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PROBLEME A RESOUDRE n° 16-B : Oscillateur solide ressort (Bac 2005 - Nouvelle Calédonie - Début du problème)

(Calculatrice autorisée)

 

ENONCE :


Le but de cet exercice est de vérifier l’accord entre l’expérience et la théorie dans le cas des oscillations libres d’un système solide-ressort horizontal.

Etude expérimentale :

Au laboratoire on filme, avec une caméra numérique, les oscillations libres d’un solide de masse m. Ce solide est attaché à deux ressorts identiques à spires non jointives, de constante de raideur k1, et il est posé sur un banc à coussin d’air horizontal (figure 1).

Les deux ressorts restent tendus pendant toute l’expérience. Une règle graduée horizontale est placée à la verticale au dessus du banc. Lorsque le système solide-ressorts est en équilibre, la soufflerie du banc étant en fonctionnement, le point A repéré sur le solide est à la verticale du zéro de la règle graduée (figure 1).

On écarte alors le solide vers la gauche et on l’abandonne sans vitesse initiale.

Le point A oscille entre les positions B et C ; on filme les oscillations (figure 2).

La fréquence d’enregistrement des images est égale à 25 images par seconde. La caméra est placée dans le même plan horizontal que le banc, à une distance d de celui-ci, grande devant la distance BC. Son axe optique (ou axe de visée) en pointillés sur la figure 2 est perpendiculaire au banc et passe par A lorsque le système est à l’équilibre.

Un logiciel approprié permet de pointer les différentes positions du point A sur l’écran vidéo entre ses deux positions extrêmes B et C.

On commence le pointage un peu avant le premier passage du point A à la verticale du point O et on le poursuit un peu après son troisième passage à la verticale du point O. Le fichier de données est transféré vers un tableur qui permet de modéliser et d’afficher la courbe x = f(t), x étant l’abscisse du point A par rapport à l’origine O. On obtient le graphe n° 1 de l’annexe (à rendre avec la copie). L’origine des dates t = 0 s correspond au passage du point A à la première position enregistrée.


·
1- Etude théorique du mouvement du solide

Dans cette étude tous les frottements sont négligés.

On peut modéliser un oscillateur mécanique horizontal par un système solide-ressort constitué d’un solide de masse m, fixé à l’extrémité d’un seul ressort à spires non jointives, de masse négligeable et de constante de raideur k.

La position du centre d’inertie G du solide est étudiée dans un référentiel terrestre considéré comme galiléen et repérée par son abscisse x(t) sur un axe horizontal x’Ox. L’origine des abscisses correspond à l’abscisse de G lorsque le solide est à l’équilibre.

Le solide est mis en oscillation. La période propre des oscillations est T0.

1-1 Forces exercées sur le solide en mouvement.

1-1-1 On note la force exercée par le ressort sur le solide.

Pour une position quelconque du solide, nommer les trois forces qui s’exercent sur ce solide. Les représenter au centre d’inertie G, sans souci d’échelle, sur le schéma n° 1 de l’annexe à rendre avec la copie.

1-1-2 En rappelant l’expression du vecteur force F en fonction de l’allongement algébrique x, vérifier mathématiquement que cette force a bien le sens attendu lorsque le centre d’inertie G se trouve à droite de la position d’équilibre sur le schéma n° 1 de l’annexe à rendre avec la copie.

1-2 Equation différentielle du mouvement du solide.

1-2-1 En appliquant la deuxième loi de Newton au solide, établir l’équation différentielle du mouvement de son centre d’inertie G.

1-2-2 On admet que la solution générale de l’équation différentielle est de la forme :

Montrer que l’expression de la période propre T0 de l’oscillateur est :

1-2-3 Vérifier l’homogénéité de l’expression de la période propre T0 par une analyse dimensionnelle.


·
2- Retour à l’expérience

On rappelle qu’il est équivalent dans cette étude de considérer le mouvement d’un point A quelconque repéré sur le solide en translation ou celui du centre d’inertie G du solide.

2-1 Représenter les grandeurs expérimentales T0exp et Xm,exp par des segments en trait épais sur chacun des deux axes de la courbe x = f(t) (graphe n° 1 de l’annexe).

2-2 Déterminer les valeurs expérimentales de l’amplitude XM,exp et de la période propre T0exp des oscillations du mouvement du solide à partir du résultat de la modélisation de la courbe donnée dans l'annexe à rendre avec la copie. Justifier.

2-3 Les deux ressorts de constante de raideur k1 sont équivalents à un seul ressort de raideur k = 2k1. L’expression de la période propre T0 trouvée dans l’étude théorique reste valable dans le cas de deux ressorts initialement tendus.

Calculer à partir des résultats de l’étude théorique la période propre T0 des oscillations.

2-4 Comparer les deux valeurs de la période propre en calculant l’écart relatif .

· 3- et · 4- REMARQUE

Les questions · 3 (Aspect énergétique en l’absence de frottements) et · 4 (Aspect énergétique en présence de frottements) sont traitées dans le Problème 19 B.

 

ANNEXE

 

Le graphe n° 2 ne servira que dans les questions 3 et 4 (Problème 19 - B)

 

Après avoir résolu ce problème, consultez la solution type.

 

A VOIR :

Problème résolu n° 16-A : Pendule élastique non amorti (Bac 1996).

Problème n° 16 B ci-dessus (à résoudre) : Oscillateur solide-ressort (Bac 2005 - Nouvelle Calédonie).

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