·
Définition des lignes trigonométriques
Considérons le triangle ABC rectangle en B. Désignons par a la mesure de l'angle de sommet A.
(1)
AC est l'hypoténuse. AB est le coté adjacent à l'angle a. BC est le coté opposé à l'angle a.
Le cosinus, le sinus et le tangente de l'angle a sont définis par :
![]()
·
On définit de la même façon cos b, sin b, tan b, b étant la mesure de l'angle de sommet C :
![]()
·
cos ( 90° - a ) = sin a
(9)
sin ( 90° - a ) = cos a
(10)
·
Rappel : Dans le triangle rectangle ABC, le théorème de Pythagore s'écrit AC2 = AB2 + BC2
(11)
2- ANGLE ORIENTE
On suppose le plan orienté, c'est-à-dire que l'on a choisi le sens trigonométrique comme sens de parcours positif sur tous les cercles du plan.
Tout couple ordonné (
,
) de vecteurs non nuls détermine un angle orienté.
Si a est une mesure de l'angle orienté des vecteurs non nuls
et
alors l'ensemble de ses mesures est :
(
,
) = a + 2 k p en radian, k appartenant à Z.
(12)
On appelle mesure principale d'un angle orienté, celle qui appartient à l'intervalle ]- p; p ] en radian, ou ]- 180°; 180°] en degrés.
Exemples : On suppose le plan orienté (sens trigonométrique). Déterminons la mesure principale de l'angle orienté formé par chacune des forces avec le vecteur déplacement.
(13)
3- PRODUIT SCALAIRE .
DE DEUX
VECTEURS
Définition du produit scalaire de 2 vecteurs :
.
=
.
. cos (
,
)
(14) . On obtient un scalaire.
Propriété 1 : Le produit scalaire de deux vecteurs est commutatif :
.
=
.
=
.
. cos (
,
)
(15)
Propriété 2 : On montre que l'on a aussi :
.
= Fx Lx + Fy Ly
(16)
4-
COORDONNEES D’UN VECTEUR
DANS UNE BASE ORTHONORMEE
4-1 COORDONNEES
Les coordonnées du vecteur
dans la base orthonormé
sont :
(17)
Remarque : Souvent on pose
et on écrit :
(18)
Exemple : On donne la norme du vecteur
soit : F = 12 N. Calculons les coordonnées de
dans la base orthonormé
ci-dessous..
Sur la figure, on lit (
,
) = - 60° qui équivaut à (
,
) = + 60°.
Chaque angle se lit à un multiple près de 360°. On peut aussi écrire (
,
) = + 300°.
Les angles - 60° et + 300° ont les mêmes valeurs de sinus, de cosinus et de tangente.
De mëme, on peut exprimer l'angle (
,
) = - 150° ou (
,
) = + 210°.
On en déduit les coordonnées du vecteur
:
(19)
4-2 EXERCICE : Skieur en descente.
Enoncé :
Un skieur de masse m = 60 kg descend une piste inclinée de a = 20° sur l’horizontale.
![]()
La force de frottement
est telle que le skieur possède une vitesse constante.
Calculer, dans la base orthonormée
, les coordonnées et les normes des trois vecteurs forces
( poids ),
( action normale de la piste sur le skieur ) et
.
On donne g = 9,8 N / kg.
Solution :
·
Référentiel Galiléen d’étude : le solide Terre.
·
Système étudié : le skieur.
·
Forces extérieures appliquées sur le skieur :
·
le poids
(essentiellement action de la Terre sur le skieur).
·
la force
(action normale de la piste sur le skieur).
·
la force
(action tangentielle de la piste sur le skieur, appelée force de frottement. Les frottements sont dus aux aspérités du sol et des skis).
·
La vitesse étant constante, on peut appliquer la réciproque du principe de l’inertie, étudiée en classe de première :
Si, dans un référentiel Galiléen, le centre d’inertie d'un système est, soit au repos, soit en mouvement rectiligne uniforme, alors la somme vectorielle des forces extérieures appliquées à ce système est nulle (voir le lexique) .
Ici, le skieur est animé d'un mouvement rectiligne uniforme. La somme des forces agissant sur lui est donc nulle :
(20)
Projetons cette relation sur les axes :
Px + Rx + Fx = 0
(21)
Py + Ry + Fy = 0
(22)
On calcule
= m ´
= 60 ´ 9,8 = 588 N
(23)
Portons dans les relations (21) et (22) établies ci-dessus :
Px + Rx + Fx = 0
(21)
- 201 + 0 +
= 0
= 201 N
(24)
Py + Ry + Fy = 0
(22)
- 553 +
+ 0 = 0
= 553 N
(25)
Finalement :
= 588 N
(23)
= 201 N
(24)
= 553 N
(25)
5- DERIVEES
Fonctions Dérivées premières Dérivées secondes y = a t 3+ b t 2 + c t + d
(26)
dy / dt = 3 a t 2 + 2 b t + c
d ² y / dt ² = 6 a t + 2 b
y = cos t
(27)
dy / dt = - sin t
d ² y / dt ² = - cos t
y = sin t
(28)
dy / dt = cos t
d ² y / dt ² = - sin t
y = a.cos ( w t + f )
(29)
dy / dt t = - a.w .sin ( w t + f )
d ² y / dt ² = - a.w ².cos ( w t + f )
y = a.sin ( w t + f )
(30)
dy / dt = a.w .cos ( w t + f )
d ² y / dt ² = - a.w ².sin ( w t + f )
Notation parfois employée pour les dérivées :
dy / dx = y ' si la variable est x
et
dy / dt =
si la variable est t.
d ² y / dx ² = y ''
et
d ² y / dt ² =
6- CINEMATIQUE PLANE : voir le
lexique de physique
·
Propriété de la tangente à une parabole
La tangente à la parabole y = a x ² au point M coupe l'axe horizontal au point I d'abscisse :
x I = x M / 2
(31)
OI = OH / 2 soit x I = x M / 2
(32)
·
Longueur d'un arc de cercle. Dénivellation
Longueur de l'arc de cercle :
= s = R q
(33)
(q en radian, s et R en mètre)
Dénivellation entre A et B :
La figure ci-dessus montre que :
cos q = CO / OB = CO / R qui s'écrit : CO = R.cos q
La dénivellation entre les ponts A et B est :
h = AC = AO - CO = R - R.cos q = R ( 1 - cos q )
(34)
( h et R en mètre)
·
Translation rectiligne et rotation
Rotation de la poulie et déplacement du solide S.
Lorsque la poulie tourne d'un angle q autour de l'axe fixe par rapport à la terre, le solide S descend du point O au point M, avec :
x = OM = R q
(35)
(q en radian, x et R en mètre)
x et R s'expriment en mètre. L'angle q s'exprime en radian.
Vitesse angulaire de la poulie et vitesse du solide S.
La poulie a une vitesse angulaire :
w = dq / dt =
![]()
(36)
(q en radian, t en seconde et w en radian / seconde)
Le solide S possède, lui, une vitesse V obtenue en calculant la dérivée de x par rapport à t :
V = dx / dt = R dq / dt
= R
V = R w
(37)
(R en mètre, w en radian / seconde et V en mètre / seconde)
La vitesse V du solide s'exprime en m / s alors que la vitesse angulaire w de la poulie s'exprime en rad / s.
Accélération angulaire de la poulie et accélération du solide S.
La poulie a une accélération angulaire :
= dw / dt
(38)
(dw en radian / seconde, dt en seconde et
en radian / seconde2)
Le solide S possède une accélération "a" obtenue en calculant la dérivée de V par rapport à t :
a = dV / dt = d²x / dt² = R d²q / dt² soit :
a =
=
= R
![]()
(39)
(R en mètre,
en radian / seconde2 et a =
=
en mètre / seconde2 )
L'accélération " a " du solide s'exprime en m / s2 alors que l'accélération
de la poulie s'exprime en rad / s2.
A VOIR :
Problème résolu n° 1-A : Techniques mathématiques utilisées en physique.
Problème n° 1-B (à résoudre) : Techniques mathématiques.