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PROBLEME RESOLU n° 20-A : Energie mécanique d'un projectile dans le champ de pesanteur terrestre

 

ENONCE :


Une petite bille de masse m = 10 g, assimilée à un point matériel, est lancée depuis le sol terrestre avec un vecteur vitesse initiale qui fait un angle a = 60 ° avec le plan horizontal. Cette vitesse initiale a pour valeur V0 = 7,2 km / h.

Le champ de pesanteur est supposé uniforme et le vecteur pesanteur terrestre a pour valeur g = 9,8 n / kg. On néglige toute influence de l'air.

· 1- Calculer l'énergie mécanique initiale de la bille dans le champ de pesanteur uniforme. (corrigé)

· 2- Calculer la vitesse de la bille au sommet S de la trajectoire. (c)

· 3- A quelle hauteur au-dessus du sol horizontal se trouve ce sommet S ? (c)

· 4- Calculer la vitesse de la bille juste avant son impact sur le sol. (c)

 

SOLUTION :

 

· 1- (énoncé) Calculons l'énergie mécanique initiale du projectile dans le champ de pesanteur uniforme.

· Au référentiel terrestre on associe un repère orthonormé direct dont l'origine correspond avec le point de départ O de la bille.

· Par définition, l'énergie mécanique de la bille en interaction avec la Terre est égale à la somme de l'énergie cinétique de la bille et de son énergie potentielle dans le champ de pesanteur terrestre. On écrit :

Em = EC + EP = m V2 + m g z (1)

· Nous conviendrons de prendre nulle l'énergie potentielle de la bille dans le champ de pesanteur lorsqu'elle se trouve au point de départ O (zO = 0 m).

Em (0) = EC (0) + EP (0) = m V02 + 0 (2)

Avec m = 10 g = 0,010 kg et V0 = 7,2 km / h = 7,2 ´ (1000 m / 3600 s) = 2,0 m / s, on obtient :

Em (0) = EC (0) + EP (0) = m V02 + 0 = ´ 0,010 ´ ( 2,0)2

Em (0) = 0,020 J = 2,0 ´ 10 - 2 J (3)

· 2- (e) Calculons la vitesse de la bille au sommet S de la trajectoire.

La seule force qui agit sur la bille est le poids vertical. L'accélération ( = m ) est donc verticale. L'accélération horizontale est nulle et, par conséquent, la composante horizontale de la vitesse est constante; elle conserve sa valeur de départ soit :

Vx (t) = Vx (o) = VOcos ( a ) = 2cos (60°) (4)

Vx (t) = 1,0 m / s

Le vecteur vitesse est constamment tangent à la trajectoire. Au sommet S de la trajectoire, il est donc horizontal. Sa valeur est :

VS = Vx = 1,0 m / s (5)


· 3- (e) Calculons la hauteur à laquelle se trouve le sommet S.

En absence de frottement, líénergie mécanique du projectile dans le champ de pesanteur terrestre uniforme se conserve (revoir la leçon 20).

L'énergie mécanique du système bille-Terre est la même en tout point de la trajectoire. Pour les points O et S, on a donc :

Em (S) = Em (O) (6)

EC (S) + EP (S) = EC (O) + EP (O)

m VS2 + m g zS = m VO2 + 0 (7)

zS = ( VO2 - VS2) / g

zS = ( 22 - 12) / 9,8

zS = 0,153 m (8)

 


· 4- (e) Calculons la vitesse de la bille juste avant le point d'impact A sur le sol.

En absence de frottement, líénergie mécanique du projectile dans le champ de pesanteur terrestre uniforme se conserve (revoir la leçon 20).

L'énergie mécanique du système bille-Terre est la même en tout point de la trajectoire. Pour les points O et A, on a donc :

Em (A) = Em (O) (9)

EC (A) + EP (A) = EC (O) + EP (O)

m VA2 + 0 = m VO2 + 0 (10)

VA2 = VO2

Les vecteurs et n'ont pas la même direction mais ils ont la même norme :

VA = VO = 2,0 m / s (11)

Remarque : On peut faire une étude différente de ce problème en appliquant la deuxième loi de Newton comme cela a été fait dans la leçon 13 ou comme cela est proposé dans le problème 13-A


A VOIR :

Exercice de la leçon 20 : Conservation de l'énergie mécanique d'un solide dans le champ de pesanteur terrestre.

Exercice de la leçon 20 : Diminution de l'énergie mécanique d'un parachutiste dans le champ de pesanteur terrestre.

Problème résolu n° 20 A ci-dessus : Energie mécanique d'un projectile dans le champ de pesanteur uniforme.

Problème n° 20 B (à résoudre) : Diminution de l'énergie mécanique d'un pendule simple en interaction avec la TERRE.

Problème résolu n° 20 C : Frottements avec l'air; Qu'en dit la NASA ? (Bac 2009 - France).

Revoir le problème résolu n° 15 A : Etude énergétique du pendule simple. Vitesse. Tension du fil.

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