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ENONCE :

D'où peut bien provenir l'énergie du Soleil ? C'est seulement en 1920 que le voile est levé, par les Britanniques Francis William ASTON et Arthur EDDINGTON : les noyaux d'atomes d'hydrogène, le principal constituant solaire, se transforment en hélium en fusionnant. Une réaction qui libère une énergie faramineuse. L'objectif du projet ITER est de démontrer la possibilité scientifique et technologique de la production d'énergie par la fusion des atomes. La fusion contrôlée représente un défi scientifique et technologique majeur qui pourrait répondre au problème crucial de disposer, à plus ou moins long terme, de nouvelles ressources énergétiques. A côté de l'énergie de fission, l'énergie de fusion représente l'espoir d'avoir une source d'énergie propre et abondante au cours du XXI e siècle. A l'heure où la raréfaction des énergies fossiles est prévue d'ici 50 ans, il est d'une importance vitale d'explorer le potentiel de toutes les autres sources d'énergie.

· 1. Etude de la réaction de fusion

Le concept solaire de production d'énergie est basé sur une réaction dont la probabilité de se réaliser est extrêmement faible sur notre planète. Mais l'idée reste bonne ! Il "suffit" de remplacer l'hydrogène par des noyaux qui ont un maximum de chance de fusionner sur Terre, en l'occurrence, ceux de deutérium et de tritium, deux isotopes de l'hydrogène [...] en les chauffant à des températures très élevées, de l'ordre de 100 millions de degrés. "

C'est donc sur cette réaction que se concentrent les recherches concernant la fusion contrôlée.

+ +

Données :

1.1 Calculer la variation de masse au cours de la réaction de fusion d'un noyau de deutérium et d'un noyau de tritium. Donner sa valeur en kilogramme et commenter son signe. (corrigé)

1.2 Déterminer l'énergie produite par cette réaction de fusion, donner le résultat en MeV. (c)

1.3 Vérifier que le nombre de noyaux présents dans 1,0 g de noyaux de deutérium est 3,0 x 10 ²³ noyaux. (c)

1.4 Vérifier qu'il en est de même dans 1,5 g de noyaux de tritium. (c)

1.5 En déduire l'énergie, en MeV puis en Joule, que l'on pourrait espérer obtenir si on réalisait la réaction de fusion de 1,0 g de noyaux de deutérium avec 1,5 g de noyaux de tritium dans le réacteur ITER. (c)

1.6 La tonne d'équivalent pétrole (tep) est une unité d'énergie utilisée dans l'industrie et en économie. Elle sert à comparer les énergies obtenues à partir de sources différentes.

1 tep représente 4,2 x 10 ¹⁰ J, c'est-à-dire l'énergie libérée en moyenne par la combustion d'une tonne de pétrole.

1.6.1 Calculer, en tep, l'énergie libérée par la fusion de 1,0 g de deutérium et de 1,5 g de tritium. (c)

1.6.2 Sachant que dans une centrale nucléaire classique, la fission de 1,0 g d'uranium libère une énergie de 1,8 tep, expliquer en quoi ITER est un progrès et un espoir pour la production d'énergie. (c)

· 2. Quelques précisions sur le tritium

Le deutérium est naturellement présent sur Terre alors que le tritium lui, est très rare. Il est donc obtenu à partir du lithium très abondant dans la croûte terrestre et les océans.

Pour ce faire, un échantillon de lithium est bombardé par des neutrons, il se forme de l'hélium et du tritium .

2.1 Ecrire l'équation de cette réaction nucléaire. (c)

2.2 Le tritium est radioactif b ^-.

Ecrire l'équation de la désintégration envisagée sachant qu'il se forme un isotope de l'hélium. (c)

2.3 On veut étudier l'évolution au cours du temps du nombre de noyaux présents dans un échantillon de tritium. On sait que le nombre de désintégrations au cours du temps est proportionnel au nombre de noyaux présents : DN (t) / D t = - l N (t) (relation A) où l est la constante radioactive du tritium.

On prendra l = 5,65 x 10 ^{- 2} an ^{- 1} = 1,79 x 10 ^{- 9} s ^{- 1}.

La méthode d'Euler est une méthode numérique qui permet de calculer de façon approchée le nombre N de noyaux présents à différentes dates en utilisant la relation suivante :

N (t + Dt) = N (t) + DN (t) (relation B)

2.3.1 En utilisant les relations (A) et (B), trouver l'expression de N (t + Dt) en fonction de N(t), l et Dt (Dt est le pas de résolution). (c)

2.3.2 A l'instant initial, l'échantillon étudié contient 3,0 x 10 ²³ noyaux de tritium.

Compléter le tableau donné en annexe à rendre avec la copie en prenant Dt = 1 an. Détailler les calculs sur la copie. (c)

2.3.3 La méthode d'Euler donne le graphique lissé fourni en annexe à rendre avec la copie.

2.3.3.1 A partir de la valeur de la constante radioactive l, calculer la valeur du temps de demi-vie t_1/2. (c)

2.3.3.2 Retrouver la valeur du temps de demi-vie à partir du graphe. (c)

2.3.4. L'un des objectifs d'ITER est de maintenir les réactions de fusion dans son réacteur pendant au moins 1 000 secondes (soit 16 minutes 40 secondes).

En considérant toujours que l'échantillon initial contient N₀ = 3,0 x 10 ²³ noyaux de tritium, calculer le nombre de noyaux de tritium qui se désintègrent naturellement en 1000 s, puis la masse de tritium correspondante.

Doit-on alors tenir compte de la désintégration naturelle du tritium ? (c)

 

Annexe à rendre avec la copie

 

Question 2.3.2

Date t (an)	0	1	2
N	3,0 x 10 23	.	.

Question 2.3.3

 

SOLUTION :

· 1. Etude de la réaction de fusion

1.1 (énoncé) Calculons la variation de masse au cours de la réaction de fusion d'un noyau de deutérium et d'un noyau de tritium.

+ + (1)

 Masse initiale = masse + masse = 2,01355 + 3,01550 = 5,02905 u (2)

 Masse finale = masse + masse = 4,00150 + 1,00866   = 5,01016 u (3)

La variation de masse est :

Dm =  Masse finale -  Masse initiale = 5,01016 - 5,02905 = - 0,01889 u (4)

Mais l'énoncé rappelle que 1 u = 1,66054 x 10 ^{- 27} kg. Par suite :

Dm = - 0,01889 x 1,66054 x 10 ^{- 27} = - 0,0313676 x 10 ^{- 27} kg

Dm = - 3,13676 x 10 - 29 kg (5) Le signe négatif signifie que cette fusion se fait avec perte de masse. Il y a donc production d'énergie.

1.2 (e) Déterminons l'énergie produite par cette réaction de fusion.

 Lors de cette réaction nucléaire, la masse diminue :

½Dm½_disparue = 3,13676 x 10 ^{- 29} kg (5 bis)

D'après la mécanique relativiste d'Einstein la masse disparue se transforme en énergie :

½E½_apparue = ½Dm½_disparue x c² = 3,13676 x 10 ^{- 29} x (2,998 x 10 ⁸)² = 2,819321 x 10 ^{- 12} J (6)

 L'énoncé donne 1 MeV = 1,602 x 10 ^{- 13} J soit 1 J = (1/1,602 x 10 ^{- 13}) MeV

½E½_apparue = 2,819321 x 10 ^{- 12} J = 2,819321 x 10 ^{- 12} x (1/1,602 x 10 ^{- 13} ) MeV = 17,5998 MeV

½E½apparue 2,82 x 10 - 12 J 1,76 x 10 MeV (6 bis)

1.3 (e) Vérifions que le nombre de noyaux présents dans 1,0 g de noyaux de deutérium est 3,0 x 10 ²³ noyaux.

La masse d'un noyau de deutérium est m () = 2,01355 u = 2,01355 x 1,66054 x 10 ^{- 27} = 3,34358 x 10 ^{- 27} kg (7)

Dans 1 g = 10 ^{- 3} kg de deutérium le nombre de noyaux présents est :

n ( ) = 10 ^{- 3} / (3,34358 x 10 ^{- 27}) = 2,9908 x 10 ²³

n ( ) 3,0 x 10 23 noyaux (8)

1.4 (e) Vérifions que le nombre de noyaux présents dans 1,5 g de noyaux de tritium est également 3,0 x 10 ²³ noyaux.

La masse d'un noyau de tritium est m ( ) = 3,01550  u = 3,01550  x 1,66054 x 10 ^{- 27} = 5,00736 x 10 ^{- 27} kg (9)

Dans 1,5 g = 1,5 x 10 ^{- 3} kg de tritium le nombre de noyaux présents est :

 n () = 1,5 x10 ^{- 3} / (5,00736 x 10 ^{- 27}) = 2,99559 x 10 ²³

n () 3,0 x 10 23 noyaux (10)

1.5 (e) Déduisons des 2 résultats précédents l'énergie, en MeV puis en Joule, que l'on pourrait espérer obtenir si on réalisait la réaction de fusion de 1,0 g de noyaux de deutérium avec 1,5 g de noyaux de tritium dans le réacteur ITER.

La fusion de 1 noyau de deutérium et de 1 noyau de tritium libère 1,76 x 10 MeV (6 bis).

La fusion de 3,0 x 10 ²³ noyaux de deutérium et de 3,0 x 10 ²³ noyaux de tritium libère 1,76 x 10 x 3,0 x 10 ²³ MeV, soit :

E 5,28 x 10 ²⁴ MeV (11)

Soit, en joules, 5,28 x 10 ²⁴ x 1,602 x 10 ^{- 13} = 8,45656 x 10 ¹¹ J :

E 8,46 x 10 11 J (11 bis)

1.6 La tonne d'équivalent pétrole (tep) est une unité d'énergie utilisée dans l'industrie et en économie. Elle sert à comparer les énergies obtenues à partir de sources différentes.

1 tep représente 4,2 x 10 ¹⁰ J (12), c'est-à-dire l'énergie libérée en moyenne par la combustion d'une tonne de pétrole.

1.6.1 (e) Calculons, en tep, l'énergie libérée par la fusion de 1,0 g de deutérium et de 1,5 g de tritium.

E = 8,45656 x 10 ¹¹ J = 8,45656 x 10 ¹¹/ (4,2 x 10 ¹⁰) tep = 2,01394 x 10 tep

E 20 tep (13)

1.6.2 (e) Sachant que dans une centrale nucléaire classique, la fission de 1,0 g d'uranium libère une énergie de 1,8 tep (14), expliquons en quoi ITER est un progrès et un espoir pour la production d'énergie.

ITER est un progrès et un espoir pour la production d'énergie car pour des masses manipulées du même ordre de grandeur, l'énergie produite par fusion sera plus importante que celle produite par fission nucléaire. De plus, comme pour le pétrole, les gisements d'uranium s'épuiseront un jour alors que le deutérium, lui, peut être extrait de l'eau de mer. Quant au tritium on sait le préparer à partir du lithium également abondant sur Terre (voir ci-dessous).

· 2. Quelques précisions sur le tritium

Le deutérium est naturellement présent sur Terre alors que le tritium lui, est très rare. Il est donc obtenu à partir du lithium très abondant dans la croûte terrestre et les océans.

Pour ce faire, un échantillon de lithium est bombardé par des neutrons, il se forme de l'hélium et du tritium.

2.1 (e) Ecrivons l'équation de cette réaction nucléaire :

+   + (15)

Il est aisé en écrivant les lois de conservation du nombre de protons et du nombre de nucléons de déterminer Z et A du nucléide formé :

A + 1 = 4 + 3 qui donne A = 6 nucléons

Z + 0 = 2 + 1 qui donne Z = 3 protons

 Par suite :

+   + (15 bis)

2.2 (e) Le tritium est radioactif b ^-. Ecrivons l'équation de la désintégration envisagée sachant qu'il se forme un isotope de l'hélium.

 La particule b ^- est un électron très rapide :

+ (16)

Remarque : Le noyau ne contenant que des protons et des neutrons, l'émission d'un électron doit être précédée de la transformation suivante :

+ (17)

2.3 On veut étudier l'évolution au cours du temps du nombre de noyaux présents dans un échantillon de tritium. L'énoncé rappelle que le nombre de désintégrations au cours du temps est proportionnel au nombre de noyaux présents :

DN (t) / D t = - l N (t) (relation A) où l est la constante radioactive du tritium.

On prendra l = 5,65 x 10 ^{- 2} an ^{- 1} = 1,79 x 10 ^{- 9} s ^{- 1}.

La méthode d'Euler est une méthode numérique qui permet de calculer de façon approchée le nombre N de noyaux présents à différentes dates en utilisant la relation suivante :

N (t + Dt) = N (t) + DN (t) (relation B)

2.3.1 (e) En utilisant les relations (A) et (B), trouvons l'expression de N (t + Dt) en fonction de N(t), l et Dt (Dt est le pas de résolution).

 N (t + Dt) = N (t) + DN (t) (relation B) permet d'écrire DN (t) =  N (t + Dt) - N (t) (18).

Portons dans DN (t) / D t = - l N (t) (relation A) :

[ N (t + Dt) - N (t) ] / D t = - l N (t) (19)

N (t + Dt) = N (t) - l N (t) D t (20)

N (t + Dt) = N (t) [1 - l D t] (21)

2.3.2 (e) A l'instant initial, l'échantillon étudié contient 3,0 x 10 ²³ noyaux de tritium.

Complétons, en détaillant les calculs, le tableau donné en annexe, en prenant Dt = 1 an.

 

Date t (an)	0	1	2
N	3,0 x 10 23	.	.

La relation N (t + Dt) = N (t) [1 - l D t] (21) permet de calculer N (1) connaissant N (0) = 3,0 x 10 ²³ noyaux

Avec l = 5,65 x 10 ^{- 2} an ^{- 1} et Dt = 1 an, on obtient :

N (0 + 1) = N (0) [1 - l D t] = 3,0 x 10 ²³ [1 - 5,65 x 10 ^{- 2} x 1] soit :

N (1) = 2,8314 x 10 ²³ 2,8 x 10 ²³ noyaux (22)

Date t (an)	0	1	2
N	3,0 x 10 23	2,8 x 10 23 (22)	.

La relation N (t + Dt) = N (t) [1 - l D t] (21) permet de calculer N (2) connaissant N (1) = 2,8314 x 10 ²³

Avec l = 5,65 x 10 ^{- 2} an ^{- 1} et Dt = 1 an, on obtient :

N (1 + 1) = N (1) [1 - l D t] = 2,8314 x 10 ²³ [1 - 5,65 x 10 ^{- 2} x 1] soit :

N (2) = 2,6714 x 10 ²³ 2,7 x 10 ²³ noyaux (23)

Date t (an)	0	1	2
N	3,0 x 10 23	2,8 x 10 23 (22)	2,7 x 10 23 (23)

2.3.3 La méthode d'Euler donne le graphique lissé fourni en annexe à rendre avec la copie.

2.3.3.1 (e) A partir de la valeur de la constante radioactive l, calculons la valeur du temps de demi-vie t_1/2.

Le temps de demi-vie t _1/2 d'un nucléide radioactif est la durée au bout de laquelle le nombre de noyaux radioactifs est divisé par deux.

N (t_1/2) = No / 2 (24)

On sait que le nombre N de noyaux non désintégrés à l'instant t est lié au nombre de noyaux No initialement présents à l'instant to = 0 s par une relation exponentielle :

N = No e ^{- l . t} (25)

A la date t _1/2 on écrit :

No / 2 = No e ^{- l . t 1/ 2} soit, en divisant par No :

1 / 2 = e ^{- l . t 1/ 2} ou encore, en prenant le logarithme népérien des deux cotés :

ln ( 1 / 2 ) = ln ( e ^{- l . t 1/ 2} )

0 - ln 2 =   - l . t _{1/ 2}

t _{1/ 2} = ( ln 2 ) / l (26) (cette relation équivalente à l . t _{1/ 2} = ln 2 peut parfois être donnée directement le jour de l'examen)

t 1/ 2 = ( ln 2 ) / l = 0,693 / 5,65 x 10 - 2 = 12,268 ans 12,3 ans (27)

2.3.3.2 (e) Retrouvons la valeur du temps de demi-vie à partir du graphe.

 

La détermination graphique est moins précise que la calcul ci-dessus . Elle permet seulement d'affirmer que le temps de demi-vie est compris entre 12 et 13 ans. 

2.3.4 (e) L'un des objectifs d'ITER est de maintenir les réactions de fusion dans son réacteur pendant au moins 1 000 secondes (soit 16 minutes 40 secondes).

En considérant toujours que l'échantillon initial contient N₀ = 3,0 x 10 ²³ noyaux de tritium, calculons le nombre de noyaux de tritium qui se désintègrent naturellement en 1000 s, puis la masse de tritium correspondante.

D'après DN (t) / D t = - l N (t) (relation A) on peut calculer le nombre - DN (t) de noyaux qui se désintègrent en D t = 1000 s :

- DN (t) = l N (t) x D t = 1,79 x 10 ^{- 9} x 3,0 x 10 ²³ x 1000

- DN (t) = 5,37 x 10 ¹⁷ noyaux de tritium désintégrés en 1000 s.

½ DN (t) ½ = - DN (t) = 5,37 x 10 17 noyaux de tritium désintégrés en 1000 s (28)

Remarque : On pouvait aussi utiliser la relation N = No e ^{- l . t} (25).

Calculons la masse de tritium qui se désintègre en D t = 1000 s :

½ D m ½ = ½ DN ½ x m_noyau= 5,37 x 10 ¹⁷ x 3,01550 u = 1,6193 x 10 ¹⁸ u

Mais 1 u = 1,66054 x 10 ^{- 27} kg, par conséquent :

½ D m ½ = 1,6193 x 10 ¹⁸ u = 1,6193 x 10 ¹⁸ x 1,66054 x 10 ^{- 27} kg

½ D m ½ = 2,6889 x 10 - 9 kg 2,7 x 10 - 9 kg (29)

Lorsqu'on maintiendra les réactions de fusion + + (1) dans le réacteur pendant 1 000 secondes (soit 16 minutes 40 secondes), on pourra négliger la désintégration naturelle du tritium + (16). En effet, sur N₀ = 3,0 x 10 ²³ noyaux de tritium, seuls 5,37 x 10 ¹⁷ noyaux seront désintégrés en 1000 s. Les autres pourront, en partie, subir la réaction de fusion.

 

A VOIR :

Problème résolu n° 7 A : Energie de liaison et stabilité du noyau.

Problème résolu n° 7 B : Fission de l'uranium 235.

Problème n° 7 C (à résoudre) : Fusion dans les étoiles.

Problème résolu n° 7 D : Nucléosynthèse des éléments chimiques (Bac Septembre 2006 - France).

Problème n° 7 E ci-dessus (avec corrigé) : Au Soleil d'Iter (Bac 2006 - Polynésie).

Problème résolu n° 7 F : La Terre, une machine thermique (Bac 2008 - France).

Problème résolu n° 7 G : Nucléaire au service de la médecine (Bac 2010 - France).

Problème résolu n° 7 H : Le LMJ (laser mégajoule) (Bac 2011 - France).