Retour Sommaire - Revoir la leçon 20

(Pensez à utiliser la commande "Précédente" du navigateur et la touche F11 du clavier)

   

PROBLEME RESOLU n° 20-C : Frottements avec l'air; Qu'en dit la NASA ? (Bac 2009 - France)

(Calculatrice autorisée)

 

ENONCE :

 

Intrigué par la notion de frottement fluide introduite en classe, un élève recherche des informations sur la notion de force de traînée. Sur le site de la NASA, "National Aeronautics and Space Administration", dont l’activité se partage entre domaine spatial et aéronautisme, l’élève trouve :

"La force de traînée sur un avion ou une navette dépend de la densité de l'air, du carré de la vitesse, de la viscosité et de la compressibilité de l'air, de la taille et de la forme de l'objet ainsi que de son inclinaison par rapport à l'écoulement d'air. En général, la dépendance à l'égard de la forme du corps, de l'inclinaison, de la viscosité et de la compressibilité de l'air est très complexe." (d'après www.nasa.gov).

A l’issue de cette recherche, l’élève dégage deux modèles pour rendre compte des frottements exercés par l'air sur les objets.

- modèle 1 : les frottements dépendent, entre autres, de la viscosité de l’air hair et de la valeur v de la vitesse du centre de gravité G du système. On exprime alors la force sous la forme : (1) où A est une constante.

- modèle 2 : les frottements dépendent, entre autres, de la masse volumique de l’air rair et du carré de v. On écrit alors la force sous la forme : (2) où B est une constante.

Les constantes A et B sont liées à la forme du corps et à son inclinaison.

Le choix entre ces deux modèles est lié à l’expérience. Son professeur lui conseille de les appliquer à la chute verticale d’une grappe de ballons de baudruche dont il peut lui fournir le film. Il lui donne également les valeurs approchées des constantes A et B.

Un logiciel adapté permet d’obtenir la courbe d’évolution temporelle de la valeur v de la vitesse du centre d’inertie G du système de la figue 2.

 

Le système fourni par l’ensemble des ballons de baudruche, de masse m et de volume total Vo, est lâché sans vitesse initiale, dans le champ de pesanteur uniforme et vertical. Toute l’étude de cet exercice est faite dans le référentiel terrestre supposé galiléen, muni d’un repère (O ; ) dont l’axe Oz vertical est orienté vers le bas. On pose vz = v, valeur de la vitesse du centre d’inertie G du système.

Données pour l’objet étudié :

Valeurs approchées de A et B calculées à partir de la géométrie de l’objet :

A = 1 x 10 1 m (3)

B = 2 x 10 - 2 m 2 (4)

 

masse du système : m = 22 g (5)

valeur du champ de pesanteur : g = 9,8 m.s - 2 (6)

masse volumique de l’air : rair = 1,2 kg. m - 3 = 1,2 g.L - 1 (7)

viscosité dynamique de l'air : hair = 2 x 10 - 5 kg.m -1.s - 1 (8)

· 1- Rappeler ce que signifie le caractère uniforme du champ de pesanteur. (corrigé)

· 2- Le système est soumis à trois forces, son poids , les frottements ( ou ) et la poussée d’Archimède .

Donner les caractéristiques de la poussée d’Archimède . (c)

· 3- Si l’on choisit le modèle 1, montrer que dans le référentiel terrestre (supposé galiléen), la vitesse v vérifie l’équation différentielle :

(9)

De la même façon, montrer que pour le modèle 2 on obtient l’équation suivante :

(10) (c)

· 4- Accélération initiale

4.1. Déduire des équations différentielles l’expression littérale de a0, valeur de l’accélération à la date t = 0, en fonction de m, Vo, g et rair. (On pourra prendre indifféremment l’une ou l’autre des deux équations différentielles pour trouver l’expression littérale de a0). (c)

4.2. Vérifier par une méthode graphique, sur la figure 2, que la valeur de l’accélération initiale a0 est de l’ordre de a0 = 6 m.s - 2 (11) (c)

4.3. Retrouver cette valeur par un calcul sachant que le volume Vo du système est de l’ordre de 7 L. (12) (c)

· 5- Vitesse limite

5.1. Déterminer graphiquement sur la figure 2, la valeur de la vitesse limite vlim. La construction graphique devra apparaître sur la figure. (c)

5.2. À l’aide de l’équation différentielle, démontrer dans le cas du modèle 1 que l’expression de cette vitesse limite est :

(13)

On admet également dans le cas du modèle 2 que :

(14) (Ne pas démontrer cette relation) (c)

5.3. Calculer la valeur approchée de vlim,1 en utilisant les données fournies en début d’énoncé. On rappelle que le volume Vo du système est de l’ordre de 7 L. (c)

5.4. Sachant que vlim,2 = 2 m.s – 1 (15) comparer ces deux vitesses limites avec la valeur vlim trouvée expérimentalement. En déduire lequel des deux modèles est le plus adapté à l’étude réalisée. (c)

· 6- Force de frottement et énergie : retour de la navette spatiale

Le travail de la force de frottement est dissipé sous forme de chaleur; le bouclier thermique des navettes spatiales est destiné à les protéger lors de leur entrée dans l’atmosphère.

Pour l’expliquer sur un forum, l’élève a rédigé le texte suivant :

« La navette pèse 70 tonnes ; elle quitte une orbite basse (250 km) autour de la Terre et se déplace à environ 28 000 km/h par rapport à la Terre lorsqu’elle amorce sa descente. Le plus problématique avant l’atterrissage n’est pas de descendre de 250 km, mais de ralentir afin que la vitesse soit d’environ 400 km/h. Pour cela il faut dissiper environ 2 térajoules en 2 000 secondes, soit 1 mégawatt moyen ! Actuellement, cette énergie est dissipée sous forme de chaleur lors du frottement de la Navette avec l’air de l’atmosphère ; l’énergie cinétique de la navette diminue, la navette ralentit et se réchauffe ».

6.1. Citer les noms des formes d’énergie que possède la navette en orbite autour de la Terre. (c)

6.2. Dans la phrase : « … il faut dissiper 2 térajoules en 2000 secondes, soit 1 mégawatt moyen» (15) donner le nom des deux grandeurs physiques dont les valeurs numériques sont soulignées. (c)

6.3. En ne prenant en compte que la variation de vitesse comme le suggère l’élève, calculer la valeur des deux grandeurs citées dans la question précédente, à partir des données fournies dans le texte.

Vos résultats sont-ils en accord avec ceux de l’élève ? (c)

Rappels : 1 térajoule = 1 TJ = 10 12 J (16) 1 mégawatt = 1 MW = 10 6 W (17)

 

SOLUTION :


· 1- (énoncé) Rappelons ce que signifie le caractère uniforme du champ de pesanteur.

· En un point donné M, au voisinage de la Terre, le poids d'un objet de masse m peut s'écrire :

= m (18)   est, par définition, le vecteur champ de pesanteur terrestre au point M considéré.

· Ce vecteur champ de pesanteur terrestre possède :

· une origine : le point M

· une direction : la verticale passant par M

· un sens : du haut vers le bas

· une valeur : l'intensité g de la pesanteur au point M

· La valeur de l'intensité g de la pesanteur dépend de la latitude du point M où l'on opère et de son altitude.

· Champ de pesanteur uniforme : Dans un domaine restreint au voisinage de la Terre (dimensions de l'ordre de quelques kilomètres), on peut considérer que le champ de pesanteur est uniforme : le vecteur champ de pesanteur a même direction, même sens et même valeur en tout point de ce domaine restreint. On dit alors que le champ de pesanteur est uniforme.

· 2- (e) Le système formé par la grappe de ballons de baudruche est soumis à trois forces, son poids , les frottements ( ou ) et la poussée d’Archimède .

Rappelons les caractéristiques de la poussée d’Archimède .

La surface d'un solide immergé dans un fluide (liquide, gaz) est constamment "frappée" par les molécules de ce fluide. Ces chocs sont à l'origine de la poussée d'Archimède. La poussée d'Archimède est une force de contact répartie sur la surface de contact solide-fluide. On la représente par un vecteur qui possède :

· une origine : le centre d'inertie C du volume de fluide déplacé.

· une direction : la verticale passant par C.

· un sens : du bas vers le haut.

· une valeur : P = rfluide.Vo.g (19)   égale au poids du fluide déplacé.

Ici, le centre d'inertie C du volume de fluide déplacé sera confondu avec le centre de gravité G.

Unités : La poussée d'Archimède P s'exprime en newton (N). La masse volumique du fluide rfluide s'exprime en kilogramme par mètre cube (kg / m3). Le volume de fluide déplacé Vo s'exprime en mètre cube (m3). L'intensité de la pesanteur g s'exprime en newton par kilogramme (N / kg).


·
3-
(e) Si l’on choisit le modèle 1, montrons que dans le référentiel terrestre (supposé galiléen), la vitesse v vérifie l’équation différentielle :

(20)

Référentiel Galiléen : le solide Terre auquel on associe le repère (O ; ).

Système étudié : ensemble des ballons de baudruche de centre d'inertie G.

Forces appliquées : le poids = m , les frottements et la poussée d’Archimède .

 

· Appliquons la deuxième loi de Newton :

Dans un référentiel Galiléen, la somme des forces extérieures appliquées à un solide est égale au produit de la masse m du solide par l'accélération de son centre d'inertie :

Ici, cette loi s'écrit :

+ + = m (21)

Dans cette équation (21) portons : (1) et = - rair.Vo.g (19) :

mg - rair.Vo.g = m (22)

( mg - rair.Vo.g - A hair v) = m (23)

m = ( mg - rair.Vo.g - A hair v) (23 bis)

On en déduit :

(9)

La vitesse v vérifie bien l’équation différentielle donnée par l'énoncé.

· De la même façon, montrons que pour le modèle 2 on obtient l’équation suivante : (10)

La deuxième loi de Newton s'écrit ici :

+ + = m (24)

mg - rair.Vo.g = m (25)

( mg - rair.Vo.g - A hair v - ) = m (26)

m = ( mg - rair.Vo.g - A hair v - ) (26 bis)

m = mg - rair.Vo.g - A hair v - (27)

Cette relation peut aussi s'écrire :

(10)

 La vitesse v vérifie bien l’autre équation différentielle donnée par l'énoncé.


·
4- Accélération initiale

4.1. (e) Déduisons des équations différentielles l’expression littérale de a0, valeur de l’accélération à la date t = 0, en fonction de m, Vo, g et rair. (On peut prendre indifféremment l’une ou l’autre des deux équations différentielles pour trouver l’expression littérale de a0).

A la date t = o la vitesse du système est nulle. Les deux équations différentielles

(9)

(10)

s'écrivent de la même façon :

(28)

On obtient la même accélération initiale ao :

(29)

4.2. (e) Vérifions par une méthode graphique, sur la figure 2, que la valeur de l’accélération initiale a0 est de l’ordre de a0 = 6 m.s - 2 (11).

Sur la figure 2 ci-dessus on a déterminé graphiquement l’accélération initiale a0 qui est égale au coefficient directeur de la tangente HJ à la courbe v (t) à la date initiale t = 0 s.

On trouve :

(30)

ao 6 m / s2 (31)

4.3. (e) Retrouvons cette valeur par un calcul sachant que le volume Vo du système est de l’ordre de 7 L.

L'énoncé donne :

g = 9,8 N /kgVo =7x10 - 3 m3 rair = 1,2 kg. m - 3m = 22 g = 22 x 10 - 3 kg

On a vu que :

(29)

ao = 9,8 ( 1 - 7 x 10 - 3 x 1,2 / 22 x 10 - 3 )

ao = 6,06 6 m / s² (31 bis)


·
5- Vitesse limite

5.1. (e) Déterminons graphiquement sur la figure 2, la valeur de la vitesse limite vlim.

La force de frottement augmente avec la vitesse. Le moment vient où la somme des 3 forces s'annulent et où, par conséquent l'accélération s'annule. La vitesse reste alors constante, c'est la vitesse limite (asymptote horizontale au graphe 2). On lit sur ce graphe 2 :

vlim 2,7 m/ s (32)

5.2. (e) A l’aide de l’équation différentielle, démontrons dans le cas du modèle 1 que l’expression de cette vitesse limite est :

(13)

Quand la vitesse limite est atteinte et reste constante l'accélération dv / dt devient nulle

L'équation différentielle   (9) s'écrit alors :

(33) et donne :

(13)

- On admet également dans le cas du modèle 2 que :

(14)

5.3. (e) Calculons la valeur approchée de vlim,1 en utilisant les données fournies en début d’énoncé. On rappelle que le volume V du système est de l’ordre de 7 L.

(13)

(34)

vlim,1 = 666,4 m/s666 m / s (35)

5.4. (e) Voyons quel modèle est le plus adapté à l’étude réalisée.

Sachant que vlim,2 = 2 m.s – 1 et que vlim,1 666 m.s – 1, si nous comparons ces deux vitesses limites avec la valeur vlim 2,7 m.s – 1 trouvée expérimentalement on peut en déduire que le modèle 2 est beaucoup plus adapté que le modèle 1 à l’étude réalisée.


·
6- Force de frottement et énergie : retour de la navette spatiale

6.1. (e) Citons les noms des formes d’énergie que possède la navette en orbite autour de la Terre.

La navette en orbite autour de la Terre possède de l'énergie cinétique liée à sa vitesse et de l'énergie potentielle due au champ de pesanteur terrestre (elle augmente avec l'altitude).

6.2. (e) Dans la phrase : « … il faut dissiper 2 térajoules en 2000 secondes, soit 1 mégawatt moyen» (15) donnons le nom des deux grandeurs physiques dont les valeurs numériques sont soulignées.

Le terajoule est une unité d'énergie (1 terajoule = 1 TJ = 1012 J).

Le mégawatt est une unité de puissance (1 mégawatt = 1 MW =10 6 W)

6.3. (e) En ne prenant en compte que la variation de vitesse comme le suggère l’élève, calculons la valeur des deux grandeurs citées dans la question précédente, à partir des données fournies dans le texte.

Voyons si nos résultats sont en accord avec ceux de l’élève. L'énoncé donne :

Vinitiale = 28000 km / h = 28000000 /3600 = 777,777 m/s (36) Vfinale = 400000 / 3600 = 111,111 m/s (37)

La variation d'énergie cinétique de la navette est :

mV²finale - mV²iinitiale = m ( V²finale - iinitiale) = 70000 ( 111,1112 - 7777,7772 )

mV²finale - mV²iinitiale = = - 2,12 x 10 12 J = - 2,12 térajoules (38)

La variation d'énergie cinétique de la navette est bien voisine de celle donnée par l'élève dans son texte (- 2 térajoules).

Lorsqu'on dissipe 2,12 térajoules en 2000 s la puissance mise en jeu est p = W / t = 2,12 x 10 12 / 2000 = 1,06 x 10 9 W (39)

Cette puissance voisine de 1000 MW est loin de celle donnée par l'élève dans son texte (1 mégawatt).

A VOIR :

Exercice de la leçon 20 : Conservation de l'énergie mécanique d'un solide dans le champ de pesanteur terrestre.

Exercice de la leçon 20 : Diminution de l'énergie mécanique d'un parachutiste dans le champ de pesanteur terrestre.

Problème résolu n° 20 A : Energie mécanique d'un projectile dans le champ de pesanteur uniforme.

Problème n° 20 B (à résoudre) : Diminution de l'énergie mécanique d'un pendule simple en interaction avec la TERRE.

Problème résolu n° 20 C ci-dessus : Frottements avec l'air; Qu'en dit la NASA ? (Bac 2009 - France).

Revoir le problème résolu n° 15 A : Etude énergétique du pendule simple. Vitesse. Tension du fil.

Retour Sommaire