ENONCE :
Dans tout l'exercice, on prendra g = 10 m / s2. On négligera les frottements. On utilise un ressort de masse négligeable, à spires non jointives.
a) Vérifier que la raideur du ressort vaut 20,0 N / m. (corrigé)
b) En utilisant le théorème du centre d'inertie, montrer que la raideur du ressort peut aussi s'exprimer en kg / s2.
En quelle unité la quantité
s'exprime-t-elle ? (c)
· 2- Etude d'un oscillateur élastique
a) On fixe maintenant le ressort étudié comme l'indique la figure 2. Le ressort est horizontal, une de ses extrémités est fixe. On accroche à son autre extrémité un solide (S) de masse m = 200 g. Ce solide peut se déplacer sans frottement le long d'un axe horizontal Ox. À l'équilibre, le centre G du solide coïncide avec l'origine 0 du repère.
- Etablir l'équation différentielle qui régit le mouvement de G, c'est-à-dire la relation existant entre x et ses dérivées par rapport au temps.
- Vérifier que, si l'on choisit
correctement To, la fonction , de période To, est solution de
l'équation différentielle précédente.
(c)
- Calculer numériquement la valeur de la période To.
b) On comprime le ressort vers la gauche. Le point G occupe alors la position Go telle que OGo = - 0,15 m.
A l'instant t = 0, on lâche le solide sans vitesse initiale. Déterminer l'amplitude X M et la phase Fo du mouvement, ainsi que l'expression de la vitesse v (t) du solide. En déduire la valeur maximale de la vitesse. (c)
c) Définir et exprimer l'énergie mécanique de cet oscillateur non amorti. Calculer sa valeur à l'instant t = 0. (On prendra l'énergie potentielle du ressort nulle lorsque x = 0).
En admettant et en utilisant la conservation de cette énergie mécanique, retrouver la valeur maximale de la vitesse du solide. (c)
· 1- Etude préalable du ressorta) (énoncé) Vérifions que le coefficient de raideur du ressort est égal à k = 20,0 N.m - 1.
Référentiel Galiléen : le solide Terre.
Système étudié : le solide accroché à l'extrémité libre du ressort.
Forces extérieures appliquées sur le solide :
Le poids
(essentiellement action de la Terre sur le solide).
La force
exercée par le ressort sur le solide.
La 1° loi de Newton (Principe de l'inertie) :
s'écrit ici :
+
=
![]()
(1)
m
+ k
=
D'où, en projection sur Oz :
m - k
= 0
k = m
/
![]()
k = (0,200 x 10) / 0,100 = 2 / 0,100
k = 20 N / m
(2)
b) (e)
Montrons que la raideur peut aussi s'exprimer en kg / s2
et cherchons avec
quelle unité s'exprime la quantité .
· D'après la deuxième loi de Newton (revoir la leçon 11), une force est homogène au produit d'une masse par une accélération.
L'unité N est équivalente à kg . m / s 2. Par conséquent :
k = 20 N / m = 20 kg . m / s 2 m = 20 kg / s 2 = 20 kg . s - 2
Le coefficient de raideur du ressort k s'exprime bien en kg / s 2.
· La quantité m / k s'exprime en kg / kg . s - 2 soit en s2.
La quantité s'exprime
en s.
·
2- Etude d'un oscillateur élastique
a) (e) Equation différentielle du mouvement. Equation horaire du mouvement.
Référentiel Galiléen : le solide Terre.
Système étudié : le solide accroché à l'extrémité libre du ressort.
Forces appliquées : le solide est maintenant soumis à trois forces :
Le poids
(essentiellement action de la Terre sur le solide).
La force
exercée par le ressort sur le solide avec
= k
= - k
(3) .
La force
exercée par le support sur le solide (elle est perpendiculaire aux surfaces en contact car on néglige les frottements)
- Appliquons la deuxième loi de Newton (théorème du centre d'inertie) (revoir la leçon 11) :
Dans un référentiel Galiléen, la somme des forces extérieures appliquées à un solide est égale au produit de la masse du solide par l'accélération de son centre d'inertie :
Ici, on écrit :
+
+
= m
(4)
avec
= - k
et, par conséquent, Fx = - k x
D'où, en projection sur le vecteur unitaire
:
0 + 0 - k x = m
m
+ k x = 0
L'équation
![]()
(5)
est l'équation différentielle du mouvement du solide.
C'est une équation différentielle du second ordre, à coefficients constants, sans second membre.
- Vérifions que, si l'on choisit correctement To, alors la fonction
(6)
est solution de l'équation différentielle :
(5)
Dérivons
![]()
(6)
par rapport au temps :
(7)
Dérivons
(7)
par rapport au temps :
(8)
- Formons :
(9)
- Cette expression (9) est bien identique à
= 0
(10)
à condition de poser :
soit :
(11)
(6)
est solution de l'équation différentielle du mouvement
![]()
(5)
, à condition de poser :
(11)
- Calculons la valeur numérique de la période propre T0 = 2 p
avec m = 200 g = 0,200 kg et k = 20 N / m
T0 = 0,628 s
(12)
b) (e) Etude d'un cas particulier
- Conditions initiales : à t = 0 s, on a x (o) = - 0,15 m et v (0) = 0 m/s
- Portons ces valeurs dans les relations ci-dessous :
x = X M cos (w0 t + j)
(6)
(9)
Il vient, à t = 0 s :
- 0,15 = X M cos (j)
0 = - (2 p / To) X M sin (j)
Soit :
X M = - 0,15 / cos (j)
0 = - sin (j)
Il semble y avoir deux solutions :
j1 = 0 (modulo 2 p) avec X1M = - 0,15 m
j2 = p (modulo 2 p) avec X2 M = 0,15 m
En fait, ces deux solutions sont identiques car, d'après cos (a + p) = - cos (a) :
x1 = - 0,15 cos (10 t) = 0,15 cos (10 t + p) = x2
On retiendra :
La position x du centre d'inertie G du solide est, à chaque instant, donnée par :
x = 0,15 cos (10 t + p)
(13)
En dérivant x par rapport au temps, on obtient la vitesse du solide en translation rectiligne :
v = - 1,5 sin (10 t + p)
(14)
La vitesse varie donc entre - 1,5 m/s et + 1,5 m/s qui est la valeur maximale.
Remarque : En dérivant v par rapport au temps, on obtient l'accélération a du solide :
a = - 15 cos (10 t + p)
c) (e) Etude énergétique de l'oscillateur non amorti.
- Rappelons que x = X M cos (10 t + p )
(13)
et
v = dx / dt = - 10 X M sin ( 10 t + p )
(14)
- Le système solide-ressort possède, dans le référentiel terrestre Galiléen, l'énergie mécanique :
Em = EP + EC =
k x2 +
m v2
Em =
k Xm2 cos2 (10 t + p) +
m (- 10)2 Xm2 sin2 (10 t + p)
Mais k / m = 20,0 / 0,200 = 100 = (- 10)2
Em =
k Xm2 cos2 (10 t + p) +
m k/m Xm2 sin2 (10 t + p)
Em =
k Xm2 [ cos2 (10 t + p) + sin2 (10 t + p) ]
On sait que [ cos2 (10 t + p) + sin2 (10 t + p) ] = 1
Finalement :
Em =
k Xm2
(15)
Cette énergie reste constante lorsque le temps s'écoule (rappelons que nous avons négligé tout frottement).
Avec k = 20 N/m et Xm = - 0,15 m, il vient :
Em = 0,225 J
(16)
- Nous venons de voir qu'en l'absence de frottement l'énergie mécanique du système ressort-solide restait constante. Au passage par x = 0 l'énergie potentielle du ressort
k x2 est nulle, donc l'énergie cinétique du solide est maximale. Il s'ensuit que :
m v2max = 0,225 soit
0,1 v2max = 0,225
v2max = 2,25 m2 / s2
vmax = 1,5 m / s
La vitesse v varie donc entre les valeurs extrêmes - 1,5 m/s et + 1,5 m/s qui est bien la valeur maximale déjà trouvée à la question 2-b.
A VOIR :
Problème résolu n° 16-A ci-desus : Pendule élastique non amorti (Bac 1996).
Problème n° 16 B (à résoudre) : Oscillateur solide-ressort (Bac 2005 - Nouvelle Calédonie).