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PROBLEME RESOLU n° 16-A : Pendule élastique non amorti (Bac 1996)

 

ENONCE :


Dans tout l'exercice, on prendra g
= 10 m / s2. On négligera les frottements. On utilise un ressort de masse négligeable, à spires non jointives.


· 1 Etude préalable du ressort

Pour déterminer la raideur k d'un ressort, on accroche une de ses extrémités à un support fixe. Lorsqu'on accroche une masse marquée m = 200 g à son autre extrémité, le ressort s'allonge de 10,0 cm.

a) Vérifier que la raideur du ressort vaut 20,0 N / m. (corrigé)

b) En utilisant le théorème du centre d'inertie, montrer que la raideur du ressort peut aussi s'exprimer en kg / s2.

En quelle unité la quantité s'exprime-t-elle ? (c)

· 2- Etude d'un oscillateur élastique

a) On fixe maintenant le ressort étudié comme l'indique la figure 2. Le ressort est horizontal, une de ses extrémités est fixe. On accroche à son autre extrémité un solide (S) de masse m = 200 g. Ce solide peut se déplacer sans frottement le long d'un axe horizontal Ox. À l'équilibre, le centre G du solide coïncide avec l'origine 0 du repère.

- Etablir l'équation différentielle qui régit le mouvement de G, c'est-à-dire la relation existant entre x et ses dérivées par rapport au temps.

- Vérifier que, si l'on choisit correctement To, la fonction , de période To, est solution de l'équation différentielle précédente. (c)

- Calculer numériquement la valeur de la période To.

b) On comprime le ressort vers la gauche. Le point G occupe alors la position Go telle que OGo = - 0,15 m.

A l'instant t = 0, on lâche le solide sans vitesse initiale. Déterminer l'amplitude X M et la phase Fo du mouvement, ainsi que l'expression de la vitesse v (t) du solide. En déduire la valeur maximale de la vitesse. (c)

c) Définir et exprimer l'énergie mécanique de cet oscillateur non amorti. Calculer sa valeur à l'instant t = 0. (On prendra l'énergie potentielle du ressort nulle lorsque x = 0).

En admettant et en utilisant la conservation de cette énergie mécanique, retrouver la valeur maximale de la vitesse du solide. (c)


SOLUTION :


· 1- Etude préalable du ressort

a) (énoncé) Vérifions que le coefficient de raideur du ressort est égal à k = 20,0 N.m - 1.

figure 1

Référentiel Galiléen : le solide Terre.

Système étudié : le solide accroché à l'extrémité libre du ressort.

Forces extérieures appliquées sur le solide :

Le poids (essentiellement action de la Terre sur le solide).

La force exercée par le ressort sur le solide.

La 1° loi de Newton (Principe de l'inertie) :

"Dans un référentiel Galiléen, si le vecteur vitesse du centre d'inertie d'un solide ne varie pas alors la somme = des forces extérieures appliquées au solide est nulle." (voir la leçon 11)

s'écrit ici :

+ = (1)

m + k =

D'où, en projection sur Oz :

m - k = 0

k = m /

k = (0,200 x 10) / 0,100 = 2 / 0,100

k = 20 N / m (2)

 b) (e) Montrons que la raideur peut aussi s'exprimer en kg / s2 et cherchons avec quelle unité s'exprime la quantité .

· D'après la deuxième loi de Newton (revoir la leçon 11), une force est homogène au produit d'une masse par une accélération.

L'unité N est équivalente à kg . m / s 2. Par conséquent :

k = 20 N / m = 20 kg . m / s 2 m = 20 kg / s 2 = 20 kg . s - 2

Le coefficient de raideur du ressort k s'exprime bien en kg / s 2.

· La quantité m / k s'exprime en kg / kg . s - 2 soit en s2.

La quantité s'exprime en s.


· 2- Etude d'un oscillateur élastique

a) (e) Equation différentielle du mouvement. Equation horaire du mouvement.

figure 2

Référentiel Galiléen : le solide Terre.

Système étudié : le solide accroché à l'extrémité libre du ressort.

Forces appliquées : le solide est maintenant soumis à trois forces :

Le poids (essentiellement action de la Terre sur le solide).

La force exercée par le ressort sur le solide avec = k = - k (3) .

La force exercée par le support sur le solide (elle est perpendiculaire aux surfaces en contact car on néglige les frottements)

- Appliquons la deuxième loi de Newton (théorème du centre d'inertie) (revoir la leçon 11) :

Dans un référentiel Galiléen, la somme des forces extérieures appliquées à un solide est égale au produit de la masse du solide par l'accélération de son centre d'inertie :

 Ici, on écrit :

+ + = m (4) avec = - k et, par conséquent, Fx = - k x

D'où, en projection sur le vecteur unitaire :

0 + 0 - k x = m

m + k x = 0

L'équation (5) est l'équation différentielle du mouvement du solide.

C'est une équation différentielle du second ordre, à coefficients constants, sans second membre.

- Vérifions que, si l'on choisit correctement To, alors la fonction (6) est solution de l'équation différentielle :

(5)

Dérivons  (6) par rapport au temps :

(7)

Dérivons (7) par rapport au temps :

(8)

- Formons :

(9)

- Cette expression (9) est bien identique à = 0 (10) à condition de poser :

soit :

(11)

(6)est solution de l'équation différentielle du mouvement (5), à condition de poser :(11)

 - Calculons la valeur numérique de la période propre T0 = 2 p avec m = 200 g = 0,200 kg et k = 20 N / m

T0 = 0,628 s (12)

b) (e) Etude d'un cas particulier  

- Conditions initiales : à t = 0 s, on a x (o) = - 0,15 m et v (0) = 0 m/s

- Portons ces valeurs dans les relations ci-dessous :

x = X M cos (w0 t + j) (6)

(9)

Il vient, à t = 0 s :

- 0,15 = X M cos (j)

 0 = - (2 p / To) X M sin (j)

Soit :

X M = - 0,15 / cos (j)

 0 = - sin (j)

Il semble y avoir deux solutions :

j1 = 0 (modulo 2 p) avec X1M = - 0,15 m

j2 = p (modulo 2 p) avec X2 M = 0,15 m

En fait, ces deux solutions sont identiques car, d'après cos (a + p) = - cos (a) :

x1 = - 0,15 cos (10 t) = 0,15 cos (10 t + p) = x2

On retiendra :

La position x du centre d'inertie G du solide est, à chaque instant, donnée par :

x = 0,15 cos (10 t + p) (13)

En dérivant x par rapport au temps, on obtient la vitesse du solide en translation rectiligne :

v = - 1,5 sin (10 t + p) (14)

La vitesse varie donc entre - 1,5 m/s et + 1,5 m/s qui est la valeur maximale.

Remarque : En dérivant v par rapport au temps, on obtient l'accélération a du solide :

a = - 15 cos (10 t + p)

c) (e) Etude énergétique de l'oscillateur non amorti.

- Rappelons que x = X M cos (10 t + p ) (13) et v = dx / dt = - 10 X M sin ( 10 t + p ) (14)

- Le système solide-ressort possède, dans le référentiel terrestre Galiléen, l'énergie mécanique :

Em = EP + EC = k x2 + m v2

Em = k Xm2 cos2 (10 t + p) + m (- 10)2 Xm2 sin2 (10 t + p)

Mais k / m = 20,0 / 0,200 = 100 = (- 10)2

Em = k Xm2 cos2 (10 t + p) + m k/m Xm2 sin2 (10 t + p)

Em = k Xm2 [ cos2 (10 t + p) + sin2 (10 t + p) ]

On sait que [ cos2 (10 t + p) + sin2 (10 t + p) ] = 1

Finalement :

Em = k Xm2 (15)

Cette énergie reste constante lorsque le temps s'écoule (rappelons que nous avons négligé tout frottement).

Avec k = 20 N/m et Xm = - 0,15 m, il vient :

Em = 0,225 J (16)

- Nous venons de voir qu'en l'absence de frottement l'énergie mécanique du système ressort-solide restait constante. Au passage par x = 0 l'énergie potentielle du ressort k x2 est nulle, donc l'énergie cinétique du solide est maximale. Il s'ensuit que :

m v2max = 0,225 soit

0,1 v2max = 0,225

v2max = 2,25 m2 / s2

vmax = 1,5 m / s

La vitesse v varie donc entre les valeurs extrêmes - 1,5 m/s et + 1,5 m/s qui est bien la valeur maximale déjà trouvée à la question 2-b.


A VOIR :

Problème résolu n° 16-A ci-desus : Pendule élastique non amorti (Bac 1996).

Problème n° 16 B (à résoudre) : Oscillateur solide-ressort (Bac 2005 - Nouvelle Calédonie).

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