· La notion de travail d'une force a été introduite en classe de première.

·  Des objets soumis à une force dont le point d'application se déplace peuvent :

· être mis en mouvement (chariot, wagon, brique glissant sur une table, etc.)

· changer d'altitude (valise que l'on monte au 3° étage d'un hôtel, pierre qui tombe, etc.)

· se déformer temporairement (ressort, élastique) ou définitivement (voiture lors d'un choc)

· voir leur température s'élever (patins d'un frein de bicyclette)

Dans tous ces cas on dit que la force fournit un travail. Cette grandeur est définie plus précisément ci-dessous.

Le travail désigne un mode de transfert de l'énergie.

 

1- TRAVAIL D'UNE FORCE

1.1 Travail d'une force constante dont le point d'application suit un trajet rectiligne.

· Une force constante est représentée par un vecteur qui reste parallèle à lui même et qui conserve le même sens et la même valeur au cours du temps.

· Définition : Dans un référentiel donné, le travail d'une force constante dont le point d'application se déplace de A vers B suivant un trajet rectiligne est donné par :

WAB ( ) = . = . . cos ( , ) (1)

Remarque : Le produit scalaire de deux vecteurs est commutatif. Par suite :

W_AB ( ) =. = . . cos ( , ) (1 bis)

On retrouve que le cosinus d'un angle est une fonction paire : cos ( , ) = cos ( , )

- Souvent, on pose :

= F

= AB

( , ) = a (en radian ou en degré)

Le travail de la force constante s'écrit alors :

WAB ( ) = . = F . AB . cos a (2)

Unités :

Force en newton ( N )

Déplacement en mètre (m)

Travail W_AB en joule (J)

· Travail moteur, résistant ou nul :

Le signe du travail W_AB ( ) = . = F . AB . cos a est celui de cos a.

En effet = F et = AB sont positifs alors que la valeur de cos a est comprise entre - 1 et + 1.

· Si l'angle a = ( , ) est aigu alors cos a > 0 et W_AB ( ) > 0. Le travail est moteur (voir l'exemple 1).

· Si l'angle a = ( , ) est obtus alors cos a < 0 et W _AB ( ) < 0. Le travail est résistant (voir l'exemple 2).

· Si l'angle a = ( , ) est droit (a = 90° = p / 2 rad) alors cos a = 0 et W _AB ( ) = 0 J. Le travail est nul.

Retenons qu'une force perpendiculaire à la trajectoire ne fournit aucun travail.  

1.2 Travail d'une force variable et d'un déplacement quelconque de A vers B.

Lors du déplacement quelconque de A vers B du point d'application d'une force variable, on décompose le trajet en petits éléments rectilignes sur lesquels on considère que la force reste pratiquement constante.

Pour cet élément de trajet, le travail élémentaire effectué par la force est pratiquement :

DW = . (3)

Le travail effectué par la force entre les points extrêmes A et B est très voisin de la somme des travaux élémentaires :

W_AB ( ) = DW₁ + DW₂ + DW₃ + - - - = . + . + . + - - -

WAB ( ) = (4)

L'approximation est d'autant meilleure que les éléments sont petits. Lorsque ces éléments tendent vers le vecteur nul, on obtient la valeur exacte du travail :

WAB ( ) = (4 bis)

L'intégrale précédente fait intervenir le déplacement infinitésimal auquel correspond le travail infinitésimal :

dW = .

Remarque :

La relation (4) redonne la relation (1) si reste constant. En effet :

W_AB ( ) = DW₁ + DW₂ + DW₃ + - - = . + . + . + - - -

W_AB ( ) = . + . + . + - - - = . ( + + + - - - )

Mais + + + - - - =

W_AB ( ) = . (1)

Le travail d'une force constante, effectué entre deux points A et B, est indépendant du chemin parcouru.

1.3 Exercice : Etude de quelques exemples.

· Exemple 1 Le mobile se déplace de A vers B On donne = 60 N et = 5 m. Calculons le travail de : W ( ) = .. cos (, ) W ( ) = 60 ´ 5 ´ cos 30° W ( ) = 260 J (5) Le travail de est moteur, positif care on a un angle aigu entre et , par suite cos (, ) > 0. (, ) = + 30° cos (+ 30°) = 0866

· Exemple 2 Le mobile se déplace de A vers B. On donne = 50 N et = 3 m. Visiblement la force tente de s'opposer à ce déplacement. Calculons son travail : W ( ) = .. cos (, ) W ( ) = 50 ´ 3 ´ cos (- 120°) W ( ) = - 75 J (6) Le travail de est résistant, négatif car on a un angle obtus entre et , par suite cos (, ) < 0. (, ) = - 120° cos (- 120°) = - 0,50

· Exemple 3 Skieur tracté le long de la piste OA avec frottement. (poids) représente essentiellement l'action de la Terre sur le skieur. représente l'action de la perche sur le skieur. représente l'action de la piste sur le skieur ( n'est pas perpendiculaire à la piste car il y a des frottements). Exprimons le travail effectuée par ces trois forces le long du trajet OA. · W () = .. cos (, ) W () = .. cos (- 60°) (7) Le travail de , force motrice, est positif car on a un angle aigu entre la force et le vecteur déplacement , par suite cos (,) > 0. cos (- 60°) = + 0,50 · W () = .. cos (120°) (8) Le travail de, force résistante, est négatif car on a un angle obtus 120° entre et , par suite cos ( , ) < 0. cos (+ 120°) = - 0,50. · W () = .. cos (,) (9) , force résistante, fournit un travail négatif car on a un angle obtus entre et , par suite cos (,) < 0.

2- TRAVAIL DU POIDS

Dans un domaine de quelques centaines de mètres, on peut considérer que le poids d'un solide est constant.

Calculons le travail de pour un déplacement curviligne quelconque du centre de gravité G du solide partant du point A pour aboutir au point B.

Décomposons la trajectoire de A vers B en déplacements élémentaires rectilignes , , , etc. Ces déplacements rectiligne très courts permettent de décrire exactement le déplacement curviligne .

Le travail effectué par le poids entre les points extrêmes A et B est égal à la somme des travaux élémentaires :

W_AB ( ) = DW₁ + D W₂ + D W₃ + - - - = . + . + . + - - -

W_AB ( ) = . ( + + + - - - ) (10)

Mais ( + + + - - - ) = . Portons dans (10) :

W_AB ( ) = . (11)

Exprimons le produit scalaire . en fonction des coordonnées des deux vecteurs :

W_AB ( ) = . = P_x . ( x_B - x_A ) + P_y . ( y_B - y_A ) + P_z . ( z_B - z_A ) (12)

Les coordonnées des vecteurs et sont :

( 0, 0, - P ) et ( x_B - x_A, y_B - y_A, z_B - z_A ). Portons dans (12) :

W_AB ( ) = 0 . ( x_B - x_A ) + 0 . ( y_B - y_A ) - P . ( z_B - z_A ) (13)

On sait que P = m . g. Portons dans (13) :

W_AB ( ) = - m . g . ( z_B - z_A ) ou encore :

WAB ( ) = m . g . ( zA - zB ) (14)

Le travail du poids d'un solide ne dépend que des altitudes des points de départ et d'arrivée de son centre de gravité. Il ne dépend pas du chemin suivi pour aller de A vers B.

Ce travail est positif (moteur) si le solide descend, négatif (résistant) si le solide monte, nul si les points A et B sont à la même altitude.

Remarque :

Appelons h la dénivellation entre A et B.

W_AB ( ) = . = .. cos ( , ) = ± ½ m g h ½ (15)

Signe + si m descend (travail moteur) et signe - si m monte (travail résistant)

3- TRAVAIL D'UNE FORCE APPLIQUEE A L'EXTREMITE D'UN RESSORT, L'AUTRE EXTREMITE ETANT FIXE

Un opérateur exerce une force , croissante, permettant d'allonger très progressivement (ou de raccourcir) un ressort de longueur à vide lo. L'allongement étant très progressif on peut écrire que la tension est proportionnelle à l'allongement x du ressort :

= K . = K x (16) (K est le coefficient de raideur du ressort)

Durant le trajet infinitésimal = dx, la force   reste pratiquement constante. Le travail infinitésimal qu'elle effectue s'écrit :

dW = . = K x . dx

dW = K x dx (17)

La valeur du travail fourni par la tension pour déformer le ressort d'une quantité X depuis sa position de repos est :

(18)

- Pour étirer ou comprimer un ressort de raideur K d'une distance X depuis sa position à vide, la tension exercée sur le ressort doit fournir un travail :

W ( ) = K X ² (18)

Unités : W est en joule (J) - K en newton par mètre (N / m) - X en mètre (m)

Remarque : Interprétation graphique

Représentons le graphe donnant la valeur de la tension exercée par l'opérateur qui fait passer l'allongement du ressort de la valeur 0 à la valeur X.

Le travail infinitésimal que la tension effectue pour que l'allongement du ressort passe de x à x + dx s'écrit :

dW = . = K x . dx

dW = K x dx = "Aire" infinitésimale bleue

Le travail que la tension effectue pour que l'allongement de ressort passe de 0 à X est :

= "Aire" du triangle de base X et de hauteur K X.

Cette "Aire" s'exprime en mètre ´ newton (m ´ N) soit en joule (J).

4- PUISSANCE AVEC LAQUELLE UN TRAVAIL EST EFFECTUE

Le travail fourni par une force peut être effectué en un temps plus ou moins long. Les physiciens ont été amenés à introduire une nouvelle grandeur : la puissance qui tient compte du temps mis pour effectuer ce travail.

4.1 Puissance moyenne avec laquelle un travail a été effectué

Quand, dans un référentiel donné, une force a effectué un travail W_AB entre les instants t_A et t_B, la puissance moyenne avec laquelle ce travail a été effectué est :

pmoyenne = WAB / (tB - tA) (19)

Unités : travail W en joule (J) - date t en seconde (s) - puissance p_moyenne en watt (W).

4.2 Puissance instantanée

Pendant un intervalle de temps dt = t_A - t_B très court une force effectue un travail DW = . (17) très petit. On définit alors la puissance instantanée avec laquelle le travail s'effectue :

p_instantanée = DW / dt (20)

Portons (3) dans (20) :

p_instantanée = (21)

Mais = (22) est la vitesse instantanée du point d'application de la force. Portons dans (21) :

p_instantanée = = .

pinstantanée = . = F . V . cos ( , ) (23)

Unités : puissance en watt (W) - force F en newton (N) - vitesse V en mètre par seconde (m / s).

A VOIR :

Exercice ci-dessus : Etude de quelques exemples.

Problème résolu n° 18-A : Travail effectué par la tension exercée sur un ressort.