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PROBLEME AVEC CORRIGE n° 15-C : Voyager en se repérant : le GPS et les horloges (Bac 09/2004 - Polynésie)

Problème assez long mais intéressant (noté sur 9,5 points)

ENONCE :


Les trois parties de l'exercice sont indépendantes

De nombreuses activités humaines demandent un repérage précis (latitude, longitude, altitude) sur le globe terrestre ou dans son voisinage.

Actuellement, le Global Positioning System (GPS) a supplanté toutes les autres technologies permettant de repérer sur le globe terrestre, avec une précision voisine de 20 m, un mobile équipé d'un récepteur.

Les différentes parties du problème portent sur les satellites et la mesure du temps. Elles s'appuient sur un texte paru dans la revue " La Recherche " dont les extraits sont donnés en caractères italiques.


PARTIE 1 - Les satellites

" En avion, en voiture, en bateau, à pied, en montagne, dans le désert, par beau temps ou au milieu d'une tempête, le GPS donne tout à la fois la position géographique, l'altitude et l'heure exacte.

Principe : au lieu d'utiliser des repères terrestres ou de suivre les étoiles, l'utilisateur, muni d'un récepteur, mesure la distance entre lui-même et au moins 4 des 24 satellites de la constellation Navstar. Le récepteur convertit ces distances pour retrouver la latitude, la longitude et l'altitude.

Répartis sur six orbites circulaires inclinées de 55° par rapport à l'Equateur, ces satellites évoluent à une altitude de 20 180 kilomètres. Avec une vitesse proche de 14 000 km.h - 1, ils accomplissent un tour du monde en 12 heures. Leur configuration mouvante a été calculée pour qu'au moins quatre d'entre eux soient toujours en vue (99,9 % du temps) depuis n'importe quel endroit de la planète "

On rappelle que l'orbite des satellites est circulaire.

Données :

Intensité de la pesanteur : g = 9,80 m.s - 2

Masse de la Terre : MT = 5,98 × 10 24 kg

Rayon de la Terre : RT = 6380 km

Constante de gravitation : G = 6,67 × 10 - 11 N.kg - 2.m 2


· 1.1 Quelle est l'expression vectorielle de l'accélération d'un satellite en fonction des données de l'énoncé ?

Montrer que ce mouvement circulaire est uniforme. (corrigé)

· 1.2 Quelle est l'expression de sa vitesse en fonction de G, RT, MT, h dans un référentiel géocentrique ? (h est l'altitude du satellite) (c)

· 1.3 Vérifier que la vitesse des satellites sur leur orbite et la période T de rotation, données dans le texte, sont compatibles avec l'altitude. (c)

· 1.4 Un tel satellite est-il géostationnaire ? Justifier. (c)


PARTIE 2 - Les ondes

" Toutes les millisecondes, les satellites émettent des signaux codés sous forme d'ondes radio émises sur deux fréquences différentes (1,6 et 1,2 GHz) et dont la réception au sol va permettre de calculer la position. Un certain nombre de facteurs limite encore, et de façon systématique, la précision du GPS. Par exemple, puisque le signal GPS n'est émis que toutes les millisecondes, un récepteur mobile verra chuter la précision de ces mesures d'autant plus qu'il se déplace vite. Autre difficulté, nuisant à l'exactitude : les ondes ne se propagent pas à une vitesse constante dans la partie la plus haute de l'atmosphère, car celle-ci n'est pas homogène. Citons enfin la position géographique des quatre satellites utilisés par le récepteur : la mesure a d'autant plus de chances d'être faussée que les satellites visibles sont près de l'horizon. En effet, les signaux traversent alors une couche plus épaisse d'une atmosphère parfois non homogène. Tous ces éléments font que les récepteurs vendus aujourd'hui dans le commerce affichent une erreur standard de l'ordre de 20 mètres.

Plus complexes encore, les récepteurs géodésiques (donnant une précision de l'ordre du centimètre) corrigent eux-mêmes les erreurs dues aux variations de la vitesse des ondes dans la partie la plus haute de l'atmosphère. Pour cela, ils enregistrent les deux signaux que chaque satellite émet simultanément Ces deux signaux se propagent à des vitesses légèrement différentes "

Les ondes radio sont des ondes électromagnétiques comme les ondes lumineuse et se propagent, dans le vide, à la célérité :

c = 3,00 × 10 8 m.s - 1

· 2.1 Dans cette question, on négligera les perturbations introduites par l'atmosphère sur la durée du trajet des ondes.

2.1.1 Calculer les longueurs d'onde dans le vide des ondes émises par les satellites. (c)

2.1.2 Quelle est la durée t mise par le signal pour aller du satellite S au récepteur R si le satellite est situé à la verticale de R à l'altitude de 20 180 km ? (c)

2.1.3 Pour une mesure unique, l'erreur sur la distance verticale est de 20 m en standard. Calculer (en nanosecondes) l'erreur Dt sur la durée de propagation du signal. Comparer t et Dt et commenter. (c)

2.1.4 Pour une série de N mesures, les lois de la statistique montrent que l'erreur est divisée par un facteur .

Calculer N pour que l'erreur passe de 20 m à 20 cm.

Le signal GPS étant émis toutes les millisecondes, calculer la durée nécessaire pour effectuer ces N mesures. Discuter l'intérêt d'une telle précision pour un récepteur mobile. (c)

· 2.2. En fait, entre le récepteur et le satellite le signal traverse les couches successives de l'atmosphère et se propage alors à une célérité différente de c. La fréquence et la longueur d'onde du signal sont-elles modifiées lors de la traversée de l'atmosphère ? Justifier. (c)

· 2.3 A quel phénomène ondulatoire fait allusion la dernière phrase du texte ? (c)


PARTIE 3 - Les horloges

" Avant l'invention du GPS, pour connaître leur longitude, les navigateurs comparaient l'heure locale (heure déterminée d'après la position du Soleil ou d'une étoile) et au même moment l'heure du méridien de Greenwich donnée par une horloge embarquée dans le navire. La précision de la position du navire dépendait de la précision de la mesure de cet écart horaire. "

Dans une horloge à balancier, pour une faible amplitude a en radian, la période T vérifie la relation :

T = T0 ( 1 + a 2 / 16 ) avec (L est la longueur du balancier et g l'intensité du champ de pesanteur).

· 3.1 Montrer, par analyse dimensionnelle, que est homogène à une durée. (c) (voir aussi le problème 15 B)

· 3.2 Quel écart relatif par rapport à T0 observe-t-on sur la période de ce pendule lorsque l'amplitude est de 4° ? (c)

· 3.3 Une horloge à balancier a une période T1 = 2,000 s en un lieu où l'accélération de la pesanteur vaut g1 = 9,810 N.kg - 1.

Quelle sera la période T2 d'une horloge identique de même longueur en un lieu où g2 = 9,800 N.kg - 1 en conservant la même amplitude ? (c)

· 3.4 Pourquoi une horloge à balancier ne convient-elle pas pour déterminer une longitude ? (c)

· 3.5 En 1764, pour s'affranchir de cet inconvénient, John Harrison parvint à fabriquer une horloge utilisant un ressort spiral, qui après un voyage aller et retour entre Plymouth et La Barbade ne dériva pas de plus de 15 s en 156 jours.

Calculer la précision de cette horloge. (c)

· 3.6 A quelle distance, en kilomètres, calculée sur le parallèle de Plymouth, correspondent les 15 s de dérive observées lors du voyage de John Harrison ? La latitude de Plymouth est de 50 ° nord.

On rappelle que la latitude l d'un point P est l'angle entre le plan de l'équateur et la droite joignant P au centre de la Terre. Un parallèle est un cercle de rayon r à la surface de la Terre. Tous les points de ce cercle sont à la même latitude l. (c)

SOLUTION :


PARTIE 1 - Les satellites

· 1.1 (énoncé) Cherchons l'expression vectorielle de l'accélération d'un satellite en fonction des données de l'énoncé.

Référentiel Galiléen : le référentiel géocentrique. C'est un solide formé par le centre de la terre et par les centres de 3 étoiles de notre galaxie.

Système étudié : le satellite assimilé à un point.

Force appliquée au satellite (voir le schéma) : Attraction gravitationnelle de la Terre (masse MT, rayon RT ) sur le satellite (masse m, altitude h, rayon de l'orbite r = RT + h ) :

(1)

G est la constante de gravitation universelle.

Appliquons la deuxième loi de Newton (voir la leçon 11)

Dans un référentiel Galiléen, la somme des forces extérieures appliquées à un solide est égale au produit de la masse du solide par l'accélération de son centre d'inertie :

Ce théorème s'écrit ici :

= m (2)

(4)

On en déduit :

(5). Le vecteur accélération est normal à la trajectoire

 

· Montrons que ce mouvement circulaire (énoncé) est uniforme.

Exprimons et dans la base de Frenet :

(6)

On en déduit que :

(7) qui s'écrit :

(8) et, par conséquent V = constante

V = constante (9)

Le mouvement circulaire se fait à vitesse constante.

Remarque : La norme de la vitesse est constante mais le vecteur vitesse change de direction ce qui explique l'existence du vecteur accélération (il se réduit à sa composante normale à la trajectoire).

· 1.2 (e) Cherchons l'expression de la vitesse en fonction de G, RT, MT, h dans le référentiel géocentrique.

La relation ci-dessus (6) permet d'écrire :

(10)

 

(11). Le vecteur vitesse est tangent à la trajectoire.

· 1.3 (e) Vérifions que la vitesse des satellites sur leur orbite et la période T de rotation, données dans le texte, sont compatibles avec l'altitude.

On calcule :

(12)

V = 3,875 x 10 3 m/s = 3,875 x 10 3 x 10 - 3 km / (1/3600) h = 13951 km / h

V 1,40 x 10 4 km / h (13)

La vitesse des satellites sur leur orbite, donnée dans le texte, est donc compatible avec l'altitude.

· La période T de rotation se calcule par la relation :

T = 2 p r / V = 2 p (RT + h) / V (14)

T = 2 p (6,38 x 10 6 + 2,018 x 10 7) / 3,875 x 10 3 s = 43066,132 s = 43066,132 / 3600 h = 11,96 h

T 12 h (15)

La période des satellites sur leur orbite, donnée dans le texte, est donc compatible avec l'altitude.

· 1.4 (e) Voyons si un tel satellite peut être géostationnaire.

Un tel satellite ne peut pas être géostationnaire. En effet :

· La période d'un satellite géostationnaire est de 23 h 56 min (jour sidéral) dans le référentiel géocentrique.

Ici, la période est seulement de 12 h.

· L'orbite d'un satellite géostationnaire est nécessairement au-dessus de l'équateur (voir le problème 14-A).


PARTIE 2 - Les ondes

Les ondes radio sont des ondes électromagnétiques comme les ondes lumineuse et se propagent à la célérité c = 3,00 × 10 8 m.s - 1 dans le vide.

· 2.1 Dans cette question, on négligera les perturbations introduites par l'atmosphère sur la durée du trajet des ondes.

2.1.1 (e) Calculons les longueurs d'onde dans le vide des ondes émises par les satellites.

Les ondes émises par les satellites le sont sur deux fréquences différentes :

f1 = 1,6 GHz = 1,6 x 10 9 Hz et f2 = 1,2 GHz = 1,2 x 10 9 Hz.

Dans le vide les deux longueurs d'onde sont donc :

ll = c x T1 = c / f1 = 3,00 x 10 8 / 1,6 x 10 9

l1 1,9 x 10 - 1 m (16)

l2 = c x T2 = c / f2 = 3,00 x 10 8 / 1,2 x 10 9

l2 2;5 x 10 - 1 m (17)

2.1.2 (e) Calculons la durée t mise par le signal pour aller du satellite S au récepteur R si le satellite est situé à la verticale de R à l'altitude de 20 180 km .

La durée t mise par le signal pour aller du satellite S au récepteur R est :

t = distance / vitesse = 2,0180 x 10 7 / 3,00 x 10 8

t 6,73 x 10 - 2 s (18)

2.1.3 (e) Pour une mesure unique, l'erreur sur la distance verticale est de 20 m en standard. Calculons (en nanosecondes) l'erreur Dt sur la durée de propagation du signal. Comparons t et Dt et commentons.

A l'incertitude Dh 20 m sur la distance verticale correspond une incertitude Dt sur la durée de propagation du signal avec :

Dt = Dh / c = 20 / 3,00 x 10 8 = 6,67 x 10 - 8 s

Dt6,7 x 10 - 8 s (19)

· Comparons t et Dt et commentons.

On peut calculer Dt / t = 6,67 x 10 - 8 / 6,73 x 10 - 2 10 - 6 (ceci est appelé incertitude relative). Cette incertitude relative qui est très faible entraîne néanmoins une incertitude Dh 20 m sur la distance verticale. Il est donc nécessaire de mesurer le temps avec une très grande précision. (20)

2.1.4 (e) Pour une série de N mesures, les lois de la statistique montrent que l'erreur est divisée par un facteur .

· Calculons N pour que l'incertitude sur la distance verticale Dh passe de 20 m à 20 cm (incertitude divisée par 100).

Pour diviser l'incertitude sur h par= 100 les lois de la statistique montrent qu'il faut effectuer une série de N mesures :

N = 10000 (21)

· Le signal GPS étant émis toutes les millisecondes (10 - 3 s), calculons la durée DT nécessaire pour effectuer ces N mesures.

Le signal GPS étant émis toutes les millisecondes, la durée DT nécessaire pour effectuer ces 10000 mesures est :

DT =10000 x 10 - 3 = 10 s (22)

· Discutons l'intérêt d'une telle précision pour un récepteur mobile.

Pour un récepteur mobile (voiture, bateau, etc.) le gain de précision sur la position verticale du mobile sera entaché d'une imprécision importante sur sa position horizontale (en 10 s le mobile aura eu le temps d'effectuer un déplacement horizontal important).

· 2.2 (e) En fait, entre le récepteur et le satellite le signal traverse les couches successives de l'atmosphère et se propage alors à une célérité différente de c.

Lors de la traversée de l'atmosphère, la fréquence f du signal n'est pas modifiée mais la longueur d'onde, elle, varie.

l = vitesse / f varie (23)

· 2.3 (e) Précisons le phénomène ondulatoire auquel fait allusion la dernière phrase du texte.

La dernière phrase du texte "Ces deux signaux se propagent à des vitesses légèrement différentes" fait allusion au phénomène de dispersion. (24)

Rappelons qu'un milieu matériel dans lequel se propage une onde est dispersif si la vitesse de propagation de l'onde dépend de sa fréquence (leçon 4).


PARTIE 3 - Les horloges

· 3.1 (e) Montrons, par analyse dimensionnelle, que = L1/2 g -1/2 est homogène à une durée. (voir aussi le problème 15 B)

D'après l'énoncé : g = 9,80 m.s - 2. Cela permet d'écrire [ g ] = [ L ] [ T ] - 2 (25)

[ ] = [ L ] 1/2 [ g ] -1/2 (26)

[ ] = [ L ] 1/2 [ g ] -1/2 = [ L ] 1/2 [ L ] -1/2 [ T ]

[ ] = [ T ]

= L1/2 g -1/2 est bien homogène à une durée. (27)

· 3.2 (e) Calculons l'écart relatif par rapport à T0 observé sur la période de ce pendule lorsque l'amplitude est de 4°. = 4 x p / 180 rad = p / 45 rad

La relation T = T0 ( 1 + a 2 / 2 ) (28) avec (29) permet de calculer :

(T - T0) / T0 = (T / T0) - 1 = ( 1 + a 2 / 16 ) - 1

(T - T0) / T0 = a 2 / 16 = (p / 45 ) 2 / 16

(T - T0) / T0 3,0 x 10 - 4 (30)

L'écart relatif lorsqu'on confond T (période du pendule pour une amplitude de 4°) avec T0 est très voisin de 3 / 10000.

· 3.3 (e) Une horloge à balancier a une période T1 = 2,000 s en un lieu où l'accélération de la pesanteur vaut g1 = 9,810 N.kg - 1.

Calculons la période T2 d'une horloge identique de même longueur L en un lieu où g2 = 9,800 N.kg - 1 (en conservant la même amplitude).

La relation (29) donne pour le rapport T2 / T1 :

(31)

T2 = 2,001 s (32)

· 3.4 (e) Expliquons pourquoi une horloge à balancier ne convient pas pour déterminer une longitude.

Lors d'un voyage maritime la latitude varie et, par conséquent, g varie. Cela entraîne une variation de la période de l'horloge à balancier embarquée sur le navire (période dépendant de g). Or, d'après l'énoncé, "pour connaître leur longitude, les navigateurs comparaient l'heure locale (heure déterminée d'après la position du Soleil ou d'une étoile) et au même moment l'heure du méridien de Greenwich donnée par une horloge embarquée dans le navire".

Par conséquent, une horloge à balancier (période dépendant de g) ne convient pas pour déterminer correctement une longitude car elle ne conserve pas, avec suffisamment de précision, l'heure du méridien de Greenwich. (33)

· 3.5 (e) En 1764, pour s'affranchir de cet inconvénient, John Harrison parvint à fabriquer une horloge utilisant un ressort spiral (période indépendante de g) , qui après un voyage aller et retour entre Plymouth et La Barbade ne dériva pas de plus de 15 s en 156 jours.

La précision relative de cette horloge était :

Dt / t avec Dt = 15 s et t 156 jours = 156 x 24 x 60 x 60 = 13478400 s

Dt / t = 15 / 13478400 = 1,1 x 10 - 6 (34)

Lors d'un voyage maritime l'horloge utilisant l'horloge à ressort spiral de John Harrison (période indépendante de g) est nettement plus intéressante qu'une horloge à balancier (période dépendant de g).

· 3.6 (e) Calculons la distance, calculée sur le parallèle de Plymouth, correspondant aux 15 s de dérive observées lors du voyage de John Harrison .

On rappelle que la latitude l d'un point P est l'angle entre le plan de l'équateur et la droite joignant P au centre de la Terre. Un parallèle est un cercle de rayon r à la surface de la Terre. Tous les points de ce cercle sont à la même latitude l.

En 24 h (en fait 23 h 56 min) le bateau effectuerait sur le cercle parallèle de Plymouth un trajet de longueur :

D = 2 p r = 2,577 x 10 7 m (35)

En 1 h = 3600 s le bateau effectuerait sur le cercle parallèle de Plymouth un trajet de longueur :

D / 24

En 1 s le bateau effectuerait sur le cercle parallèle de Plymouth un trajet de longueur :

D / (24 x 3600)

En 15 s le bateau effectuerait sur le cercle parallèle de Plymouth un trajet de longueur :

15 D / (24 x 3600) = 4474 m

La distance, calculée sur le parallèle de Plymouth, correspondant aux 15 s de dérive observées lors du voyage de John Harrison est :

d4,5 km (36)


A VOIR :

Problème résolu de la leçon 15 : Période propre des petites oscillations libres d'un pendule simple.

Problème résolu n° 15-A : Etude énergétique du pendule simple. Vitesse. Tension du fil.

Problème n° 15-B (à résoudre) : Pendule de Foucault - Rotation de la Terre.

Problème n° 15-C ci-dessus (avec corrigé) : Voyager en se repérant : le GPS et les horloges (Bac 09/2004 - Polynésie).

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