PARTIE 1

ENONCE :

Les relations suivantes sont-elles possibles ou impossibles ? Corriger les relations incorrectes. (corrigé)

= - 5 N (1)

= - 10 (2)

= - 30 N (3)

Si = - alors = - (4)

Si l’échelle est 1 div « 4 N alors = 3 div = 12 N (5) Si = alors = (6)

SOLUTION :  

· (énoncé) La relation = - 5 N (1) est impossible car un vecteur n’est pas égal à un nombre. De plus une norme est positive. On doit écrire :

= + 5 N = 5 N (1 bis)

· (e) La relation = - 10 (2) est possible.

· (e) La relation = - 30 N (3) est impossible car une norme est positive ou nulle. On doit écrire :

= 30 N (3 bis)

· (e) La relation suivante :

Si = - alors = - (4) est fausse car une norme est toujours positive ou nulle.

Il faut écrire :

Si = - alors = + (4 bis)

Remarque :

- Si = - alors + = est correct.

- Si = - alors + = O est incorrect car la somme de deux vecteurs n'est pas égale à un nombre.

· (e) La relation suivante :

Si l’échelle est 1 div « 4 N alors = 3 div = 12 N (5) est incorrecte. Il faut écrire :

Si l’échelle est 1 div « 4 N alors = 3 ( div ) ´ 4 ( N / div ) = 12 N (5 bis)

En effet :

3 div correspondent à 12 N (1 div « 4 N d'après l'énoncé)

mais

3 div ne sont pas égales à 12 N.

· (e) La relation suivante :

Si = alors = (6) est incorrecte. On doit écrire :

Si = alors = ou = - (6 bis)

 
PARTIE 2

ENONCE :    

Un jeune skieur de masse m = 40 kg est tracté, à vitesse constante, sur la piste représentée ci dessous, par une perche qui exerce une force d’intensité 400 N. L’action totale de la piste sur le skieur est représentée par la force .

On donne :

a = 20°

b = 60°

g = 9,8 N / kg

OA = 150 m

 

· 1 - Calculer la dénivellation h = BA entre les points A et O. (c)

· 2 - Connaissant l'angle orienté = + 90° = + p /2 rad, calculer les angles orientés : (c)

· 3 - Calculer les valeurs numériques des coordonnées des forces et dans la base . (c)

· 4 - Cette base est associée au référentiel terrestre supposé Galiléen. (c)

- Enoncer la réciproque du principe de l’inertie (1° loi de Newton). (voir la leçon 11)

- Calculer les coordonnées de la force . Que vaut la force de frottement due aux aspérités de la piste et des skis ?

- Calculer la valeur des angles et .

· 5 - Calculer les produits scalaires . puis . et enfin . . (c)

 

SOLUTION :

· 1 - (e) On a sin a = BA / OA .

On en déduit la dénivellation entre O et A soit :

BA = h = OA.sin a = 150 ´ sin (20°) = 51,3 m (7)

· 2 - (e) Afin de lire plus facilement la valeur des angles, il est souhaitable de tracer les forces à partir de O :

= - 20° - 90° = - 110°

= 70° + 90° = 160°

= 60°

= - 30°

(8)

· 3 - (e) Calculons numériquement les coordonnées des forces et dans la base représentée sur le schéma.

(9)

· 4 - (e) Réciproque du principe de l'inertie : Si, dans un référentiel Galiléen, le centre d’inertie d'un système est, soit au repos, soit en mouvement rectiligne uniforme, alors la somme vectorielle des forces extérieures appliquées à ce système est nulle.

Ici, on écrit :

(10)

- Projetons cette relation sur les axes :

Px + Fx + Rx = 0 ® - 134 + 200 + Rx = 0 ® Rx = - 66 N (11)

Py + Fy + Ry = 0 ® - 368,4 + 346,4 + Ry = 0 ® Ry = 22 N (12)

On en déduit :

(13)

- L’action totale de la piste se décompose en , action normale de la neige sur le skieur et en action tangentielle de la neige sur le skieur (ou force de frottement) avec :

(14(voir le schéma)

De plus :

Rn = Ry = 22 N (12) et R t = Rx = - 66 N (11) (force de frottement)

- Calculons les angles demandés : 

Rx = ´ cos soit, numériquement :

- 66 = 69,6 ´ cos ou encore :

cos = - 0,948 (15) ce qui donne :

= 161,5° (16) et = 161,5° - 90 = 71,5° (17) (voir le schéma)

· 5 - (e) Calculons les produits scalaires (nous verrons plus loin, leçon 6, qu’ils représentent les travaux de ces forces durant le trajet )

(18)

 

Ici, la somme des travaux des forces extérieures appliquées au skieur est nulle car la vitesse reste constante (voir le théorème de l'énergie cinétique).

 
A VOIR :

Problème résolu n° 1 A : techniques mathématiques utilisées en physique.

Problème n° 1 B ci-dessus (avec corrigé) : techniques mathématiques.