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RAPPELS DE MATHÉMATIQUES - leçon n° 1

 

1- TRIGONOMETRIE

·Définition des lignes trigonométriques

Considérons le triangle ABC rectangle en B. Désignons par a la mesure de l'angle de sommet A.

(1)

AC est l'hypoténuse. AB est le coté adjacent à l'angle a. BC est le coté opposé à l'angle a.

Le cosinus, le sinus et le tangente de l'angle a sont définis par :

Aide-mémoire :

 

·On définit de la même façon cos b, sin b, tan b, b étant la mesure de l'angle de sommet C :

·cos ( 90° - a ) = sin a (9) sin ( 90° - a ) = cos a (10)

·Rappel : Dans le triangle rectangle ABC, le théorème de Pythagore s'écrit AC2 = AB2 + BC2 (11)


2- ANGLE ORIENTE

On suppose le plan orienté, c'est-à-dire que l'on a choisi le sens trigonométrique comme sens de parcours positif sur tous les cercles du plan.

Tout couple ordonné (,) de vecteurs non nuls détermine un angle orienté.

Si a est une mesure de l'angle orienté des vecteurs non nuls et alors l'ensemble de ses mesures est :

(,) = a + 2 k p en radian, k appartenant à Z. (12)

On appelle mesure principale d'un angle orienté, celle qui appartient à l'intervalle ]- p; p ] en radian, ou ]- 180°; 180°] en degrés.

Exemples : On suppose le plan orienté (sens trigonométrique). Déterminons la mesure principale de l'angle orienté formé par chacune des forces avec le vecteur déplacement.

(13)

 
3- PRODUIT SCALAIRE . DE DEUX VECTEURS

Définition du produit scalaire de 2 vecteurs :

. = . . cos (, ) (14) . On obtient un scalaire.

Propriété 1 : Le produit scalaire de deux vecteurs est commutatif :

. = . = . . cos (,) (15)

Propriété 2 : On montre que l'on a aussi :

. = Fx Lx + Fy Ly (16)


4-
COORDONNEES D’UN VECTEUR DANS UNE BASE ORTHONORMEE

4-1 COORDONNEES

Les coordonnées du vecteur dans la base orthonormé sont :

(17)

Remarque : Souvent on pose et on écrit :

(18)

Exemple : On donne la norme du vecteursoit : F = 12 N. Calculons les coordonnées de dans la base orthonormé ci-dessous..

Sur la figure, on lit (, ) = - 60° qui équivaut à (, ) = + 60°.

Chaque angle se lit à un multiple près de 360°. On peut aussi écrire ( , ) = + 300°.

Les angles - 60° et + 300° ont les mêmes valeurs de sinus, de cosinus et de tangente.

De mëme, on peut exprimer l'angle (,) = - 150° ou (,) = + 210°.

On en déduit les coordonnées du vecteur :

(19)

4-2 EXERCICE : Skieur en descente.

Enoncé :

Un skieur de masse m = 60 kg descend une piste inclinée de a = 20° sur l’horizontale.

La force de frottement est telle que le skieur possède une vitesse constante.

Calculer, dans la base orthonormée , les coordonnées et les normes des trois vecteurs forces ( poids ), ( action normale de la piste sur le skieur ) et .

On donne g = 9,8 N / kg.

Solution :

·Référentiel Galiléen d’étude : le solide Terre.

·Système étudié : le skieur.

·Forces extérieures appliquées sur le skieur :

·le poids (essentiellement action de la Terre sur le skieur).

·la force (action normale de la piste sur le skieur).

·la force (action tangentielle de la piste sur le skieur, appelée force de frottement. Les frottements sont dus aux aspérités du sol et des skis).

·La vitesse étant constante, on peut appliquer la réciproque du principe de l’inertie, étudiée en classe de première :

Si, dans un référentiel Galiléen, le centre d’inertie d'un système est, soit au repos, soit en mouvement rectiligne uniforme, alors la somme vectorielle des forces extérieures appliquées à ce système est nulle (voir le lexique) .

Ici, le skieur est animé d'un mouvement rectiligne uniforme. La somme des forces agissant sur lui est donc nulle :

(20)

Projetons cette relation sur les axes :

Px + Rx + Fx = 0 (21)Py + Ry + Fy = 0 (22)

On calcule = m ´ = 60 ´ 9,8 = 588 N (23)


5- DERIVEES

 

Fonctions

Dérivées premières

Dérivées secondes

y = a t 3+ b t 2 + c t + d (26)

dy / dt = 3 a t 2 + 2 b t + c

d ² y / dt ² = 6 a t + 2 b

y = cos t (27)

dy / dt = - sin t

d ² y / dt ² = - cos t

y = sin t (28)

dy / dt = cos t

d ² y / dt ² = - sin t

y = a.cos ( w t + f ) (29)

dy / dt t = - a.w .sin ( w t + f )

d ² y / dt ² = - a.w ².cos ( w t + f )

y = a.sin ( w t + f ) (30)

dy / dt = a.w .cos ( w t + f )

d ² y / dt ² = - a.w ².sin ( w t + f )

Notation parfois employée pour les dérivées :

dy / dx = y ' si la variable est x et dy / dt = si la variable est t.

d ² y / dx ² = y '' et d ² y / dt ² =


6- CINEMATIQUE PLANE :
voir le lexique de physique


7- DIVERS

·Propriété de la tangente à une parabole

La tangente à la parabole y = a x ² au point M coupe l'axe horizontal au point I d'abscisse :

x I = x M / 2 (31)

OI = OH / 2 soit x I = x M / 2 (32)

·Longueur d'un arc de cercle. Dénivellation

Longueur de l'arc de cercle :

= s = R q (33) (q en radian, s et R en mètre)

Dénivellation entre A et B :

La figure ci-dessus montre que :

cos q = CO / OB = CO / R qui s'écrit : CO = R.cos q

La dénivellation entre les ponts A et B est :

h = AC = AO - CO = R - R.cos q = R ( 1 - cos q ) (34) ( h et R en mètre)

·Translation rectiligne et rotation

Rotation de la poulie et déplacement du solide S.

Lorsque la poulie tourne d'un angle q autour de l'axe fixe par rapport à la terre, le solide S descend du point O au point M, avec :

x = OM = R q (35) (q en radian, x et R en mètre)

x et R s'expriment en mètre. L'angle q s'exprime en radian.

Vitesse angulaire de la poulie et vitesse du solide S.

La poulie a une vitesse angulaire :

w = dq / dt = (36) (q en radian, t en seconde et w en radian / seconde)

Le solide S possède, lui, une vitesse V obtenue en calculant la dérivée de x par rapport à t :

V = dx / dt = R dq / dt

= R

V = R w (37) (R en mètre, w en radian / seconde et V en mètre / seconde)

La vitesse V du solide s'exprime en m / s alors que la vitesse angulaire w de la poulie s'exprime en rad / s.

Accélération angulaire de la poulie et accélération du solide S.

La poulie a une accélération angulaire :

= dw / dt (38) (dw en radian / seconde, dt en seconde et en radian / seconde2)

Le solide S possède une accélération "a" obtenue en calculant la dérivée de V par rapport à t :

a = dV / dt = d²x / dt² = R d²q / dt² soit :

a = = = R (39) (R en mètre, en radian / seconde2 et a = = en mètre / seconde2 )

L'accélération " a " du solide s'exprime en m / s2 alors que l'accélération de la poulie s'exprime en rad / s2.

 
A VOIR :

Problème résolu n° 1-A : Techniques mathématiques utilisées en physique.

Problème n° 1-B (à résoudre) : Techniques mathématiques.

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