Retour Sommaire - Revoir la leçon 19

(Pensez à utiliser la commande "Précédente" du navigateur et la touche F11 du clavier)

 

PROBLEME RESOLU n° 19-A : Pendule élastique amorti (Bac)

 

ENONCE :

 
Un ressort de raideur K est horizontal, une de ses extrémités est fixe On accroche à son autre extrémité un solide de masse m. Ce solide peut se déplacer le long d'un axe horizontal Ox. Soit O la position du centre d'inertie du corps à l'équilibre
(voir la figure).

Il existe des frottements. On admettra qu'ils se réduisent à une force de type fluide sur solide = - h désigne la vitesse instantanée du solide. Le coefficient h est positif.

· 1- Etablir l'équation différentielle caractéristique du mouvement du solide. (c)

· 2- Quelle est la nature de ce mouvement ? Donner l'allure de x (t) selon la valeur du coefficient d'amortissement A = h / m. (c)

· 3- Energie de l'oscillateur.

a) Donner l'expression de l'énergie mécanique du système solide-ressort. (c)

b) Etablir la relation entre la dérivée de l'énergie mécanique par rapport au temps et la puissance de la force de frottement. (c)

c) Commenter cette relation en termes de transferts d'énergie. (c)

· 4- A l'aide d'une interface reliée à un ordinateur. on a relevé une tension u proportionnelle à x (t) .

L'ordinateur est programmé de telle sorte qu'à 1 volt corresponde 1 cm.

A partir du graphique ci-dessus :

a) Déterminer les conditions initiales imposées à cet oscillateur. (c)

b) Calculer la pseudo-période. (c)

c) Déterminer l'énergie mécanique Em de l'oscillateur à chaque passage par un extremum négatif de x (se limiter aux quatre premiers).

Que peut-on dire du rapport (Em) i / (Em) i + 1 ? (c)

Donnée : k = 10 N / m.

d) Déterminer le travail de la force de frottement entre les passages par le 1° puis le 4° extremum négatif. (c)

 

SOLUTION :


·
1-
(énoncé) Etablissons l'équation différentielle du mouvement du solide.

Raisonnons sur le schéma ci-dessous :

· Référentiel Galiléen : le solide Terre.

· Repère orthonormé associé : O,

· Système étudié : le solide de masse m.

· Le solide est soumis à 4 forces :

· (poids) : essentiellement action gravitationnelle de la Terre sur le mobile

· : action normale de la tige sur le mobile

· : action du ressort sur le mobile

· : force de frottement du fluide sur le mobile (toujours de sons opposé à )

· Appliquons la deuxième loi de Newton (revoir la leçon 11) :

Dans un référentiel Galiléen, la somme des forces extérieures appliquées à un solide est égale au produit de la masse m du solide par l'accélération de son centre d'inertie :

Ici, cette loi s'écrit :

+ + + = m (1)

· Notons que = K = - K (2) et que = - h (3)

+ - K - h = m (1 bis)

· Projetons (1 bis) sur l'axe de vecteur unitaire :

0 + 0 - K x - h = m

m + h + K x = 0 (4)

+ (h / m) + (K / m) x = 0 (5)

+ A + (K / m) x = 0 (6) en posant :

A = h / m (7) (A est le coefficient d'amortissement).

· L'équation (6) est l'équation différentielle du mouvement du solide de masse m. C'est une équation différentielle du second ordre à coefficients constants.

Dans cette équation (6) figure le terme A = (h / m) qui correspond à la force de frottement = - h (3) d'abcisse f = - h .


· 2-
(e) Nature du mouvement du corps solide.

· Si A pouvait être nul le mouvement serait périodique.

Du fait de la présence de la force de frottement, le mouvement ne peut pas être périodique.

· Si A est faible le mouvement du solide est pseudo-périodique.

· Si A est fort le mouvement du solide est apériodique.

Remarque : Il existe un amortissement dit "critique" qui assure un retour vers la position d'équilibre plus rapide que les régimes apériodiques ou pseudo-périodiques. Son étude est hors programme.


· 3-
Etudions l'énergie mécanique Em du système (ressort + solide).

a) (e) L'énergie mécanique du système (ressort + solide) est :

Em = Epotentielle du ressort + Ecinétique de la masse m

Em = k x2 + m v2 = ( k x2 + m ) (8)

 

b) (e) Etablissons la relation entre la dérivée de l'énergie mécanique par rapport au temps et la puissance de la force de frottement.

Dérivons Em par rapport au temps :

d Em / dt = k x . + m . = ( k x + m ) (9)

Utilisons la relation m + h + K x = 0 (4)

d Em / dt = ( - h ) = fx vx = . = P (puissance développée par la force de frottement). (10)

c) (e) Commentons cette relation en termes de transferts d'énergie

La puissance développée par la force de frottement P = d Em / dt = - h est toujours négative.

Le système (ressort + solide) perd de l'énergie mécanique. Cette énergie mécanique perdue est transformée en énergie calorifique (chaleur). 


· 4-
Exploitation du graphique.

a) (e) Déterminons les conditions initiales imposées à cet oscillateur

A la date t = 0 s, le graphique donné par l'ordinateur permet de relever u(o) = 0 V. On en déduit qu'à la même date le solide de masse m passe par le point O d'abscisse nulle.

Que vaut alors sa vitesse V(o) ?

On sait que la vitesse est Vx = dx / dt. Sa valeur est donc donnée par la valeur du coefficient directeur de la tangente à la courbe donnant x en fonction de t.

Le graphe donne (du / dt)0 = - 6,6 V/s à la date t = 0 s (on le trouve après avoir tracé la tangente à l'origine).

L'échelle est telle que 1 volt corresponde à 1 cm, on en déduit que Vx (0) = - 6,6 cm/s = - 0,066 m/s.

A la date t = 0 s, on a :

· abscisse initiale x(0) = 0 m (11)

· vitesse initiale V(0) = - 0,066 m/s (11 bis)

 b) (e) Calculons la pseudo-période T.

Le graphe montre que 5 oscillations durent 10 s. Donc :

5 T = 10

La pseudo période est T = 2,0 s (12)

 

c) (e) Déterminons l'énergie mécanique Em de l'oscillateur à chaque passage par un extremum négatif de x (se limiter aux quatre premiers).

L'énergie mécanique du système (ressort + solide) est donnée par Em = k x2 + m v2

A chaque extremum i, la vitesse est nulle. L'énergie mécanique s'écrit alors :

(Em) i = k x2i = 5 x2i (13)

Le rapport (Em) i / (Em) i + 1 est quasi constant.

d) (e) Déterminons le travail de la force de frottement entre les passages par le 1° puis le 4° extremum négatif.

Au passage par le 1° extremum négatif, l'énergie mécanique du système solide-ressort vaut :

Em1 = 0,0054 J (14)

Au passage par le 4° extremum négatif, l'énergie mécanique du système solide-ressort vaut :

Em4 = 0,00018 J (15)

En présence de frottement, l'énergie mécanique du système solide-ressort varie. Ici, elle diminue.

Elle se transforme, progressivement, en énergie calorifique qui échauffe le système et le milieu extérieur.

La variation de l'énergie mécanique du système solide-ressort est égale au travail de la force de frottement :

Em4 - Em1 = W14 () (16)

W14 () = Em4 - Em1 = 0,00018 - 0,0054

W14 () = - 0,0052 J = - 5,2 ´ 10 - 3 J (17)

Le travail de la force de frottement est négatif car il s'agit d'un travail résistant.

Remarque : Parfois, une force de frottement fournit un travail moteur positif. C'est le cas, par exemple, lorsqu'un tapis roulant se met en marche en emportant une valise. Le travail de la force de frottement exercée par le tapis sur la valise est moteur, positif.


A VOIR :

Exercice de la leçon 19 : Pendule élastique non amorti.

Problème résolu n° 19 A ci-dessus : Pendule élastique amorti (Bac).

Problème n° 19 B (à résoudre) : Etude énergétique d'un oscillateur solide-ressort (Bac 2005 - Nouvelle Calédonie).

Retour Sommaire