 

A VOIR :

Problème résolu de la leçon 15 : Période propre des petites oscillations libres d'un pendule simple.

Problème résolu n° 15-A : Etude énergétique du pendule simple. Vitesse. Tension du fil.

Problème n° 15-B ci-dessus (avec corrigé) : Pendule de Foucault - Rotation de la Terre.

Problème n° 15-C (à résoudre) : Voyager en se repérant : le GPS et les horloges (Bac 09/2004 - Polynésie).

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