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PROBLEME AVEC CORRIGE n° 19-B : Etude énergétique d'un oscillateur solide-ressort (Bac 2005 - Nouvelle Calédonie - Fin du problème)

(Calculatrice autorisée)

 

ENONCE :


REMARQUE :
Les questions · 1 (Etude théorique du mouvement du solide) et · 2 (Retour à l’expérience) ont été traitées dans le Problème 16 B. Elles ont notamment permis de montrer que la période propre To de l'oscillateur constitué d’un solide de masse m, fixé à l’extrémité d’un seul ressort à spires non jointives, de masse négligeable et de constante de raideur k, est .

Les questions · 3 et · 4 qui suivent abordent l'étude énergétique de cet oscillateur élastique.


· 3- Aspect énergétique en l’absence de frottements

Rappel : On peut modéliser un oscillateur mécanique horizontal par un système solide-ressort constitué d’un solide de masse m, fixé à l’extrémité d’un seul ressort à spires non jointives, de masse négligeable et de constante de raideur k.

Dans cette question tous les frottements sont négligés.

Dans le modèle d’oscillateur adopté, le choix des états de référence est tel que :

· l'énergie potentielle de pesanteur est nulle à l’altitude du centre d’inertie G ;

· l'énergie potentielle élastique est nulle lorsque l’allongement du ressort est nul (G passant par O).

3-1 Rappeler l’expression de l’énergie mécanique Em du système solide-ressort horizontal dans le champ de pesanteur à la position d’abscisse x quelconque, en fonction de m, k, x et v la valeur de la vitesse du centre d’inertie G dans le référentiel terrestre. (corrigé)

3-2 Soit Vm la valeur maximale de la vitesse atteinte par le centre d’inertie G pour les oscillations d’amplitude Xm étudiées.

En traduisant la propriété de l’énergie mécanique donnée au 3.1, montrer que Vm = 2 p Xm / T0 (c)

3-3 Calculer la valeur de la vitesse maximale du mobile pour une amplitude de 4,3 cm et une période propre de 0,30 s. (c)

3-4 En vous aidant du graphe n° 1 , indiquer dans les cases grisées du graphe n° 2 de l'ANNEXE à rendre avec la copie :

· la durée désignée par la double flèche, en fonction de T0 ;

· les énergies : Em, EP (énergie potentielle élastique) et EC (énergie cinétique). (c)


· 4
- Aspect énergétique en présence de frottements

Le système solide-ressort est toujours supposé osciller, mais désormais on tient compte des frottements.

4-1 De quel régime s’agit-il dans le cas où l’on observe toujours des oscillations bien que l’on ne puisse plus négliger les frottements ? Comment nomme-t-on le temps caractéristique T correspondant ? (c)

4-2 Soit Em, 0 la valeur de l’énergie mécanique de l’oscillateur lâché sans vitesse initiale avec un allongement maximum initial Xm, 0.

4-2-1 Etablir l’expression de l’énergie mécanique Em, 0 en fonction de l’allongement maximum initial Xm, 0. (c)

4-2-2 On constate expérimentalement qu’au bout d’une oscillation, l’amplitude du mouvement est divisée par r (nombre réel positif non nul).

Etablir l’expression du rapport de l’énergie mécanique correspondante Em, 1 à l’énergie mécanique initiale Em, 0 en fonction de r. (c)

 

ANNEXE (à rendre avec la copie)

 

SOLUTION :


Les corrigés des questions · 1 (Etude théorique du mouvement du solide) et · 2 (Retour à l’expérience) se trouvent dans le Problème 16 B. Elles ont notamment permis de montrer que la période propre To de l'oscillateur constitué d’un solide de masse m, fixé à l’extrémité d’un seul ressort à spires non jointives, de masse négligeable et de constante de raideur k, est .

Les corrigés des questions · 3 et · 4 qui suivent abordent l'étude énergétique de cet oscillateur élastique.


·
3- Aspect énergétique en l’absence de frottements

Dans cette question tous les frottements sont négligés.

Dans le modèle d’oscillateur adopté, le choix des états de référence est tel que :

· l'énergie potentielle de pesanteur est nulle à l’altitude du centre d’inertie G ;

· l'énergie potentielle élastique est nulle lorsque l’allongement du ressort est nul (G passant par O).

3-1 (énoncé) Rappelons l’expression de l’énergie mécanique Em du système solide-ressort horizontal dans le champ de pesanteur à la position d’abscisse x quelconque, en fonction de m, k, x et v la valeur de la vitesse du centre d’inertie G dans le référentiel terrestre.

· Energie cinétique du solide

En négligeant la masse du ressort, on peut écrire que l'énergie cinétique du système solide-ressort est celle du solide en translation rectiligne :

EC = m V2 (1)

Cette énergie cinétique appartient en propre au solide de masse m.

L'énergie cinétique EC est en joule (J), la masse m est en kilogramme (kg), la vitesse V est en mètre par seconde (m / s).

· Energie potentielle élastique du ressort

Un ressort comprimé ou dilaté emmagasine de l'énergie appelée énergie potentielle élastique. Cette énergie potentielle élastique emmagasinée par le ressort s'écrit :

EP = K x2 (2)

(On convient de dire que l'énergie potentielle élastique est nulle lorsque l'allongement du ressort est nul).

Cette énergie potentielle élastique appartient en propre au ressort de raideur K.

EP est en joule (J), la raideur du ressort K est newton par mètre (N / m), l'élongation x du ressort est en mètre (m).

· Energie potentielle d'interaction du système avec la Terre

Le solide de masse m reste à la même altitude (on néglige la masse du ressort). Par conséquent l'énergie potentielle du solide dans le champ de pesanteur terrestre ne varie pas. Elle est nulle si on choisit l'état de référence à l'altitude où évolue le entre d'inertie G du solide.

· Energie mécanique du système solide-ressort horizontal

Par définition, l'énergie mécanique du système solide-ressort horizontal est égale à la somme de l'énergie cinétique du solide et de l'énergie potentielle du ressort. On écrit :

Em = EC + EP = m V 2 + K x 2 (3)

3-2 (e) Soit Vm la valeur maximale de la vitesse atteinte par le centre d’inertie G pour les oscillations d’amplitude Xm étudiées.

Montrons que Vm = 2 p Xm / T0

· La vitesse du solide est maximale lorsque son centre d'inertie G passe par le point O (x = o). L'énergie mécanique du système qui se conserve au cours du temps se trouve alors entièrement sous forme d'énergie cinétique m Vm2 (4).

· La vitesse du solide est nulle lorsque le solide passe par les points d'abscisse + Xm et - Xm. L'énergie mécanique du système qui se conserve au cours du temps se trouve alors entièrement sous forme d'énergie potentielle k Xm2 (5).

Comme l'énergie mécanique du système se conserve au cours du temps, on peut écrire :

Em = m Vm2 = k Xm2

Cette relation donne :

Vm2 = ( k / m ) Xm2 (6)

De plus on sait (voir le début du problème) que la période propre des oscillations est qui donne k / m = 4 p ² / To² (7).

Dans la relation Vm2 = ( k / m ) Xm2 (6) portons l'expression k / m = 4 p ² / To² (7)

:

Vm2 = (4 p ² / To² ) Xm2 = 4 p ² Xm2 / To²

On en déduit que :

Vm = 2 p Xm / T0 (8)

3-3 (e) Calculons la valeur de la vitesse maximale du mobile pour une amplitude de 4,3 cm et une période propre de 0,30 s.

Utilisons la relation (8) :

Vm = 2 p Xm / T0 = 2 p x 0,043 / 0,30 = 0,9005891 m / s.

Avec la précision de l'énoncé, on retient :

Vm = 0,90 m / s (9)

Remarque : Lorsque le solide passe par x = 0 en se dirigeant dans le sens positif sa vitesse est + 0,90 m / s. Lorsqu'il passe par x = o en se dirigeant dans le sens négatif, sa vitesse est - 0,90 m / s.

3-4 (e) En nous aidant du graphe n° 1, indiquons dans les cases grisées du graphe n° 2 :

· la durée désignée par la double flèche, en fonction de T0 ;

· les énergies : Em, EP (énergie potentielle élastique) et EC (énergie cinétique).

Voici les résultats :

 

· 4- Aspect énergétique en présence de frottements

Le système solide-ressort est toujours supposé osciller, mais désormais on tient compte des frottements.

4-1 (e) Dans le cas où l’on observe toujours des oscillations bien que l’on ne puisse plus négliger les frottements on dit qu'il s'agit d'un régime pseudo-périodique. Le temps caractéristique T correspondant est appelée pseudo-période.

4-2 Soit Em, 0 la valeur de l’énergie mécanique de l’oscillateur lâché sans vitesse initiale avec un allongement maximum initial Xm, 0.

4-2-1 (e) Etablissons l’expression de l’énergie mécanique Em, 0 en fonction de l’allongement maximum initial Xm, 0.

La vitesse initiale du solide est nulle La valeur de l’énergie mécanique initiale de l’oscillateur lâché sans vitesse initiale avec un allongement maximum initial Xm, 0 est donc celle, potentielle, du ressort :

Em, 0 = k (Xm, 0) 2 (10)

4-2-2 (e) On constate expérimentalement qu’au bout d’une oscillation, l’amplitude du mouvement est divisée par r (nombre réel positif non nul).

Etablissons l’expression du rapport de l’énergie mécanique correspondante Em, 1 à l’énergie mécanique initiale Em, 0 en fonction de r.

Au bout d'une oscillation, la vitesse redevient nulle, mais, à cause des frottements, l’amplitude du mouvement a été divisée par r et ne vaut plus que :

Xm, 1 = Xm, 0 / r (11)

Au bout d'une oscillation, l’énergie mécanique de l'oscillateur est :

Em, 1 = k (Xm, 1) 2 = k (Xm, 0 / r) 2 = (1 / r²) k (Xm, 0) 2

Em, 1 = Em, 0 / r²

Em, 1 / Em, 0 = 1 / r² (12)


A VOIR :

Exercice de la leçon 19 : Pendule élastique non amorti.

Problème résolu n° 19 A : Pendule élastique amorti (Bac).

Problème n° 19 B ci-dessus (avec corrigé) : Etude énergétique d'un oscillateur solide-ressort (Bac 2005 - Nouvelle Calédonie). 

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