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ENERGIE MECANIQUE D'UN PROJECTILE DANS UN CHAMP DE PESANTEUR UNIFORME - leçon n° 20

 

En classe de première nous avons vu que la somme Em = Ecinétique + Epotentielle est parfois appelée énergie mécanique du solide en interaction avec la Terre. Nous allons revenir sur cette définition et étudier dans quels cas cette énergie mécanique du système solide-Terre se conserve ou bien varie.

Les paragraphes 2 et 3 se terminent par un exercice d'application. 


1- ENERGIE MECANIQUE D'UN PROJECTILE DANS UN CHAMP DE PESANTEUR UNIFORME

Considérons un projectile de masse m en mouvement dans le champ de pesanteur terrestre supposé uniforme.

1.1 Energie cinétique du projectile

Le projectile est assimilé un objet quasi ponctuel de masse m et de vitesse V. Son énergie cinétique est :

EC = m V2 (1)

EC est en joule (J), la masse m est en kilogramme (kg), la vitesse V est en mètre par seconde (m / s).

1.2 Energie potentielle d'un solide en interaction avec la Terre

En classe de première nous avons vu que l'énergie potentielle d'un solide en interaction avec la Terre est :

EP = m g z (2)

EP est en joule (J), m est en kilogramme (kg), la norme g du vecteur pesanteur terrestre est en newton par kilogramme (N / kg), la côte z, mesurée sur un axe orienté vers le haut, est en mètre (m).

Remarque :

· En fait, l'énergie potentielle du solide en interaction avec la Terre est définie à une constante près. On convient de la prendre nulle lorsque z = 0.

· Il est incorrect de parler de l'énergie potentielle du solide.

Il faut parler de l'énergie potentielle du solide en interaction avec la Terre. Certains auteurs parlent aussi de l'énergie potentielle du système solide-Terre ou encore de l'énergie potentielle du solide dans le champ de pesanteur terrestre.

1.3 Energie mécanique du projectile dans le champ de pesanteur terrestre uniforme

Par définition, l'énergie mécanique du solide en interaction avec la Terre est égale à la somme de l'énergie cinétique du solide et de l'énergie potentielle du solide dans le champ de pesanteur terrestre. On écrit :

Em = EC + EP = m V2 + m g z (3)

Dans les deux paragraphes qui suivent nous allons voir que, suivant les conditions, l'énergie mécanique du système solide-Terre peut soit se conserver, soit varier.


2- CONSERVATION DE L'ENERGIE MECANIQUE DU PROJECTILE DANS LE CHAMP DE PESANTEUR UNIFORME (en absence de frottement).

2.1 Propriété

En absence de frottement, líénergie mécanique d'un projectile dans le champ de pesanteur terrestre uniforme se conserve en tout point de la trajectoire.

Si le projectile monte alors son énergie cinétique diminue pendant que son énergie potentielle dans le champ de pesanteur augmente.

Si le projectile descend alors son énergie cinétique augmente pendant que son énergie potentielle dans le champ de pesanteur diminue.

Dans les deux cas, la somme Em = EC + EP reste constante.

2.2 Exercice : Conservation de l'énergie mécanique d'un solide dans le champ de pesanteur terrestre

Enoncé :

Un enfant lance verticalement, vers le haut, une bille de masse m avec une vitesse initiale de 10,0 m / s.

a- Quelle est la hauteur atteinte par la bille ? (corrigé)

b- Quelle est la vitesse de cette bille lorsqu'elle frappe le sol situé 1,50 m au dessous de son point de départ ?

On néglige la poussée d'Archimède et les frottements de l'air. On prendra g = 9,80 m / s. (c)

Solution :

a- (énoncé) Calculons la hauteur atteinte par la bille.

 

· Nous conviendrons de dire que l'énergie potentielle de la bille dans le champ de pesanteur est nulle lorsqu'elle se trouve au point de départ O (zO = 0 m) situé 1,50 m au dessus du sol (zA = - 1,50 m).

Au dessus de O l'énergie potentielle de la bille dans le champ de pesanteur sera positive. En dessous de O elle sera négative.

· Au point O, on a :

EP (O) = 0 J (4)

En ce point O, la vitesse de la bille est VO = + 10,0 m / s. Son énergie cinétique est :

EC (O) = m VO2 (5)

L'énergie mécanique de la bille dans le champ de pesanteur terrestre vaut alors :

Em (O) = EC (O) + EP (O) = m VO2 + 0 (6)

· En absence de frottement, líénergie mécanique de la bille dans le champ de pesanteur terrestre uniforme se conserve en tout point de la trajectoire.

On peut donc écrire :

Em (S) = Em (O) (7)

EC (S) + EP (S) = EC (O) + EP (O) (8)

m VS2 + m g zS = m VO2 + m g zO (9)

Au sommet S de la trajectoire (voir la figure) la vitesse VS de la bille s'annule et, au point de départ O, l'ordonnée zO est nulle.

0 + m g zS = m VO2 + 0 (10)

Soit :

zS = VO2 / g (11)

zS = 10 2 / 9,80

zS = 5,10 m (12)

Remarque :

· La relation zS = VO2 / g montre que l'altitude atteinte par la bille ne dépend pas de la masse de celle-ci.

· Après avoir atteint le point S, la bille redescend en conservant toujours la même énergie mécanique. Elle repasse donc par le point de départ A (voir la figure) avec une vitesse de - 10 m / s (le signe - pour indiquer que la vitesse est alors représentée par un vecteur orienté vers le bas, en sens inverse de l'axe ).

b- (e) Calculons la vitesse de cette bille lorsqu'elle frappe le sol au point A situé 1,50 m au-dessous de son point de départ O (zA = - 1,50 m).

· On écrit encore que l'énergie mécanique de la bille dans le champ de pesanteur terrestre est la même depuis le point de départ O jusqu'au point A en lequel elle frappe le sol.

Em (A) = Em (O) (13)

EC (A) + EP (A) = EC (O) + EP (O) (14)

Attention : Au point A (voir la figure) l'énergie potentielle dans le champ de pesanteur terrestre EP (A) = m.g.zA est négative car la masse m est positive, la norme g du vecteur pesanteur est positive mais l'altitude de la bille est négative ( zA = - 1,50 m).

La relation (14) s écrit :

m VA2 + m g zA = m VO2 + m g zO (15)

m VA2 + m g zA = m VO2 + 0 (16)

Divisons par m :

VA2 + g zA = VO2 + 0

VA2 = VO2 - 2 g zA (17)

VA2 = 102 - 2 ´ 9,8 ´ ( - 1,50 )

VA2 = 129,4 (18)

· Des deux solutions mathématiques ± 11,37, il ne faut retenir que la solution négative (le vecteur vitesse a une ordonnée négative sur l'axe orienté vers le haut) (voir la figure) :

VA = - 11,37 m/ s (19)

Remarque : Il est intéressant de refaire l'exercice en convenant de prendre nulle l'énergie potentielle de la bille dans le champ de pesanteur lorsqu'elle se trouve au niveau du sol.


3- DIMINUTION DE L'ENERGIE MECANIQUE DU PROJECTILE DANS LE CHAMP DE PESANTEUR UNIFORME (en présence de frottement).

3.1 Propriété

En présence de frottement, l'énergie mécanique du projectile dans le champ de pesanteur terrestre varie. Ici, elle diminue.

Elle se transforme, progressivement, en énergie calorifique qui échauffe le projectile et le milieu extérieur.

La variation de l'énergie mécanique du projectile dans le champ de pesanteur terrestre est égale au travail de la force de frottement :

Em (2) - Em (1) = W12 () (20)

Remarque : La variation d'une grandeur est égale à sa valeur finale moins sa valeur initiale, alors que sa diminution est égale à sa valeur initiale moins sa valeur finale,

3.2 Exercice : Diminution de l'énergie mécanique d'un parachutiste dans le champ de pesanteur terrestre

Enoncé :

Un parachutiste, de masse totale m = 100 kg, saute à partir d'un hélicoptère en vol stationnaire d'une altitude de 3000 m. Durant la première phase de son saut la vitesse passe de 0 à 180 km / h. Puis, à l'ouverture du parachute, la vitesse décroît jusqu'à 18 km / h. La vitesse garde ensuite cette valeur jusqu'à l'atterrissage qui se fait sur un plateau situé à 500 m d'altitude.

Dans le problème on considérera que l'intensité de la pesanteur reste voisine de sa valeur au sol g = 9,8 N / kg.

a- Calculer l'énergie mécanique du parachutiste dans le champ de pesanteur terrestre lorsqu'il vient juste de quitter l'hélicoptère immobile par rapport à la Terre. Par convention, l'énergie potentielle du parachutiste dans le champ de pesanteur terrestre est prise nulle au niveau de la mer (z = 0). (corrigé)

b- Calculer l'énergie mécanique du parachutiste dans le champ de pesanteur terrestre juste avant son atterrissage. (c)

c- L'énergie mécanique du parachutiste dans le champ de pesanteur terrestre est-elle restée constante ?

Quel est le travail de la force de frottement de l'air sur le parachutiste ? (c)

d- La force de frottement est-elle constante durant le saut ?

Quelle était la valeur de cette force de frottement durant la dernière phase du saut à la vitesse constante de 18 km / h ? (c)

e- De quelle hauteur devrait se faire une chute libre sans vitesse initiale pour que la vitesse à l'arrivée sur le sol soit également de 18 km / h ? (c)

Solution :

a- (énoncé) Calculons l'énergie mécanique du parachutiste dans le champ de pesanteur terrestre lorsqu'il vient juste de quitter l'hélicoptère immobile par rapport à la Terre.

Par convention, l'énergie potentielle du parachutiste dans le champ de pesanteur terrestre est prise nulle au niveau de la mer (z = 0).

Les vitesses sont mesurées par rapport au référentiel "Terre", Galiléen.

Lorsqu'il quitte l'hélicoptère (z1 = 3000 m) avec une vitesse nulle par rapport à la Terre (V1 = 0 m / s) l'énergie mécanique du parachutiste dans le champ de pesanteur terrestre est :

Em1 = EC1 + EP1 = m V12 + m g z1 = 0 + 100 ´ 9,8 ´ 3000

Em1 = 2940000 J = 2,94 x 10 5 J (21)

b- (e) Calculons l'énergie mécanique du parachutiste dans le champ de pesanteur terrestre juste avant son atterrissage (z2 = 500 m).

La parachutiste atterrit sur le plateau (z2 = 500 m) avec une vitesse V2 = 18 km / h = 18000 / 3600 = 5,0 m / s.

L'énergie mécanique du parachutiste dans le champ de pesanteur terrestre vaut alors :

Em2 = EC2 + EP2 = m V22 + m g z2 = ´ 100 ´ 52 + 100 ´ 9,8 ´ 500 = 1250 + 490000 (23)

Em2 = 491250 J = 4,91 ´ 10 5 J (24)

c- (e) Calculons le travail de la force de frottement de l'air sur le parachutiste.

L'énergie mécanique du parachutiste dans le champ de pesanteur terrestre a varié de :

Em2 - Em1 = 491250 - 2940000 = - 2448750 J = - 2,45 ´ 10 6 J (25)

En présence de frottement, l'énergie mécanique du parachutiste dans le champ de pesanteur terrestre varie. Ici, elle diminue. Elle se transforme, progressivement, en énergie calorifique (chaleur) qui échauffe le parachutiste et l'air.

La variation de l'énergie mécanique du parachutiste dans le champ de pesanteur terrestre est égale au travail de la force de frottement :

W12 () = Em (2) - Em (1) = - 2,45 ´ 10 6 J (20 bis)

d- (e) Voyons si la force de frottement exercée par l'air sur le parachutiste reste constante durant le saut.

Durant le saut, la force de frottement exercée par l'air sur le parachutiste varie :

· Avant l'ouverture du parachute cette force de frottement est quasi nulle, le poids seul agit.

La vitesse du parachutiste passe de 0 à 180 km / h.

· A l'ouverture du parachute, la force de frottement est grande et prédomine par rapport au poids.

La vitesse du parachutiste diminue et pendant que la vitesse diminue de 180 km / h à 18 km / h, la force de frottement diminue également.

· Calculons la valeur de cette force de frottement durant la dernière phase du saut à la vitesse constante de 18 km / h.

Durant la dernière phase, on peut dire, en première approximation, que le mouvement est rectiligne uniforme, les forces et se compensent. Le vecteur accélération est alors nul ( = ). La 2° loi de Newton s'écrit alors :

+ = (26) soit :

= -

On obtient, en norme :

f = P = m ´ g = 100 ´ 9,8

f = 980 N (27)

e- (e) Calculons de quelle hauteur devrait se faire une chute libre sans vitesse initiale pour que la vitesse à l'arrivée sur le sol terrestre soit également de 18 km / h = 5 m / s.

En absence de frottement, líénergie mécanique du sauteur dans le champ de pesanteur terrestre uniforme se conserve.

Entre le point de départ A et le point d'arrivée O, on peut donc écrire :

Em (A) = Em (O) (28)

EC (A) + EP (A) = EC (O) + EP (O)

m VA2 + m g yA = m VO2 + m g yO (29)

Dans cette question, nous conviendrons de prendre nulle l'énergie potentielle du solide dans le champ de pesanteur lorsque ce solide se trouve au point d'arrivée O (yO = 0 m). (30)

Au départ A de la chute, la vitesse VA du solide est nulle et, à l'arrivée O, l'ordonnée yO est nulle.

0 + m g yA = m VO2 + 0 (31)

g yA = VO2

yA = VO2 / 2.g = ( - 5 )2 / ( 2 ´ 9,8 )

yA = 1,28 m (32)

Se laisser tomber librement d'une hauteur de 1,28 m permet d'arriver au sol avec la même vitesse que le parachutiste équipé.  

Remarque : on peut également appliquer le théorème de la variation de l'énergie cinétique :

Dans un référentiel Galiléen, la variation de l'énergie cinétique d'un solide, entre deux instants tinitial et tfinal, est égale à la somme des travaux des forces extérieures appliquées au solide entre ces deux instants.

Ici pour le sauteur en chute libre sans vitesse initiale assimilé à un solide en translation.

m.V²final - m.V²initial = W( )ext (33)

m.V²0 - m.V²A = W( )ext (34)

m.V²0 - 0 = W( )ext (35)

m.V²0 - 0 = + m g ½ AO ½

½ AO ½ = .V²0 / g

½ AO ½ = x 52 / 9,8 = 1,275 m

½ AO ½ = yA 1,28 m (35) identique à (32) yA = 1,28 m.

 

 

 

 

 

A VOIR :

1° exercice ci-dessus : Conservation de l'énergie mécanique d'un solide dans le champ de pesanteur terrestre.

2° exercice ci-dessus : Diminution de l'énergie mécanique d'un parachutiste dans le champ de pesanteur terrestre.

Problème résolu n° 20 A : Energie mécanique d'un projectile dans le champ de pesanteur uniforme.

Problème n° 20 B (à résoudre) : Diminution de l'énergie mécanique d'un pendule simple en interaction avec la TERRE.

Problème résolu n° 20 C : Frottements avec l'air; Qu'en dit la NASA ? (Bac 2009 - France).

Revoir le problème résolu n° 15 A : Etude énergétique du pendule simple. Vitesse. Tension du fil.

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