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PROBLEME RESOLU n° 22-A : Temps caractéristiques de quelques systèmes

 

ENONCE :

 

Les parties 1, 2 et 3 de cet exercice sont indépendantes, toutefois l'objectif de cette étude expérimentale consiste, pour trois systèmes différents :

·d'une part à étudier un "temps" défini comme "temps caractéristique"

·d'autre part, à observer l'influence éventuelle sur ce temps caractéristique :

·de grandeurs caractéristiques

·de conditions initiales

·de paramètres extérieurs.

Pour chacun des phénomènes, les grandeurs caractéristiques, les conditions initiales et les paramètres extérieurs envisagés sont précisés dans le tableau de données.

 

· 1- DÉCROISSANCE RADIOACTIVE

Un échantillon de matière radioactive est placé dans la chambre d'un photomultiplicateur.

Un détecteur, associé au photomultiplicateur, mesure un nombre d'événements, pendant une durée Dt déterminée.

On trace la courbe d'évolution du nombre d'événements mesuré par seconde (noté x), au cours du temps.

Soit x0 la valeur de x à l'instant choisi pour origine des dates.

On réalise des mesures avec des échantillons de radon et de radon qui sont des émetteurs a.

Le tableau ci-dessous résume les conditions expérimentales de cette étude :

expérience 1

expérience 2

expérience 3

Grandeurs caractéristiques du système : nature du noyau

radon 220

radon 220

radon 222

Conditions initiales : population initiale de noyaux radioactifs N0 N0' N0''

N0

N0 '

N0 ''

Paramètres extérieurs

Aucune modification

Aucune modification

Aucune modification

Temps caractéristique

t1/2 = 55,5 s

t1/2 = 55,5 s

t1/2 = réponse1.3

Les courbes correspondant à cette étude et donnant l'évolution de x au cours du temps sont représentées ci-dessous :

1.1. Définir le temps de demi-vie (ou demi-vie). (corrigé)

1.2. La loi de décroissance radioactive s'écrit sous la forme N = No e - l . t où :

·N est le nombre de noyaux radioactifs présents à l'instant de date t,

·N0 est le nombre de noyaux radioactifs présents à l'instant t0 = 0 s,

·l est la constante radioactive.

En utilisant la définition du temps de demi-vie, établir l'expression de l en fonction de t1/2. (c)

1.3. Dans le cas de l'expérience 3, déterminer graphiquement la valeur du temps de demi-vie.

La détermination devra apparaître clairement sur la courbe 3.

Pour cette détermination, on admettra que le nombre d'événements détectés par seconde, à l'instant de date t, est proportionnel au nombre de noyaux radioactifs présents dans l'échantillon, à cette méme date.

Pour déterminer le temps de demi-vie, on peut alors utiliser la courbe x = f (t) de la méme façon que celle représentant le nombre de noyaux radioactifs présents dans l'échantillon en fonction du temps. (c)

1.4. En justifiant les réponses à partir des données du tableau et du résultat obtenu à la question 1.3. préciser :

·Si les grandeurs caractéristiques ont une influence sur la valeur du temps de demi-vie

·Si les conditions initiales ont une influence sur la valeur du temps de demi-vie. (c)

 

· 2- CHARGE D'UN CONDENSATEUR A TRAVERS UN CONDUCTEUR OHMIQUE

Soit un dipôle RC constitué d'un condensateur de capacité C réglable et d'un conducteur ohmique de résistance R réglable. On étudie la charge du condensateur à travers le conducteur ohmique.

Pour cela, on réalise le montage de la figure ci-dessous :

Le générateur délivre, à ses bornes, une tension constante U0 réglable. Au cours d'une expérience avec acquisition et traitement informatisés des données, on enregistre les variations de la tension uC aux bornes du condensateur au cours du temps.

A chaque nouvelle expérience, on ne change qu'une seule des conditions expérimentales. Le tableau ci-dessous résume les conditions expérimentales de cette étude :

expérience 1

expérience 2

expérience 3

expérience 4

Grandeurs caractéristiques du système

R = 20 kW

C = 31 mF

R = 20 kW

C = 31 mF

R = 10 kW

C = 31 mF

R = 20 kW

C = 12,5 mF

Conditions initiales : uC (à t0 = 0 s) = 0,0 V

Pas de modification

Pas de modification

Pas de modification

Pas de modification

Paramètres extérieurs

U0 = 4,25 V

U0 = 5,00 V

U0 = 4,25 V

U0 = 4,25 V

Temps caractéristique

t1 = 0,62 s

t2 = 0,62 s

t3 = 0,31 s

t4 = réponse 2.1

Les courbes correspondant à cette étude et donnant l'évolution de la tension uC au cours du temps sont représentées ci-dessous :

2.1. Dans le cas de l'expérience 4, déterminer graphiquement par une méthode au choix, la constante de temps du circuit. La méthode sera explicitée et la détermination devra apparaître clairement sur la courbe. (c)

2.2. En justifiant les réponses à partir des données du tableau et du résultat obtenu à la question 2.1, préciser :

·Si les grandeurs caractéristiques ont une influence sur la valeur de la constante de temps.

·Si les paramètres extérieurs ont une influence sur la valeur de la constante de temps. (c)

2.3. Plusieurs expressions de la constante de temps t d'un circuit RC sont proposées ci-dessous :

t = U0 RC (a)

t = U0 / RC (b)

t = R / C (c)

t = C / R (d)

t = RC (e)

t = (f)

2.3.1 A partir de l'étude expérimentale précédente, justifier qu'une seule expression est à retenir. (c)

2.3.2 Vérifier par une analyse dimensionnelle l'expression de la constante de temps trouvée à la question précédente. (c)

 

· 3- CHUTE AVEC FROTTEMENTS

A partir d'une même position de l'espace, on réalise dans deux fluides différents, la chute verticale sans vitesse initiale de solides de petites dimensions, de même forme, de même volume, mais de masses différentes. On filme la chute et un dispositif informatique permet de tracer la courbe donnant l'évolution de la vitesse v du centre d'inertie du solide en fonction du temps.

A chaque nouvelle expérience, on ne change qu'une seule des conditions expérimentales. Le tableau ci-dessous résume les conditions expérimentales de cette étude :

expérience 1 : solide A

expérience 2 : solide A

expérience 3 : solide B

Grandeurs caractéristiques du système

volume V

masse m

volume V

masse m

volume V

masse m' (m' m)

Conditions initiales : Position initiale - Vitesse initiale

Pas de modification

Pas de modification

Pas de modification

Paramètres extérieurs

fluide : eau

fluide : détergent

fluide : eau

Temps caractéristique

t1 = 0,21 s

t2 = 0,15 s

t3 = réponse 3.1.

Les courbes correspondant à cette étude et donnant l'évolution de la vitesse v au cours du temps sont représentées ci-dessous :

3.1. Dans le cas de l'expérience 3, déterminer graphiquement le temps caractéristique.

La détermination devra apparaître clairement sur la courbe. (c)

3.2. En justifiant les réponses à partir des données du tableau et du résultat obtenu à la question précédente préciser :

·Si les grandeurs caractéristiques ont une influence sur la valeur du temps caractéristique.

·Si les paramètres extérieurs ont une influence sur la valeur du temps caractéristique. (c)

3.3. Lors de la chute verticale d'un solide dans un fluide, le mouvement comporte deux phases :

·une première phase correspondant au " régime initial ".

·une seconde phase correspondant au " régime asymptotique ".

En justifiant la réponse, préciser, sans calcul, la nature du mouvement du centre d'inertie du solide en chute :

·au cours du régime initial.

·au cours du régime asymptotique. (c)

 

· 4- BILAN

Sans étude complémentaire, compte-tenu des expériences réalisées et des réponses aux questions 1.4, 2.2 et 3.2, analyser pour l'ensemble des trois systèmes étudiés, chacune des propositions données ci-dessous :

·le temps caractéristique dépend des grandeurs caractéristiques du système (proposition 1)

·le temps caractéristique dépend des conditions initiales (proposition 2)

·le temps caractéristique dépend des paramètres extérieurs (proposition 3).

Si la proposition est vérifiée simultanément pour les trois systèmes étudiés, on indiquera : proposition juste.

Si la proposition n'est pas vérifiée simultanément pour les trois systèmes étudiés, on indiquera : proposition fausse.

Si les informations données sont insuffisantes pour conclure, on indiquera : informations insuffisantes

Aucune justification n'est demandée.(c)

 

SOLUTION :

 

· 1- DÉCROISSANCE RADIOACTIVE (Revoir la leçon 6)

1.1. (énoncé) Définissons le temps de demi-vie (ou demi-vie).

La demi-vie t 1/2 d'un isotope radioactif est le temps nécessaire pour que la moitié des noyaux radioactifs initialement présents se soient désintégrés. (1)

1.2. (e) En utilisant la définition du temps de demi-vie, établlissons l'expression de l en fonction de t1/2.

La loi de décroissance radioactive s'écrit sous la forme N = No e - l . t (2)

Par définition du temps de demi-vie :

N (t 1/2) = No / 2 (3)

Portons dans (2) :

No / 2 = No e - l . t 1/ 2 soit :

e - l . t 1/ 2 = 1 / 2 ou encore en prenant le logarithme népérien des deux cotés :

ln e - l . t 1/ 2 = ln 1 / 2

  - l . t 1/2 = 0 - ln 2

l = ln 2 / t 1/2

l = ln 2 / t 1/2 = 0,693 / t 1/2 (4)

1.3. (e) Dans le cas de l'expérience 3, déterminons graphiquement la valeur du temps de demi-vie.

· L'activité de l'échantillon de radon 222 étudié dans l'expérience 3 n'est que partiellement mesurée par le photomultiplicateur pour deux raisons : d'une part, seule une fraction, constante, des rayonnements émis par l'échantillon atteint le détecteur; d'autre part, l'efficacité du détecteur n'est probablement pas de 100 %.

Cependant, l'activité détectée est proportionnelle à l'activité émise par l'échantillon.

· De plus, pour déterminer le temps de demi-vie du radon 222, on admet que le nombre d'événements détectés par seconde, à l'instant de date t, est proportionnel au nombre de noyaux radioactifs présents dans l'échantillon, à cette même date. Pour déterminer le temps de demi-vie, on peut alors utiliser la courbe x = f (t) de la même façon que celle représentant le nombre de noyaux radioactifs présents dans l'échantillon en fonction du temps.

Donc, comme à la date t 1/2 le nombre de noyaux de radon 222 a été divisée par 2, l'activité détectée, reportée sur la courbe 3, a également été divisée par 2.

Sur la courbe ci-dessus on lit :

t 1/2 = 3,9 jours (5)

1.4. (e) En justifiant les réponses à partir des données du tableau et du résultat obtenu à la question 1.3 précisons :

·Si les grandeurs caractéristiques ont une influence sur la valeur du temps de demi-vie

·Si les conditions initiales ont une influence sur la valeur du temps de demi-vie.

· Le tableau ci-dessous résume les conditions expérimentales de cette étude :

expérience 1

expérience 2

expérience 3

Grandeurs caractéristiques du système : nature du noyau

radon 220

radon 220

radon 222

Conditions initiales : population initiale de noyaux radioactifs : N0 N0' N0''

N0

N0 '

N0 ''

Paramètres extérieurs

Aucune modification

Aucune modification

Aucune modification

Temps caractéristique

t1/2 = 55,5 s

t1/2 = 55,5 s

t 1/2 = 3,9 jours

·Grandeurs caractéristiques

Pour le on a trouvé t 1/2 = 3,9 jours alors que pour le l'énoncé donne t 1/2 = 55,5 s.

La nature du noyau (grandeur caractéristique du système) intervient dans la valeur du temps de demi-vie. (6)

·Conditions initiales

Les expériences 1 et 2 donnent la même valeur t 1/2 = 55,5 s pour deux échantillons de radon 220 avec N0 N0' .

La population initiale de noyaux radioactifs (condition initiale) n'intervient pas dans la valeur du temps de demi-vie. (7)

 

· 2- CHARGE D'UN CONDENSATEUR A TRAVERS UN CONDUCTEUR OHMIQUE (Revoir la leçon 8)

2.1. (e) Dans le cas de l'expérience 4, (grandeurs caractéristiques du circuit : R = 20 kW, C = 12,5 mF; paramètre extérieur : U0 = 4,25 V) déterminons graphiquement la constante de temps du circuit.

·Méthode 1 : La constante de temps t d’un dipôle RC (t = RC) est le temps pour lequel la tangente à l’origine coupe l’asymptote horizontale. Elle caractérise la rapidité de la charge.

La figure ci-dessus donne :

t4 = 0,25 s (8)

·Méthode 2 : La constante de temps t correspond à l'abscisse du point de la courbe qui a pour ordonnée 63 % de la valeur maximale.

Avec cette méthode, on retrouve t4 = 0,25 s (8 bis)

2.2. (e) En justifiant les réponses à partir des données du tableau et du résultat obtenu à la question 2.1, précisons :

·Si les grandeurs caractéristiques ont une influence sur la valeur de la constante de temps

·Si les paramètres extérieurs ont une influence sur la valeur de la constante de temps.

Le tableau ci-dessous résume les conditions expérimentales de cette étude :

expérience 1

expérience 2

expérience 3

expérience 4

Grandeurs caractéristiques du système

R = 20 kW

C = 31 mF

R = 20 kW

C = 31 mF

R = 10 kW

C = 31 mF

R = 20 kW

C = 12,5 mF

Conditions initiales : uC (à t0 = 0 s) = 0,0 V

Pas de modification

Pas de modification

Pas de modification

Pas de modification

Paramètres extérieurs

U0 = 4,25 V

U0 = 5,00 V

U0 = 4,25 V

U0 = 4,25 V

Temps caractéristique

t1 = 0,62 s

t2 = 0,62 s

t3 = 0,31 s

t4 = 0,25 s

·Grandeurs caractéristiques

Les expériences 3 et 2 montrent que si l'on multiplie par 2 la résistance R du circuit, alors la constante de temps t du circuit est également multipliée par 2.

Les expériences 4 et 2 montrent que si on multiplie par 2,48 (31 / 121,5) la capacité C du condensateur, alors la constante de temps t du circuit est également multipliée par 2,48 (0,62 / 0,25).

Les grandeurs caractéristiques du circuit (résistance R, capacité C) ont une influence sur la valeur de la constante de temps t du circuit. (9)

L'expression de t semble être proportionnelle au produit RC.

·Paramètres extérieurs

Les expériences 1 et 2 montrent que si Uo passe de 4,25 V à 5,00 V, cela ne change pas la valeur de la constante de temps t du circuit.

Le paramètre extérieur de cette étude (la tension constante U0 délivrée par le générateur) n'a aucune influence sur la valeur de la constante de temps du circuit. (10)

2.3. Plusieurs expressions de la constante de temps t d'un circuit RC sont proposées ci-dessous :

t = U0 RC (a)

t = U0 / RC (b)

t = R / C (c)

t = C / R (d)

t = RC (e)

t = (f)

2.3.1 (e) A partir de l'étude expérimentale précédente, justifions qu'une seule expression est à retenir.

· Rappels de l'étude expérimentale précédente :

Les grandeurs caractéristiques du circuit (résistance R, capacité C) ont une influence sur la valeur de la constante de temps t du circuit. (9)

Si l'on multiplie par 2 la résistance R du circuit, alors la constante de temps t du circuit est également multipliée par 2.

Si on multiplie par 2,48 la capacité C du condensateur, alors la constante de temps t du circuit est également multipliée par 2,48.

On ne peut retenir que :

t = U0 RC (a)out = RC (e)

Le paramètre extérieur de cette étude (la tension constante U0 délivrée par le générateur) n'a aucune influence sur la valeur de la constante de temps du circuit. (10)

On ne retient que :

t = RC (e)

· Conclusion :

L'étude faite en 2.2 avec les grandeurs caractéristiques et les paramètres extérieurs montre que seule convient l'expression (e) : t = RC(11)

2.3.2 (e) Vérifions par une analyse dimensionnelle l'expression de la constante de temps t = R . C (6) trouvée à la question précédente.

·D'après la loi d'Ohm U = R . I on a :

[R] = [ U ] / [ I ] = [ U ] . [ I ] - 1 (12)

·La relation intensité-tension pour un condensateur i = C dU/dt donne :

[C] = [ I ] . [ T ] / [ U ] = [ I ] . [ T ] . [ U ] - 1 (13)

·D'après la relation t = R . C (6), on a :

[t] = [ R ] . [C ]

[t] = [ U ] . [ I ] - 1 . [ I ] . [ T ] . [ U ] - 1

[t] = [ T ] (14)

La grandeur t = R . C est bien homogène à un temps. Dans le système international d'unité, t s'exprime en seconde. (15)

 

· 3- CHUTE AVEC FROTTEMENTS

3.1. (e) Dans le cas de l'expérience 3, déterminons graphiquement le temps caractéristique.

Le temps caractéristique t est le temps pour lequel la tangente à l’origine coupe l’asymptote horizontale.

La figure ci-dessus (expérience 3) donne :

t3 = 0,10 s (16)

3.2. (e) En justifiant les réponses à partir des données du tableau et du résultat obtenu à la question précédente précisons :

·Si les grandeurs caractéristiques ont une influence sur la valeur du temps caractéristique

·Si les paramètres extérieurs ont une influence sur la valeur du temps caractéristique.

· Le tableau ci-dessous résume les conditions expérimentales de cette étude :

expérience 1 : solide A

expérience 2 : solide A

expérience 3 : solide B

Grandeurs caractéristiques du système

volume V

masse m

volume V

masse m

volume V

masse m' (m' m)

Conditions initiales : Position initiale - Vitesse initiale

Pas de modification

Pas de modification

Pas de modification

Paramètres extérieurs

fluide : eau

fluide : détergent

fluide : eau

Temps caractéristique

t1 = 0,21 s

t2 = 0,15 s

t3 = 0,10 s (10) . réponse 3.1

·Grandeurs caractéristiques

Les expériences 1 et 3 montrent que si on change la masse du solide alors la constante de temps t change.

La masse (grandeur caractéristique) a une influence sur la valeur de la constante de temps t de la chute. (17)

Cette étude ne permet pas de dire si le volume V du solide intervient.

·Paramètres extérieurs

Les expériences 1 et 2 le montrent clairement :

La nature du fluide (paramètre extérieur) a une influence sur la valeur de la constante de temps t de la chute. (18)

3.3. (e) Lors de la chute verticale d'un solide dans un fluide, le mouvement comporte deux phases :

·une première phase correspondant au " régime initial " ,

·une seconde phase correspondant au " régime asymptotique ".

Précisons, sans calcul, la nature du mouvement du centre d'inertie du solide en chute :

Au cours du régime initial la vitesse augmente, le mouvement est rectiligne accéléré. La force motrice l'emporte sur les forces résistantes. (19)

Au cours du régime asymptotique la vitesse reste constante, le mouvement est rectiligne uniforme. La force motrice est compensée par les forces résistantes. (20)

 

(e) · 4- BILAN

Sans étude complémentaire, compte-tenu des expériences réalisées et des réponses aux questions 1.4, 2.2 et 3.2, analysons pour l'ensemble des trois systèmes étudiés, chacune des propositions ci-dessous :

Proposition 1 : "le temps caractéristique dépend des grandeurs caractéristiques du système".

Cette proposition est juste (elle est vérifiée simultanément pour les trois systèmes étudiés). (21)

Proposition 2 : "le temps caractéristique dépend des conditions initiales".

Les informations sont insuffisantes pour conclure. En effet, les conditions initiales n'ont pas été modifiées en ce qui concerne la charge du condensateur et la chute verticale d'un solide. (22)

Proposition 3 : "le temps caractéristique dépend des paramètres extérieurs".

Cette proposition est fausse (la proposition n'est pas vérifiée simultanément pour les trois systèmes étudiés). En effet, la tension constante U0 délivrée par le générateur (paramètre extérieur) n'a aucune influence sur la valeur de la constante de temps t du circuit mais la nature du fluide (paramètre extérieur) a une influence sur la valeur de la constante de temps t de la chute. (23)

 

A VOIR :

Exercice I de la leçon 22 : Datation d'une roche volcanique.

Exercice II de la leçon 22 : Télémètre ultrasonore.

Problème résolu n° 22 A ci-dessus : Temps caractéristiques de quelques systèmes.

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