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PROBLEME RESOLU n° 15-A : Etude énergétique du pendule simple. Vitesse. Tension du fil

 

ENONCE :


Un pendule simple est constitué d’une bille de masse m = 200 g, suspendue à un fil de longueur L = 1,00 m.

On écarte le fil d’un angle a = 70 ° par rapport à la verticale et on l’abandonne sans vitesse initiale. On néglige les frottements. On donne g = 9,8 N / kg.

· 1- Calculer la vitesse de la bille à son passage par le point de plus basse altitude C.(corrigé)

· 2- Calculer la tension F du fil pour les deux positions a1 = 30 ° (point B) puis a0 = 0 ° (point C). (c)

· 3- On place au point I, tel que OI = 30 cm, une petite butée.

La bille est lâchée comme précédemment. On cherche à savoir jusque en quel point D la bille remontera. Calculer l’angle de remontée q. (c)


SOLUTION :


· 1- (énoncé) Calculons la vitesse de la bille à son passage par le point de plus basse altitude C.

figure 1

· Référentiel Galiléen : le solide Terre

Système étudié : la bille

Forces extérieures appliquées au système :

Le poids (essentiellement action gravitationnelle de la terre sur la bille)

La force (action du fil sur la bille)

· Appliquons le théorème de l’énergie cinétique entre le point final C et le point initial A.

Théorème de l'énergie cinétique (à revoir) :

Dans un référentiel Galiléen, la variation de l'énergie cinétique d'un solide, entre deux instants t initial et t final, est égale à la somme des travaux des forces extérieures appliquées au solide entre ces deux instants.

Pour un solide en translation :

m.V²final - m.V²initial = W( ) + W( ) + ...

Ici, on écrira, en tenant compte du fait que la vitesse initiale VA au point A est nulle :

m VC² - 0 = W ( ) + W ( ) (1)

Calculons les travaux des deux forces lors du trajet circulaire de A vers C :

W ( ) = 0 Joule car reste perpendiculaire à la trajectoire circulaire.

W ( ) = + m g h = m g ´ CE

La figure 1 donne CE = CO – EO = = L – L cos 70° = L (1 – cos 70°) = 0,658 m (2)

Portons dans (1) :

m VC² - 0 = 0 + m g L (1 – cos 70°)

VC² = 2 g L (1 – cos 70°) = 12,9 m²/s² soit :

VC = 3,59 m/s 3,6 m/s (3)

· 2- (e) Calcul de la tension du fil .

· On pourrait déterminer la vitesse de la bille au point B comme on vient de déterminer la vitesse au point C.

Nous préférons appliquer le théorème de la conservation de l'énergie mécanique de la bille en interaction avec la Terre (on dit aussi de la bille dans le champ de pesanteur terrestre) :

Théorème : En l'absence de frottement, la somme de l'énergie cinétique et de l'énergie potentielle de la bille en interaction avec la Terre est constante (cette somme est souvent appelée énergie mécanique du pendule en interaction avec la Terre).

Remarque : La bille est également soumise à l'action du fil, mais cette force, constamment perpendiculaire au déplacement ne fournit aucun travail.

Ecrivons donc que l'énergie mécanique de la bille en interaction avec la Terre est la même au point B qu'au point A :

Em (B) = Em (A)

Ec (B) + Ep (B) = Ec (A) + Ep (A)

m VB2 + m g zB = m VA2 + m g zA

VB2 = VA2 + 2 g ( zA - zB ) (4)

Par convention, posons zC = 0 m.

zA = CE = CO – EO = = L – L cos 70° = L (1 – cos 70°) = 0,658 m (2)

zB = CJ = CO - JO = L – L cos 30° = 1 – 1 x cos 30° = 0,134 m (5)

Portons ces valeurs dans la relation (4), en tenant compte du fait que la vitesse initiale VA est nulle.

VB2 = VA2 + 2 g ( zA - zB ) = 0 + 2 ´ 9,8 ´ (0,658 - 0,134)

VB2 = 10,27 m²/s²

VB = 3,20 m/s (6)

·Raisonnons maintenant sur la bille. Elle est soumise à deux forces :

Le poids (essentiellement action de la terre sur la bille)

La force (action du fil sur la bille)

Appliquons la deuxième loi de Newton ((théorème du centre d'inertie) :

Théorème du centre d'inertie (revoir la leçon 11) :

Dans un référentiel Galiléen, la somme des forces extérieures appliquées à un solide est égale au produit de la masse du solide par l'accélération de son centre d'inertie :

Ici, on écrit :

+ = m (7)

Utilisons la base de Frenet (figure 2) :

figure 2

Dans la base de Frenet, le vecteur accélération s'écrit :

(8)(revoir la leçon 14)

Dans cette base de Frenet, on a, en posant P = et F = :

= P cos (60°) + P cos (150°) (9)

B = 0 + FB (10)

Reportons les expressions (8), (9) et (10) dans la relation (7) + = m :

P cos (60°) + P cos (150°) + 0 + FB = m ( )B + m

P cos (60°) + [ P cos (150°) + FB ] = m ( )B + m (11)

·Identifions les coefficients de dans la relation (11) :

P cos (150°) + FB = m

Numériquement, on obtient (avec, dans ce problème, rayon r = L = 1,00 m) :

1,96 cos (150°) + FB = 0,200 ´ 10,27 / 1,00 soit :

FB = 3,75 N3,8 N (12)

·Projetons la relation (7) + = m sur la normale unitaire de Frenet au point C (figure 3) :

P cos 180° + FC = m VC2 / L (13)

figure 3

Numériquement, la relation P cos 180° + FC = m VC2 / L (13) donne :

1,96 cos 180° + FC = 0,2 ´ 12,9 / 1 soit :

FC = 4,57 N4,6 N (14)

· 3- (e) Calcul de l’angle de remontée q

figure 4

Le fil frappe la butée I. La bille remonte jusqu'au point D.

En l'absence de frottement, l’énergie mécanique se conserve encore :

Em (A) = Em (D) soit :

0 + m g zA = 0 + m g zD

On en déduit que D est à la même altitude que A :

zD = zA = 0,658 m.

Dans le triangle rectangle IED on a :

cos q = EI / DI = (CI – CE) / DI = (0,70 – 0,658) / 0,70 = 0,060

q = 86,6 ° 87 °(15)

 

A VOIR :

Problème résolu de la leçon 15 : Période propre des petites oscillations libres d'un pendule simple.

Problème résolu n° 15-A ci-dessus : Etude énergétique du pendule simple. Vitesse. Tension du fil.

Problème n° 15-B (à résoudre) : Pendule de Foucault - Rotation de la Terre.

Problème n° 15-C (à résoudre) : Voyager en se repérant : le GPS et les horloges (Bac 09/2004 - Polynésie).

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