ENONCE :

En étalonnant un ressort de longueur à vide L₀ = 30 cm, on a obtenu la courbe suivante qui relie l'allongement x = L - L₀ à la tension T exercée à son extrémité libre.

· 1 Déterminer, graphiquement, le travail effectué par la tension exercée par un opérateur sur le ressort afin que la longueur de celui-ci passe de L₀ = 30 cm à L₁ = 40 cm. (c)

· 2 Calculer le coefficient de raideur K du ressort. (c)

· 3 Déterminer, à l'aide d'une intégrale, le travail que doit fournir l'opérateur pour que la longueur du ressort passe de L₁ = 40 cm à L₂ = 50 cm. (c)

· 4 On utilise deux ressorts identiques au précédent pour soutenir un solide de masse m = 5 kg.

a- Calculer l'allongement et la longueur des deux ressorts. (c)

b- Quelle devrait être la raideur K ' d'un ressort qui soutiendrait le même solide en subissant le même allongement que les deux ressorts. (c)

On donne g = 9,8 N / kg

SOLUTION :

· 1 (e) Déterminons, graphiquement, le travail effectué par la tension exercée par un opérateur sur le ressort afin que la longueur de celui-ci passe de L₀ = 30 cm à L₁ = 40 cm.

L'allongement du ressort x = L - L₀ passe de x ₀ = 0 (1) à x₁ = L₁ - L₀ = 40 - 30 = 10 cm = 0,010 m (2)

Durant le trajet infinitésimal = dx (3), la tension exercée par l'opérateur sur le ressort reste pratiquement constante. Le travail infinitésimal qu'elle effectue s'écrit :

dW = . = K x . dx = K x dx (4)

K x = T et x sont les cotés du "rectangle" bleu de la figure ci-dessus. Le trapèze bleu de largeur infinitésimale dx est assimilable à un rectangle.

dW = K x dx = "Aire" infinitésimale bleue (5)

 Le travail que la tension effectue pour que l'allongement de ressort passe de 0 à x₁ est :

W₁ () = Somme des "aires" infinitésimales = "Aire" du triangle abc de base ab et de hauteur bc (6)

Sur le graphe, on lit ab = 10 cm = 0,10 m = x₁ (7) et bc = 20 N = T₁ = K x₁ (8)

Par conséquent, cette "aire" a pour unité le mètre que multiplie le newton. Elle s'exprime donc en joule.

Or, l'aire d'un triangle est égale au demi produit de sa base par la hauteur correspondante. Par suite :

W₁ () = ab ´ bc (9)

W₁ () = ´ 0,10 ´ 20

W1 () = 1,0 m N = 1,0 J (10)

Remarque : Comme ab = x₁ et bc = T₁ = K x₁, on peut écrire :

W₁ () = K x₁² (11)

· 2 (e) Calculons le coefficient de raideur K du ressort.

Les relations W₁ () = 1,0 J (10) et W₁ () = K x₁² (11) permettent d'écrire :

K x₁² = 1,0 (12)

K = 2,0 / x₁² = 2,0 / (0,10)²

K = 200 N / m (13)

· 3 (e) D Déterminons, à l'aide d'une intégrale, le travail que doit fournir l'opérateur pour que la longueur du ressort passe de L₁ = 40 cm à L₂ = 50 cm.

 Le travail infinitésimal que la tension effectue pour que l'allongement de ressort passe de x à x + dx s'écrit :

dW = . = K x . dx = K x dx (4)

La valeur du travail fourni par la tension pour que la longueur du ressort passe de L₁ = 40 cm à L₂ = 50 cm (c'est à dire pour que l'allongement du ressort passe de x₁ = 0,10 m à x₂ = L₂ - L₀ = 50 - 30 = 20 cm = 0,20 m) est :

(14)

Numériquement, on obtient :

W_1-->2 () = ´ 200 ´ (0,20 ² - 0,10 ²)

W 1-->2 () = 3,0 J(15)

Remarque : Graphiquement, ce travail est représenté par "l'aire" du trapèze bleu sur la figure suivante :

 

· 4 Utilisons deux ressorts identiques au précédent pour soutenir un solide de masse m = 5 kg.

a- (e) Calculons l'allongement x et la longueur L des deux ressorts.

Le calcul fait à coté du schéma ci-dessus montre que les deux ressorts soutenant le solide de masse m = 5 kg ont le même allongement :

x = m g / 2 K (18)

x = (5 ´ 9,8) / (2 ´ 200)

x = 0,1225 m = 12,25 cm (19)

A vide les deux ressorts mesurent L₀ = 30 cm. En charge, les deux ressorts auront la longueur L :

L = L0 + x = 30 + 12,25 = 42,25 cm (20)

b- (e) Calculons la raideur K ' d'un ressort qui soutiendrait le même solide en subissant le même allongement que les deux ressorts associés.

 Les calculs faits à coté des schémas ci-dessus montrent que :

K ' = 2 K (21)

K ' = 2 ´ 200

K ' = 400 N / m (22)

A VOIR :

Exercice de la leçon 18 : Etude de quelques exemples.

Problème résolu n° 18 A ci-dessus : Travail effectué par la tension exercée sur un ressort.