Retour Sommaire - Revoir la leçon 20

ENONCE :

On fixe une petite boule de masse m = 100 g à l'extrémité d'un fil de longueur L = 1,50m. On écarte le fil de sa position d'équilibre d'un angle q₀ = 30° et, à la date t₀ = 0 s, on le lâche sans vitesse initiale. A la date t₁ = 2 min 30 s, l'écart angulaire maximum du fil et de la verticale n'est plus que q₁ = 17°. A la date t₂ = 6 min 40 s le pendule est considéré comme immobile.

La poussée d'Archimède exercée par l'air sur la boule est négligée. Par contre les frottements ne sont pas négligeables.

Pour exprimer l'énergie potentielle de la boule en interaction avec la Terre, on choisit comme niveau de référence le plan horizontal passant par le centre de gravité de la boule à l'équilibre.

· 1- Calculer l'énergie mécanique de la boule dans le champ de pesanteur terrestre uniforme aux dates t₀, t₁ et t₂. La petite boule sera assimilée à un objet quasi ponctuel. (voir le corrigé)

· 2- Calculer le travail des forces de frottement :

a) entre les dates t₀ et t₁. (c)

b) entre les dates t₁ et t₂. (c)

On prendra g = 9,80 N / kg.

· 3- Calculer la puissance moyenne avec laquelle ce travail a été effectué dans les deux cas. (c)

 
SOLUTION :  

· 1- (voir l'énoncé) Calculons l'énergie mécanique de la boule dans le champ de pesanteur terrestre uniforme aux dates t₀, t₁ et t₂.

· Nous raisonnons dans le référentiel terrestre supposé Galiléen.

·La petite boule, de masse m, est assimilée un objet quasi ponctuel de masse m. A la date t, elle est en B ( q ). Sa vitesse, tangente à la trajectoire circulaire, est . Son énergie cinétique est :

EC = m V 2 (1)

E_C est en joule (J), la masse m est en kilogramme (kg), la vitesse V est en mètre par seconde (m / s).

·L'énergie potentielle de la bille en interaction avec la Terre est :

EP = m g z (2)

E_P est en joule (J), m est en kilogramme (kg), la norme g du vecteur pesanteur terrestre est en newton par kilogramme (N / kg), la côte z = CJ, mesurée sur l'axe CO, orienté vers le haut, est en mètre (m).

·Par définition, l'énergie mécanique du solide en interaction avec la Terre est égale à la somme de l'énergie cinétique du solide et de l'énergie potentielle du solide dans le champ de pesanteur terrestre. On écrit :

Em = EC + EP = m V 2 + m g z (3)

Calculons z = CJ. On sait que L = AO = BO = CO

z = CJ = CO - JO = L - JO (4)

Calculons JO dans le triangle ABJ rectangle en J :

cos q = JO / BO soit JO = BO cos q

JO = L cos q (5)

Portons dans (4) :

z = L - L cos q

z = L (1 - cos q) (6)

L'énergie mécanique de la boule en interaction avec la Terre peut donc s'écrire :

Em = EC + EP = m V2 + m g z = m V2 + m g L (1 - cos q) (7)

· Calcul de E_m aux dates t₀, t₁ et t₂.

·A la date t₀ = 0 s, la boule est lâchée depuis le point A ( q₀ = 30 ° ). Sa vitesse Vo est nulle ( La force de frottement est également nulle )

E_m (t₀) = m Vo² + m g L ( 1 - cos q_o ) = 0 + m g L ( 1 - cos 30° )

E_m (t₀) = m g L ( 1 - cos 30° ) (8)

Numériquement :

E_m (t₀) = m g L ( 1 - ) = 0,100 x 9,8 x 1,50 ( 1 - 0,866 )

Em (t0) = 0,19698 J 0,197 J (9)

·A la date t₁ = 2 min 30 s, l'écart angulaire maximum du fil et de la verticale n'est plus que q₁ = 17°. La vitesse instantanée V₁ s'annule à l'instant t₁.

 L'énergie mécanique de la boule en interaction avec la Terre vaut alors :

E_m (t₁) = m V₁² + m g L ( 1 - cos q₁ ) = 0 + m g L ( 1 - cos 17°)

E_m (t₁) = m g L ( 1 - cos 17°) (10)

Numériquement :

E_m (t₁) = m g L ( 1 - cos 17°) = 0,100 x 9,8 x 1,50 ( 1 - 0,956 )

Em (t1) = 0,06468 J 0,0647 J (11)

·A la date t₂ = 6 min 40 s, le pendule est considéré comme immobile (V₂ = 0 m/s).  La bille est au repos en C (z₂ = 0 m). L'énergie mécanique de la boule en interaction avec la Terre est alors nulle :

Em (t2) = = 0 J (12)

· 2- Travail des forces de frottement.

a) (e) Calculons le travail des forces de frottement entre les dates t₀ et t₁.

Ce sont les forces de frottement, représentées par le vecteur , qui font diminuer l'énergie mécanique du système Terre-bille (voir la leçon 20). L'autre force extérieure au système Terre-bille, la force exercée par le fil sur la bille, ne travaille pas car cette force, portée par un rayon, reste perpendiculaire au déplacement circulaire.

L'énergie mécanique du système Terre-bille se transforme, progressivement, en énergie calorifique qui échauffe le milieu.

La variation de l'énergie mécanique de la bille dans le champ de pesanteur terrestre est égale au travail de la force de frottement :

E_m (t₁) - E_m (t₀) = W₀₁ () (13)

m g L ( 1 - cos 17°) - m g L ( 1 - cos 30°) = W₀₁ ()

m g L ( cos 30° - cos 17° ) = W₀₁ () (14)

Numériquement :

W₀₁ () = m g L ( cos 30° - cos 17° ) = 0,100 x 9,8 x 1,50 ( 0,866 - 0,956) = - 0,1323 J

W01 () - 0,132 J (15)

Ce travail est négatif car résiste au déplacement de la bille.

Remarque : La variation d'une grandeur est égale à sa valeur finale moins sa valeur initiale, alors que sa diminution est égale à sa valeur initiale moins sa valeur finale,

b) (e) Calculons le travail des forces de frottement entre les dates t₁ et t₂.

La variation de l'énergie mécanique de la bille dans le champ de pesanteur terrestre, entre les dates t₁ et t₂, est égale au travail de la force de frottement :

E_m (t₂) - E_m (t₁) = W₁₂ () (16)

0 - m g L ( 1 - cos 17° ) = W₁₂ () (17)

Numériquement :

W₁₂ () = - m g L ( 1 - cos 17°) = - 0,100 x 9,8 x 1,50 ( 1 - 0,956 ) = - 0,06468 J

W12 () - 0,0647 J (18)

· 3- (e) Calculons la puissance moyenne avec laquelle ce travail a été effectué dans les deux cas.

Quand, dans un référentiel donné, une force a effectué un travail W_ab entre les instants t_a et t_b, la puissance moyenne avec laquelle ce travail a été effectué est :

Pmoyenne = Wab / (tb - ta) (19)

·Entre les dates t₀ = 0 s et t₁= 2 min 30 s = 150 s, la force de frottement effectue un travail résistant W₀₁ () - 0,132 J en 150 s. La puissance moyenne avec laquelle ce travail a été effectué est :

P01 - moyenne = W01 / ( t1 - t0 ) = - 0,132 / ( 150 - 0 ) = - 8,82 x 10 - 4 W (20)

·Entre les dates t₁= 2 min 30 s = 150 s et t₂ = 6 min 40 s = 400 s, la force de frottement effectue un travail résistant W₁₂ () - 0,0647 en 150 s. La puissance moyenne avec laquelle ce travail a été effectué est :

P12 - moyenne = W12 / ( t2 - t1 ) = - 0,0647 / ( 400 - 150 ) = - 2,59 x 10 - 4 W (21)

A VOIR :

Exercice de la leçon 20 : Conservation de l'énergie mécanique d'un solide dans le champ de pesanteur terrestre.

Exercice de la leçon 20 : Diminution de l'énergie mécanique d'un parachutiste dans le champ de pesanteur terrestre.

Problème résolu n° 20 A : Energie mécanique d'un projectile dans le champ de pesanteur uniforme.

Problème n° 20 B ci-dessus (avec corrigé) : Diminution de l'énergie mécanique d'un pendule simple en interaction avec la TERRE.

Problème résolu n° 20 C : Frottements avec l'air; Qu'en dit la NASA ? (Bac 2009 - France).

Revoir le problème résolu n° 15 A : Etude énergétique du pendule simple. Vitesse. Tension du fil.