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PROBLEME RESOLU n° 7-D : Nucléosynthèse des éléments chimiques (Bac Septembre 2006 - France)

(Calculatrice interdite)

 

ENONCE :


Le but de cet exercice est d'étudier les réactions nucléaires qui se produisent dans l'univers, notamment dans les étoiles, et qui engendrent la synthèse des éléments chimiques.

Données :

masse d'un noyau d'hydrogène ou d'un proton : mp = 1,67 x 10 - 27 kg

masse d'un positron (ou positon) : me

célérité de la lumière dans le vide : c = 3,00 x 10 8 m.s - 1

constante radioactive du "béryllium 8", l 1 x 10 16 s - 1

1 eV = 1,60 x 10 -19 J

constante de Planck : h = 6,63 x 10 - 34 J.s

Certaines aides au calcul peuvent comporter des résultats ne correspondant pas au calcul à effectuer.


·
1- Les premiers éléments présents dans l'univers

Selon le modèle du big-bang, quelques secondes après l'explosion originelle, les seuls éléments chimiques présents étaient l'hydrogène (90%), l'hélium et le lithium, ce dernier en quantité très faible. Les physiciens ont cherché à comprendre d'où provenaient les autres éléments existant dans l'univers.

1-1 Déterminer la composition des noyaux des atomes d'hélium et ainsi que celle de l'ion hélium . (c)

1-2 La synthèse des éléments chimiques plus lourds se fait par des réactions nucléaires.

Pourquoi cette synthèse ne peut-elle pas se faire par des réactions chimiques ? (c)


· 2- Fusion de l'hydrogène

Sous l'action de la force gravitationnelle les premiers éléments (hydrogène, hélium) se rassemblent, formant des nuages gazeux en certains endroits de l'univers. Puis le nuage s'effondre sur lui-même et la température centrale atteint environ 10 7 K. A cette température démarre la première réaction de fusion de l'hydrogène dont le bilan peut s'écrire :

4 + 2 . Une étoile est née.

2-1 En notant mHe la masse d'un noyau d' "hélium 4", écrire l'expression littérale de l'énergie libérée lors de cette réaction de fusion des 4 noyaux d'hydrogène.

L'application numérique donne une valeur voisine de 4 x 10 - 12 J (c)

2-2. Cas du Soleil

2-2-1 A sa naissance on peut estimer que le Soleil avait une masse d'environ MS = 2 x 10 30 kg. Seul un dixième de cette masse est constituée d'hydrogène suffisamment chaud pour être le siège de réactions de fusion. On considère que l'essentiel de l'énergie produite vient de la réaction de fusion précédente.

Montrer que l'énergie totale ET pouvant être produite par ces réactions de fusion est voisine de ET 1044 J. (c)

2-2-2 Des physiciens ont mesuré la quantité d'énergie reçue par la Terre et en ont déduit l'énergie ES libérée par le Soleil en une année :

ES 10 34 J.an - 1.

En déduire la durée Dt nécessaire pour que le Soleil consomme toutes ses réserves d'hydrogène. (c)


· 3- Un produit de la fusion de l'hélium

D'autres réactions de nucléosynthèse peuvent se produire au cur d'une étoile. Selon les modèles élaborés par les physiciens, l'accumulation par gravitation des noyaux d'hélium formés entraîne une contraction du cur de l'étoile et une élévation de sa température. Lorsqu'elle atteint environ 10 8 K, la fusion de l'hélium commence :

+

Il se forme ainsi des noyaux de "béryllium 8" radioactifs de très courte durée de vie.

On s'intéresse à la radioactivité du "béryllium 8". Soit N(t) le nombre de noyaux de "béryllium 8" présents dans l'échantillon à l'instant de date t, et N0 celui à l'instant de date t0 = 0 s.

3-1 En utilisant la loi de décroissance radioactive, démontrer la relation entre la demi-vie t1/2 et la constante radioactive l : t1/2 = ln 2 / l. (c)

3-2 Calculer le temps de demi-vie t1/2 du "béryllium 8". (c)

Aide au calcul : ln 2 0,7

3-3 En déduire le rapport N (t1) / N0 à l'instant de date t1 = 1,4 x 10 - 16 s (c)


·
4- Vers des éléments plus lourds

Dans les étoiles de masse au moins 4 fois supérieure à celle du Soleil, d'autres éléments plus lourds peuvent ensuite être formés par fusion, par exemple le carbone , l'oxygène , le magnésium , le soufre () et le fer .

4-1 Donner l'expression littérale de l'énergie de liaison par nucléon E L / A d'un noyau de fer , en fonction des masses du neutron mn, du proton mp, du noyau de "fer 56" mFe et de la célérité de la lumière dans le vide c. (c)

4-2 Indiquer sur la courbe d'Aston représentée EN ANNEXE (à rendre avec la copie), le point correspondant à la position du noyau de "fer 56". (c)

4-3 En s'aidant de la courbe précédente, dire où se situent les noyaux capables de libérer de l'énergie lors d'une réaction de fusion. (c)


·
5- L'élément fer

Dans certaines étoiles, à la fin de la période des fusions, une explosion se produit libérant de l'énergie. Des noyaux de fer sont dissociés et d'autres sont recréés par désintégration radioactive des noyaux de cobalt . Les noyaux de fer, formés dans un état excité, émettent alors des rayonnements d'énergie bien déterminée, tels que le satellite SMM a pu en détecter en 1987 en observant une supernova dans le nuage de Magellan.

5-1 Lors de la désintégration radioactive du noyau de cobalt il se forme, en plus du fer , une autre particule.

Ecrire l'équation de cette désintégration et nommer la particule formée. (c)

5-2 L'un des rayonnements détectés a une énergie de 1238 keV.

5-2-1 Quelle est l'origine de ce rayonnement émis par le fer ? (c)

5-2-2 Ce rayonnement a une énergie bien déterminée.

Que peut-on en déduire concernant les niveaux d'énergie du noyau de fer ? (c)

5-2-3 Ce rayonnement est-il un rayonnement X ou g ? Justifier.

On pourra s'aider de la gamme de longueur d'onde donnée sur la figure 1. (c)

 

Aide au calcul : 6,63 / (3,00 x 1,238) 1,8 1,238 / (6,63 x 3,00) 0,062 (3,00 x 6,63) / 1,23816

ANNEXE (à rendre avec la copie)

 

Pour répondre à la la question 4 : Vers des éléments plus lourds

 

SOLUTION :

 

· 1- Les premiers éléments présents dans l'univers

1-1 (e) Déterminons la composition des noyaux des atomes d'hélium et ainsi que celle de l'ion hélium .

Le noyau de l'atome est composé de A = 4 nucléons soit Z = 2 protons positifs et N = A - Z = 4 - 2 = 2 neutrons.

Le noyau de l'atome est composé de A = 3 nucléons soit Z = 2 protons positifs et N = A - Z = 3 - 2 = 1 neutron.

Le noyau de l'ion est identique à celui de l'atome . Il est donc composé de A = 4 nucléons soit Z = 2 protons positifs et N = A - Z = 4 - 2 = 2 neutrons.

1-2 (e) La synthèse des éléments chimiques plus lourds se fait par des réactions nucléaires.

Cette synthèse ne peut pas se faire par des réactions chimiques car lors des réactions chimiques on ne modifie pas les noyaux des atomes mais seulement le cortège électronique qui entoure ces noyaux.


· 2- Fusion de l'hydrogène

2-1 (e) En notant mHe la masse d'un noyau d' "hélium 4", cherchons l'expression littérale de l'énergie libérée lors de la réaction de fusion de 4 noyaux d'hydrogène.

Le bilan de cette réaction peut s'écrire : 4 + 2 (1)

La réaction (1) s'accompagne d'une perte de masse Dm :

Dm = masse finale - masse initiale = mHe + 2 me - 4 mp (2)

Cette réaction fournit de l'énergie au milieu extérieur, par conséquent la masse diminue : Dm est négatif.

D'après la relation d'Einstein (équivalence entre la masse et l'énergie), l'énergie que la réaction dégage s'écrit, en valeur absolue :

½ DE ½ = ½ D m ½ x c²

½ DE ½ = ½ mHe + 2 me - 4 mp ½ x c² (3)

L'application numérique donne une valeur voisine de 4 x 10 - 12 J (4)

2-2. Cas du Soleil

2-2-1 (e) A sa naissance on peut estimer que le Soleil avait une masse d'environ MS = 2 x 10 30 kg. Seul un dixième de cette masse (soit 0,10 MS) est constituée d'hydrogène suffisamment chaud pour être le siège de réactions de fusion. On considère que l'essentiel de l'énergie produite vient de la réaction de fusion (1).

L'énergie totale ET pouvant être produite par ces réactions de fusion est donc :

ET = (nombre d'atomes d'hydrogène suffisamment chaud) x ½ DE ½

ET = ( 0,10 MS / mp) x ½ DE ½

ET = ( 0,10 x 2 x 10 30 / 1,67 x 10 - 27) x 4 x 10 - 12

ET = 4,8 x 10 44 J (5) (l'ordre de grandeur est bien voisin de la valeur donnée par l'énoncé soit 10 44 J)

2-2-2 (e) Des physiciens ont mesuré la quantité d'énergie reçue par la Terre et en ont déduit l'énergie ES libérée par le Soleil en une année : ES 10 34 J.an - 1

On peut en déduire la durée Dt nécessaire pour que le Soleil consomme toutes ses réserves d'hydrogène :

Dt = ET / ES 4,8 x 10 44 / 10 34

Dt 4,8 x 10 10 ans (6)


· 3- Un produit de la fusion de l'hélium

On s'intéresse à la radioactivité du "béryllium 8". Soit N (t) le nombre de noyaux de "béryllium 8" présents dans l'échantillon à l'instant de date t, et N0 le nombre de noyaux présents à l'instant de date t0 = 0 s.

3-1 (e) En utilisant la loi de décroissance radioactive, démontrons la relation entre la demi-vie t1/2 et la constante radioactive l : t1/2 = ln 2 / l.

La loi de décroissance radioactive s'écrit N = No e - l . t (7)

Le temps de demi-vie t 1/2 d'un nucléide radioactif est la durée au bout de laquelle le nombre de noyaux radioactifs est divisé par deux.

N (t 1/2) = No / 2 (8)

Portons dans (7) N = No e - l . t

No / 2 = No e - l . t 1/ 2 soit :

e - l . t 1/ 2 = 1 / 2 ou encore en prenant le logarithme népérien des deux cotés :

ln ( e - l . t 1/ 2 ) = ln ( 1 / 2 )

- l . t 1/ 2 = 0 - ln 2

t 1/ 2 = ( ln 2 ) / l

t 1/ 2 = ( ln 2 ) / l (9)

3-2 (e) Calculons le temps de demi-vie t1/2 du "béryllium 8" qui, d'après l'énoncé, possède une constante radioactive l 1 x 10 16 s - 1.

t 1/ 2 = ( ln 2 ) / l (9)

t 1/ 2 0,7 / 1 x 10 16

t 1/ 2 7 x 10 - 16 s (10)

3-3 (e) Calculons le rapport N (t1) / N0 à l'instant de date t1 = 1,4 x 10 - 16 s.

La relation N = No e - l . t (7) permet d'écrire :

N (t1) / N0 = e - l . t1 avec l . t1 = 1 x 10 16 x 1,4 x 10 - 16 = 1,4 (sans unité)

N (t1) / N0 = e - 1,4 0,25 (11)


· 4- Vers des éléments plus lourds

4-1 (e) Cherchons l'expression littérale de l'énergie de liaison par nucléon E L / A d'un noyau de fer , en fonction des masses du neutron mn, du proton mp, du noyau de "fer 56" mFe et de la célérité de la lumière dans le vide c.

Imaginons la transformation suivante :

- Dans l'état initial le noyau de fer est au repos dans le référentiel terrestre. Son énergie de masse initiale est :

m ´(12)

- Dans l'état final on a les 56 nucléons isolés (26 protons et 30 neutrons) au repos dans le référentiel terrestre. Leur énergie de masse finale est :

m ( 56 nucléons séparés ) ´ c² = ( 26 mp + 30 mn ) ´(13)

- L'énergie de liaison EL du noyau de fer lithium est l'énergie qu'il faut fournir à ce noyau au repos pour le dissocier en ses 56 nucléons isolés, également au repos :

E (noyau initial, au repos) + EL = E (56 nucléons séparés, au repos) (14)

m ´ c² + EL = ( 26 mp + 30 mn ) ´

EL = ( 26 mp + 30 mn ) ´ c² - m ) ´

EL = ( 26 mp + 30 mn - m) ´ (15)

L'énergie de liaison par nucléon du noyau de fer est :

EL / A = ( 26 mp + 30 mn - m) ´ c² / 56 (16)

4-2 (e) Indiquons sur la courbe d'Aston le point correspondant à la position du noyau de "fer 56".

4-3 (e) En s'aidant de la courbe précédente, précisons l'endroit où se situent les noyaux capables de libérer de l'énergie lors d'une réaction de fusion.

Un noyau est d'autant plus stable que son énergie moyenne par nucléon E L / A est grande. C'est le cas des noyaux de masse moyenne (A moyen).

La courbe montre que ce sont les noyaux légers (A petit) et les noyaux lourds (A grand) qui possèdent des énergies de liaison par nucléon E L / A relativement faibles.

- Les noyaux légers (A petit) possèdent des énergies de liaison par nucléon E L / A relativement faibles. Ils peuvent, par fusion, se transformer en des noyaux plus stables (A moyen) en libérant de l'énergie. Parmi ces noyaux légers on peut citer le deutérium , le tritium, etc.

- Remarquons que les noyaux lourds (A grand) possèdent également des énergies de liaison par nucléon E L / A relativement faibles. Ils peuvent, par fission, se transformer en des noyaux plus stables (A moyen) en libérant de l'énergie. C'est le cas, notamment, de l'uranium .


· 5- L'élément fer

5-1 (e) Lors de la désintégration radioactive du noyau de cobalt il se forme, en plus du fer , une autre particule. Ecrivons l'équation de cette désintégration et nommons la particule formée.

+ (17)

Il est aisé en écrivant les lois de conservation du nombre de nucléons et du nombre de charges de déterminer le nombres A et Z :

56 = 6 + A donne A = 0 nucléon (18)

27 = 26 + Z donne Z = 1 charge (19)

Il s'agit du positon .

On écrit donc :

+ (20)

Le noyau ne contenant pas de positon, avant son éjection, il a du se former :

+ (21)

5-2 Les noyaux de fer, formés dans un état excité, émettent alors des rayonnements d'énergie bien déterminée, tels que le satellite SMM a pu en détecter en 1987 en observant une supernova dans le nuage de Magellan. L'un des rayonnements détectés a une énergie de 1238 keV.

5-2-1 (e) Quelle est l'origine de ce rayonnement émis par le fer ?

 Le noyau de fer , est formé dans un état d'énergie excité que l'on peut noter . Il se désexcite en donnant un noyau stable et un rayonnement que nous préciserons :

  + rayonnement (22)

5-2-2 (e) Ce rayonnement a une énergie bien déterminée.

On en déduit que l'énergie du noyau de fer ne peut prendre que des valeurs bien définies appelées niveaux d'énergie nucléaires. On dit encore que lénergie du noyau est quantifiée. (voir la leçon 21)

5-2-3 (e) Précisons la nature X ou g de ce rayonnement.

L'énoncé précise que ce rayonnement là possède une énergie E de 1238 keV. On peut écrire :

E = 1238 keV = 1238000 eV = 1238000 x 1,60 x 10 - 19 J

E = 1,98 x 10 - 13 J (23)

Nous verrons dans la leçon 21 qu'à ce rayonnement d'énergie E on peut associer une onde électromagnétique de fréquence f et de longueur d'onde telles que :

E = h.f = h.c / (24) relation dans laquelle h = 6,62 10 - 34 J.s désigne la constante de Planck.

Cette relation s'écrit aussi :

l = h.c / E = ( 6,62 10 - 34 x 3,00 x 10 8 ) / 1,98 x 10 - 13

l = 1,00 x 10 - 12 m (25)

La figure 1 permet d'affirmer qu'il s'agit d'un rayonnement g.

La réaction (22) s'écrit donc :

+ g (22 bis)

A VOIR :

Problème résolu n° 7 A : Energie de liaison et stabilité du noyau.

Problème résolu n° 7 B : Fission de l'uranium 235.

Problème n° 7 C (à résoudre) : Fusion dans les étoiles.

Problème résolu n° 7 D ci-dessus : Nucléosynthèse des éléments chimiques (Bac Septembre 2006 - France).

Problème n° 7 E (à résoudre) : Au Soleil d'Iter (Bac 2006 - Polynésie).

Problème résolu n° 7 F : La Terre, une machine thermique (Bac 2008 - France).

Problème résolu n° 7 G : Nucléaire au service de la médecine (Bac 2010 - France).

Problème résolu n° 7 H : Le LMJ (laser mégajoule) (Bac 2011 - France).

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