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PROBLEME RESOLU n° 17-A : Oscillations mécaniques libres et forcées (d'après Bac Réunion 2003)

(Sans calculatrice)

 

ENONCE :


Les valeurs numériques nécessaires à la résolution sont données à la fin de l'exercice.

Pour modéliser le ressort du système de suspension de voiture, un élève suggère d'utiliser un ressort de constante de raideur k (valeur indiquée par le fournisseur).


· A - Etude des oscillations libres

Cet élève utilise un système d'acquisition de données schématisé figure 1.

Deux électrodes A et B, immobiles, plongées dans la solution S, sont reliées aux bornes positive et négative d'un générateur de tension. Une tige métallique t, recouverte d'un isolant sur toute sa longueur, est fixée à la masse m. Son extrémité E, légèrement dénudée de son isolant, suit donc exactement le mouvement de la masse m.

La mesure de la tension entre le point E et la borne 0 V du générateur permet de détecter la position de E (le dispositif de mesure n'est pas représenté sur le schéma). Ainsi, il est possible de connaître la position de la masse m au cours des oscillations.

Après réglage des paramètres du logiciel d'acquisition, l'élève écarte la masse m vers le bas, de 1 cm, et il laisse le système osciller librement.

Le déclenchement de l'acquisition se fait par le passage à la position d'équilibre. La courbe obtenue est donnée sur la figure a.

· A-1 Commenter l'allure de la courbe. A quel type d'oscillations correspond-elle ? (c)

· A-2 Déterminer graphiquement la période T0 d'oscillations de la masse m suspendue au ressort. (c)

· A-3 Cette valeur est-elle en accord avec la valeur théorique ? (c)

· A-4 On ajoute à l'extrémité E de la tige un disque horizontal de volume et de masse négligeables. Des forces de frottement interviennent alors. Dessiner l'allure de la courbe obtenue après une nouvelle acquisition. (c)


· B - Etude des oscillations forcées

L'élève relie maintenant l'extrémité haute du ressort à un excentrique mu par un moteur (figure 2) et réalise plusieurs enregistrements pour différentes vitesses de rotation du moteur mesurées par la fréquence de rotation f en Hertz. A l'extrémité de la tige se trouve toujours le disque horizontal de volume et de masse négligeables.

L'élève relève l'amplitude de chaque courbe enregistrée.

f (Hz)

1,5

2,0

2,5

2,8

3,1

3,2

3,3

3,6

4,0

4,5

xmax (cm)

0,4

0,6

1,0

1,5

2,1

2,3

2,0

1,5

1,0

0,7

· B-1 Quel nom donne-t-on au moteur muni de l'excentrique et au système (ressort + masse) ? (c)

· B-2 Construire la courbe représentant xmax en fonction de la fréquence f.

Quel phénomène obtient-on à f = 3,2 Hz ?

Comparer la fréquence fR des oscillations à la résonance à la fréquence propre f0 des oscillations libres non amorties du système (ressort + masse). (c)

· B-3 Quel(s) changement(s) observerait-on si on utilisait une solution S' plus visqueuse. (c)


· C - Suspension d'une automobile

Le système de suspension d'une automobile comprend des ressorts et des amortisseurs.

L'automobile est donc un système mécanique oscillant de fréquence propre f0.

Certaines pistes du désert ont un aspect de "tôle ondulée" : elles comportent une succession régulière de bosses, distantes de L (quelques dizaines de centimètres).

Pour une vitesse VR, le véhicule subit des oscillations de forte amplitude qui diminuent dangereusement sa tenue de route.

· C-1 Expliquer ce phénomène. (c)

· C-2 Exprimer la vitesse VR en fonction de f0 et L. (c)

Calculer cette vitesse en km.h - 1 avec f0 = 5,0 Hz et L = 80 cm.

Données :

k = 40 N.m -1m = 100 g p = 3,14


SOLUTION :


· A - Etude des oscillations libres

· A-1 (e) Commentons l'allure de la courbe et précisons le type d'oscillations observés.

L'amplitude des oscillations est constante. Les oscillations, libres, non amorties, sont périodiques.

· A-2 (e) Déterminons graphiquement la période T0 d'oscillations de la masse m suspendue au ressort.

La durée de deux oscillations est voisine de 0,63 s. La période propre T0 des oscillations libres non amorties est donc :

T0 0,31 s(1) par détermination graphique.

· A-3 (e) Voyons si cette valeur de To obtenue graphiquement est en accord avec la valeur théorique.

La valeur théorique des oscillations du pendule élastique est (2).

L'énoncé donne m = 100 g = 0,100 kg et k = 40 N / m. On obtient :

T0   0,31 s (3) par calcul avec la formule théorique.

Le calcul confirme la valeur obtenue expérimentalement.

Remarque : La valeur théorique a été établie dans la leçon 16 et dans le problème 16-A en se limitant, conformément au programme, au cas de l'oscillateur horizontal. On admet, ici, que la période propre reste la même si le pendule élastique oscille verticalement.

· A-4 (e) On ajoute à l'extrémité E de la tige un disque horizontal de volume et de masse négligeables. Des forces de frottement interviennent alors. Dessinons l'allure de la courbe obtenue après une nouvelle acquisition.

· La masse du disque et par conséquent son poids sont négligeables.

· La poussée d'Archimède exercée par l'eau sur le disque est également négligeable puisque son volume est négligeable.

· Par contre l'oscillateur est maintenant amorti par des frottements visqueux (voir la leçon 16).

En présence de frottement modéré (disque de petite surface, placé dans un liquide peu visqueux comme de l'eau salée) l’amplitude des oscillations diminue progressivement (régime pseudo périodique). La pseudo période T1 est voisine de la période propre T0.

Voici l'allure de la courbe obtenue après une nouvelle acquisition :

· B - Etude des oscillations forcées

· B-1 (e) Précisons le nom donné au moteur muni de l'excentrique et au système (ressort + masse)

Le moteur muni de l'excentrique est l'excitateur. Le système (ressort + masse) est le résonateur.

C'est l'excitateur qui impose sa fréquence f au résonateur de fréquence propre f0 = 1 / T0(4).

· B-2 (e) Construisons la courbe représentant xmax en fonction de la fréquence f. Précisons la nature du phénomène obtenu à f = 3,2 Hz et comparons la fréquence fR des oscillations à la résonance à la fréquence propre f0 des oscillations libres non amorties du système (ressort + masse).

· La courbe donnant les variations de l'amplitude xmax des oscillations du résonateur en fonction de la fréquence f qui lui est imposée par l'excitateur s'appelle courbe de résonance.

f (Hz)

1,5

2,0

2,5

2,8

3,1

3,2

3,3

3,6

4,0

4,5

xmax (cm)

0,4

0,6

1,0

1,5

2,1

2,3

2,0

1,5

1,0

0,7

 

· Pour la fréquence fR = 3,2 Hz de l'excitateur on observe que l'amplitude des oscillations du résonateur est maximale. C'est le phénomène de résonance d'amplitude.

· Ce phénomène de résonance se produit pour une fréquence de l'excitateur fR 3,2 Hz (5) proche mais légèrement inférieure à la fréquence propre f0 = 1 / T0 3,2 Hz (6) du résonateur.

· B-3 (e) Précisons les changements que l'on observerait si on utilisait une solution S' plus visqueuse.

Si on utilisait une solution S' plus visqueuse la force de frottement augmenterait et la résonance deviendrait floue.

Si l'amortissement devenait très important, Il n'y aurait plus de résonance .

· C - Suspension d'une automobile

· C-1 (e) Pour une vitesse VR, le véhicule subit des oscillations de forte amplitude qui diminuent dangereusement sa tenue de route. Expliquons ce phénomène.

La suspension d'une automobile est assimilable à un système mécanique oscillant de fréquence propre f0. Elle joue le rôle de résonateur, néanmoins amorti.

A chaque passage sur une bosse excitatrice le système reçoit une impulsion quasi verticale. Si ces impulsions sont périodiques et si leur fréquence f est voisine de f0 alors les oscillations de la voiture, bien qu'amorties, peuvent atteindre une amplitude importante. La "tenue de route" de la voiture risque d'être compromise.

· C-2 (e) Exprimons la vitesse VR en fonction de f0 et L.

Ce phénomène se produit si le temps qui s'écoule entre deux passages sur une bosse, soit L / VR, est égale à la période propre T0 = 1 / f0 du système mécanique oscillant :

L / VR = 1 / f0

VR = L x f0 (7)

Avec f0 = 5,0 Hz et L = 80 cm = 0,80 m, on calcule :

VR = L x f0 = 0,80 x 5,0 = 4,0 m / s = 14400 m / h

VR 14 km / h (8)


A VOIR :

Problème résolu n° 17-A ci-dessus : Oscillations mécaniques libres et forcées.

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