Retour Sommaire - Revoir la leçon 7

(Pensez à utiliser la commande "Précédente" du navigateur et la touche F11 du clavier)

   

PROBLEME RESOLU n° 7-F : La Terre, une machine thermique (Bac 2008 - France)

(Calculatrice autorisée)

 

ENONCE :


Les parties 1 et 2 sont indépendantes.

· 1. Transfert thermique et radioactivité du globe terrestre.

Dès l'Antiquité, les premiers mineurs ont constaté que la température du sol augmente avec la profondeur. L'intérieur de la Terre est donc chaud. Comme le transfert thermique a toujours lieu des corps chauds vers les corps froids, il y a une fuite constante d'énergie de la Terre vers l'espace. Vers 1860, Lord Kelvin avait calculé le temps mis par le globe terrestre pour se refroidir complètement, à partir de la perte d'énergie constatée : quelques centaines de millions d'années au plus. Or la Terre est beaucoup plus vieille, et elle n'est pas froide. L'énergie qui s'échappe est donc, pour une grande part, produite par la Terre elle-même. C'est la radioactivité naturelle qui est à l'origine de l'essentiel de cette énergie. Toutes les couches de la Terre contiennent de l'uranium, du thorium et du potassium 40. Ces noyaux radioactifs produisent de l'énergie en se désintégrant.

D'après " Enseigner la géologie " Editions Nathan

Données :

· Masse d'un électron et d'un positon (ou positron) : me = 9,1 x 10 - 31 kg.

· Célérité de la lumière dans le vide : c = 3,0 x 10 8 m.s - 1.

· 1 eV = 1,6 x 10 - 19 J.

· A l'état naturel, il existe trois isotopes du potassium : les isotopes 39, 40 et 41. Le potassium 40 est radioactif et se transforme en argon 40.

· Quelques noyaux :

 

.

argon 40Ar

potassium 40K

calcium 40Ca

Numéro atomique Z

18

19

20

Masse des noyaux (kg)

m (Ar) = 6,635913 x 10 - 26

m (K) = 6,636182 x 10 - 26

m (Ca) = 6,635948 x 10 - 26

1.1. Le potassium 40 et le diagramme (N, Z).

Les noyaux dont le numéro atomique Z 20 et tels que le nombre de neutrons N = Z sont stables (sauf exceptions).

1.1.1. Sur la figure représentée en ANNEXE, tracer la droite sur laquelle se situent ces noyaux stables. (corrigé)

1.1.2. Placer sur le diagramme (N, Z) les positions respectives des noyaux de potassium 40 et de calcium 40. A partir de ces positions, indiquer lesquels de ces noyaux sont stables ou instables. (c)

1.1.3. Ecrire l'équation de la désintégration du potassium 40 en calcium 40 en précisant les lois de conservation utilisées. Déterminer le type de radioactivité correspondant à cette désintégration. (c)

1.2. Autre désintégration du potassium 40.

Le potassium 40 peut également se désintégrer en argon 40 selon l'équation :

1.2.1. Quel est le type de radioactivité correspondant à cette désintégration ? (c)

1.2.2. Déterminer la valeur de l'énergie libérée lors de cette désintégration ; exprimer le résultat en joules et en mégaélectronvolts (MeV). (c)


· 2. Evolution temporelle et dynamique interne du globe terrestre.

L'énergie thermique produite par le globe terrestre est évacuée par des courants de confection dans le manteau qui se traduisent en surface par la tectonique des plaques.

Le nombre de noyaux radioactifs diminue régulièrement au cours du temps, par simple décroissance radioactive. Par exemple, la quantité d'uranium 238 présente dans la Terre diminue de moitié tous les 4,5 milliards d'années.

Mais la diminution du nombre de noyaux radioactifs dans le manteau s'est intensifiée il y a environ deux milliards d'années, à l'époque où s'est formée la majorité du matériel continental de la croûte terrestre. En effet, celui-ci intégra, au fur et à mesure de sa formation, une quantité croissante d'uranium, thorium et potassium, appauvrissant ainsi le manteau en noyaux radioactifs.

D'après " Enseigner la géologie " Editions Nathan

2.1. Choisir le ou les adjectif(s) relatif(s) à la désintégration d'un noyau radioactif donné :

a) prévisible dans le temps b) spontanée c) aléatoire. (c)

2.2. "Le nombre de noyaux radioactifs ... diminue ... par simple décroissance radioactive".

On s'intéresse à une espèce de noyaux radioactifs. On note N le nombre de noyaux radioactifs présents à l'instant t, et N0 le nombre de noyaux radioactifs présents à l'instant t0 choisi comme origine des dates. Soit l la constante radioactive de l'ensemble des noyaux considérés.

2.2.1. Donner l'expression de la loi de décroissance radioactive du nombre de noyaux N au cours du temps. Rappeler l'unité de la constante radioactive l dans les unités du Système International. (c)

2.2.2. Tracer l'allure de la courbe représentant les variations du nombre de noyaux N au cours du temps. Placer quelques points remarquables (au moins deux points). (c)

2.2.3. A quel instant la décroissance radioactive est-elle la plus rapide ? Justifier à partir du graphique tracé. (c)

2.3. Déterminer, en utilisant le texte, la durée au bout de laquelle les trois quarts des noyaux d'uranium 238 présents aujourd'hui auront disparu par désintégration. (c)

2.4. Choisir la proposition correcte en justifiant par une courte phrase issue en partie du texte introduisant cette deuxiéme partie.

La croissance des continents explique :

a) l'augmentation du nombre de noyaux radioactifs dans le manteau

b) une diminution plus rapide du nombre de noyaux radioactifs dans le manteau

c) la décroissance radioactive par désintégration de l'uranium dans le manteau. (c)

 

ANNEXE : A RENDRE AVEC LA COPIE

 

SOLUTION :


· 1. Transfert thermique et radioactivité du globe terrestre.

1.1. Le potassium 40 et le diagramme (N, Z).

Les noyaux dont le numéro atomique Z 20 et tels que le nombre de neutrons N = Z sont stables (sauf exceptions).

1.1.1. (énoncé) Sur la figure représentée en ANNEXE, traçons la droite sur laquelle se situent ces noyaux stables.

1.1.2. (e) Nous avons placé sur le diagramme (N, Z) les positions respectives des noyaux de potassium (Z = 20, A = 40, N = A - Z = 20) et de calcium (Z = 20, A = 40, N = A - Z = 20).

A partir de ces positions, on peut affirmer que le noyau , situé sur la droite de stabilité, est stable alors que le noyau est instable.

1.1.3. (e) Ecrivons l'équation de la désintégration du potassium 40 en calcium 40 en précisant les lois de conservation utilisées.

+ (1)

Plusieurs lois gouvernent ces réactions nucléaires spontanées. Nous en utiliserons deux :

Loi de conservation de la charge électrique : 19 = 20 + Z qui donne Z = - 1 (2)

Loi de conservation du nombre de nucléons : 40 = 40 + A qui donne A = 0 (3)

Par conséquent la particule émise est un électron . Il s'agit de la radioactivité b -.

+ (4)

1.2. (e) Autre désintégration du potassium 40.

Le potassium 40 peut également se désintégrer en argon 40 selon l'équation :

(5)

1.2.1. (e) La radioactivité correspondante est la radioactivité b +.

1.2.2. (e) Déterminons la valeur de l'énergie libérée lors de cette désintégration.

La variation de masse est :

Dm = masse 40Ar + masse - masse 40K (6)

Dm = 6,635913 x 10 - 26 + 9,1 x 10 - 31 - 6,636182 x 10 - 26 = 6,636004 x 10 - 26 - 6,636182 x 10 - 26

Dm = - 0,000178 x 10 - 26 kg = -1,78 x 10 - 30 kg (7)

La masse finale est inférieure à la masse initiale. Il y a donc eu libération d'énergie :

½ DE ½ = ½ D m ½ ´ c² = 1,78 x 10 - 30 x (3,0 x 10 8)2 = 1,602 x 10 - 13 J

½ DE ½ = ½ D m ½ ´ c² = 1,6 x 10 - 13 J (8)

· Exprimons également cette énergie en mégaélectronvolts (MeV).

L'énoncé rappelle que :

1 eV = 1,6 x 10 - 19 J soit

1 MeV = 1,6 x 10 - 13 J 1 J = 1 / ( 1,6 x 10 - 13) MeV (9)

½ DE ½ = 1,602 x 10 - 13 J = 1,602 x 10 - 13 x 1 / (1,6 x 10 - 13) MeV

 ½ DE ½ 1,6 x 10 - 13 J 1,0 MeV (10)


·
2. Evolution temporelle et dynamique interne du globe terrestre.

2.1. (e) La désintégration d'un noyau radioactif donné est :

b) spontanée c) aléatoire

 2.2. "Le nombre de noyaux radioactifs ... diminue ... par simple décroissance radioactive".

On s'intéresse à une espèce de noyaux radioactifs. On note N le nombre de noyaux radioactifs présents à l'instant t, et N0 le nombre de noyaux radioactifs présents à l'instant t0 choisi comme origine des dates. Soit l la constante radioactive de l'ensemble des noyaux considérés.

2.2.1. (e) L'expression de la loi de décroissance radioactive du nombre de noyaux N au cours du temps.

L'expérience montre que le nombre N de noyaux non désintégrés à l'instant t est lié au nombre de noyaux No initialement présents à l'instant to = 0 s par une relation exponentielle :

N = No e - l . t (11)

l est la constante radioactive qui, avec les unités du système international, s'exprime en s - 1 (une exponentielle n'a pas d'unité).

Elle caractérise un radionucléide.

2.2.2. (e) Traçons l'allure de la courbe représentant les variations du nombre de noyaux N en fonction du temps t plaçons quelques points remarquables (au moins deux points).

 

2.2.3. (e) La décroissance radioactive est la plus rapide à la date t = 0.

En effet, à cette date, le coefficient directeur de la tangente à la courbe possède, en valeur absolue, sa plus grande valeur ½dN / dt ½ (12).

2.3. (e) Déterminons, en utilisant le texte, la durée au bout de laquelle les trois quarts des noyaux d'uranium 238 présents aujourd'hui auront disparu par désintégration.

Le texte dit : "... la quantité d'uranium 238 présente dans la Terre diminue de moitié tous les 4,5 milliards d'années..."

On peut donc dire que pour l'uranium 238 le temps de demi-vie est :

t 1/ 2 = ( ln 2 ) / l = 4,5 x 10 9 ans (13)

On en déduit :

l = ln 2 / t 1/ 2 = 0,693147 / 4,5 x 10 9 = 1,54 x 10 - 10 ans (14)

· Aujourd'hui (date 0) il y a No noyaux d'uranium 238. A la date inconnue t les trois quarts des No noyaux d'uranium 238 auront disparu par désintégration, il en restera donc No.

N = No e - l . t

No = No e - l . t

0,25 = e - l . t

ln 0,25 = ln e - l . t = - l . t

t = - ln 0,25 / l = - ln 0,25 / 1,54 x 10 - 10

t = 9,0 x 10 9 ans (15)

2.4. (e) Choisir la proposition correcte en justifiant par une courte phrase issue en partie du texte introduisant cette partie 2.

Dans le texte on lit : "... la diminution du nombre de noyaux radioactifs dans le manteau s'est intensifiée il y a environ deux milliards d'années, à l'époque où s'est formée la majorité du matériel continental de la croûte terrestre. En effet, celui-ci intégra, au fur et à mesure de sa formation, une quantité croissante d'uranium, thorium et potassium, appauvrissant ainsi le manteau en noyaux radioactifs."

La croissance des continents explique donc b) une diminution plus rapide du nombre de noyaux radioactifs dans le manteau. (16)

  

A VOIR :

Problème résolu n° 7 A : Energie de liaison et stabilité du noyau.

Problème résolu n° 7 B : Fission de l'uranium 235.

Problème n° 7 C (à résoudre) : Fusion dans les étoiles.

Problème résolu n° 7 D : Nucléosynthèse des éléments chimiques (Bac Septembre 2006 - France).

Problème n° 7 E (à résoudre) : Au Soleil d'Iter (Bac 2006 - Polynésie).

Problème résolu n° 7 F ci-dessus : La Terre, une machine thermique (Bac 2008 - France).

Problème résolu n° 7 G : Nucléaire au service de la médecine (Bac 2010 - France).

Problème résolu n° 7 H : Le LMJ (laser mégajoule) (Bac 2011 - France).

Retour Sommaire