Physique_16_PROBLEME_RESOLU_16

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PROBLEME RESOLU n° 16-A : Pendule élastique non amorti (Bac 1996)

ENONCE :

Dans tout l'exercice, on prendra g = 10 m / s². On négligera les frottements. On utilise un ressort de masse négligeable, à spires non jointives.

· 1 Etude préalable du ressort

Pour déterminer la raideur k d'un ressort, on accroche une de ses extrémités à un support fixe. Lorsqu'on accroche une masse marquée m = 200 g à son autre extrémité, le ressort s'allonge de 10,0 cm.

a) Vérifier que la raideur du ressort vaut 20,0 N / m. (corrigé)

b) En utilisant le théorème du centre d'inertie, montrer que la raideur du ressort peut aussi s'exprimer en kg / s².

En quelle unité la quantité s'exprime-t-elle ? (c)

· 2- Etude d'un oscillateur élastique

a) On fixe maintenant le ressort étudié comme l'indique la figure 2. Le ressort est horizontal, une de ses extrémités est fixe. On accroche à son autre extrémité un solide (S) de masse m = 200 g. Ce solide peut se déplacer sans frottement le long d'un axe horizontal Ox. À l'équilibre, le centre G du solide coïncide avec l'origine 0 du repère.

- Etablir l'équation différentielle qui régit le mouvement de G, c'est-à-dire la relation existant entre x et ses dérivées par rapport au temps.

- Vérifier que, si l'on choisit correctement To, la fonction , de période To, est solution de l'équation différentielle précédente. (c)

- Calculer numériquement la valeur de la période To.

b) On comprime le ressort vers la gauche. Le point G occupe alors la position Go telle que OGo = - 0,15 m.

A l'instant t = 0, on lâche le solide sans vitesse initiale. Déterminer l'amplitude X _Met la phase Fo du mouvement, ainsi que l'expression de la vitesse v (t) du solide. En déduire la valeur maximale de la vitesse. (c)

c) Définir et exprimer l'énergie mécanique de cet oscillateur non amorti. Calculer sa valeur à l'instant t = 0. (On prendra l'énergie potentielle du ressort nulle lorsque x = 0).

En admettant et en utilisant la conservation de cette énergie mécanique, retrouver la valeur maximale de la vitesse du solide. (c)

SOLUTION :

· 1- Etude préalable du ressort

a) (énoncé) Vérifions que le coefficient de raideur du ressort est égal à k = 20,0 N.m^{- 1}.

figure 1

Référentiel Galiléen : le solide Terre.

Système étudié : le solide accroché à l'extrémité libre du ressort.

Forces extérieures appliquées sur le solide :

Le poids (essentiellement action de la Terre sur le solide).

La force exercée par le ressort sur le solide.

La 1° loi de Newton (Principe de l'inertie) :

"Dans un référentiel Galiléen, si le vecteur vitesse

du centre d'inertie d'un solide ne varie pas alors la somme

des forces extérieures appliquées au solide est nulle." (voir la leçon 11)

s'écrit ici :

+ = (1)
m + k =

D'où, en projection sur Oz :

m - k = 0
k = m /

k = (0,200 x 10) / 0,100 = 2 / 0,100

k = 20 N / m (2)

b) (e) Montrons que la raideur peut aussi s'exprimer en kg / s²et cherchons avec quelle unité s'exprime la quantité .

· D'après la deuxième loi de Newton (revoir la leçon 11), une force est homogène au produit d'une masse par une accélération.

L'unité N est équivalente à kg . m / s². Par conséquent :

k = 20 N / m = 20 kg . m / s²m = 20 kg / s² = 20 kg . s^{- 2}

Le coefficient de raideur du ressort k s'exprime bien en kg / s².

· La quantité m / k s'exprime en kg / kg . s^{-
2} soit en s².

La quantité s'exprime en s.

· 2- Etude d'un oscillateur élastique

a) (e) Equation différentielle du mouvement. Equation horaire du mouvement.

figure 2

Référentiel Galiléen : le solide Terre.

Système étudié : le solide accroché à l'extrémité libre du ressort.

Forces appliquées : le solide est maintenant soumis à trois forces :

Le poids (essentiellement action de la Terre sur le solide).

La force exercée par le ressort sur le solide avec = k = - k (3) .

La force exercée par le support sur le solide (elle est perpendiculaire aux surfaces en contact car on néglige les frottements)

- Appliquons la deuxième loi de Newton (théorème du centre d'inertie) (revoir la leçon 11) :

Dans un référentiel Galiléen, la somme des forces extérieures appliquées à un solide est égale au produit de la masse du solide par l'accélération de son centre d'inertie :

Ici, on écrit :

+ + = m (4) avec = - k et, par conséquent, F_x = - k x

D'où, en projection sur le vecteur unitaire :

0 + 0 - k x = m

m + k x = 0

L'équation (5) est l'équation différentielle du mouvement du solide.

C'est une équation différentielle du second ordre, à coefficients constants, sans second membre.

- Vérifions que, si l'on choisit correctement To, alors la fonction (6) est solution de l'équation différentielle :

(5)

Dérivons (6) par rapport au temps :

(7)

Dérivons (7) par rapport au temps :

(8)

- Formons :

(9)

- Cette expression (9) est bien identique à = 0 (10) à condition de poser :

soit :

(11)

(6)est solution de l'équation différentielle du mouvement (5), à condition de poser :(11)

- Calculons la valeur numérique de la période propre T₀ = 2 p avec m = 200 g = 0,200 kg et k = 20 N / m

T₀ = 0,628 s (12)

b) (e) Etude d'un cas particulier

- Conditions initiales : à t = 0 s, on a x (o) = - 0,15 m et v (0) = 0 m/s

- Portons ces valeurs dans les relations ci-dessous :

x = X _M cos (w₀ t + j) (6)

(9)

Il vient, à t = 0 s :

- 0,15 = X _M cos (j)

0 = - (2 p / To)X _M sin (j)

Soit :

X _M = - 0,15 / cos (j)

0 = - sin (j)

Il semble y avoir deux solutions :

j₁ = 0 (modulo 2 p) avec X_1M = - 0,15 m

j₂ = p (modulo 2 p) avec X_2
M = 0,15 m

En fait, ces deux solutions sont identiques car, d'après cos (a + p) = - cos (a) :

x₁ = - 0,15 cos (10 t) = 0,15 cos (10 t + p) = x₂

On retiendra :

La position x du centre d'inertie G du solide est, à chaque instant, donnée par :

x = 0,15 cos (10 t + p) (13)

En dérivant x par rapport au temps, on obtient la vitesse du solide en translation rectiligne :

v = - 1,5 sin (10 t + p) (14)

La vitesse varie donc entre - 1,5 m/s et + 1,5 m/s qui est la valeur maximale.

Remarque : En dérivant v par rapport au temps, on obtient l'accélération a du solide :

a = - 15 cos (10 t + p)

c) (e) Etude énergétique de l'oscillateur non amorti.

- Rappelons que x = X _M cos (10 t + p ) (13) et v = dx / dt = - 10X _M sin ( 10 t + p ) (14)

- Le système solide-ressort possède, dans le référentiel terrestre Galiléen, l'énergie mécanique :

E_m = E_P + E_C = k x² + m v²

E_m = k X_m² cos² (10 t + p) + m (- 10)²X_m² sin² (10 t + p)

Mais k / m = 20,0 / 0,200 = 100 = (- 10)²

E_m = k X_m² cos² (10 t + p) + m k/m X_m² sin² (10 t + p)

E_m = k X_m² [ cos² (10 t + p) + sin² (10 t + p) ]

On sait que [ cos² (10 t + p) + sin² (10 t + p) ] = 1

Finalement :

E_m = k X_m² (15)

Cette énergie reste constante lorsque le temps s'écoule (rappelons que nous avons négligé tout frottement).

Avec k = 20 N/m et X_m = - 0,15 m, il vient :

E_m = 0,225 J (16)

- Nous venons de voir qu'en l'absence de frottement l'énergie mécanique du système ressort-solide restait constante. Au passage par x = 0 l'énergie potentielle du ressort k x² est nulle, donc l'énergie cinétique du solide est maximale. Il s'ensuit que :

m v²_max = 0,225 soit

0,1 v²_max = 0,225

v²_max = 2,25 m² / s²

v_max = 1,5 m / s

La vitesse v varie donc entre les valeurs extrêmes - 1,5 m/s et + 1,5 m/s qui est bien la valeur maximale déjà trouvée à la question 2-b.