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  PROBLEME RESOLU n° 7-G : NUCLEAIRE AU SERVICE DE LA MÉDECINE (Bac 2010 - France)

(Calculatrice autorisée)

 

ENONCE :

 

La médecine nucléaire désigne l'ensemble des applications où des substances radioactives sont associées au diagnostic et à la thérapie. Depuis les années 1930, la médecine nucléaire progresse grâce à la découverte et à la maîtrise de nouveaux isotopes.

La radiothérapie vise à administrer un radiopharmaceutique dont les rayonnements ionisants sont destinés à traiter un organe cible dans un but curatif ou palliatif. Ainsi on utilise du rhénium 186 dans le but de soulager la maladie rhumatoïde et du phosphore 32 pour réduire la production excessive de globules rouges dans la moelle osseuse.

D'après le site : http://www.asn.fr

La première partie de cet exercice traite de l'utilisation du rhénium 186 et la seconde partie de l'utilisation du phosphore 32. On s'intéresse à l'aspect physique des phénomènes, les aspects biologiques ne sont pas pris en compte.

Données :

· temps de demi-vie du rhénium 186 : t 1/2 () = 3,7 j (jours).

· constantes radioactives : l () = 2,2 × 10 - 6 s- 1 l () = 5,6 × 10 - 7 s - 1.

· masse molaire du rhénium 186 : M () = 186 g.mol - 1.

· masses de quelques noyaux et particules :

m () = 5,30803 × 10 - 26 kg m () = 5,30763 × 10 - 26 kg m () = 9,1 × 10 - 31 kg.

· célérité de la lumière dans le vide : c = 3,0 × 10 8 m.s - 1.

· constante d'Avogadro : NA = 6,0 × 10 23 mol - 1 ;

· électron-volt : 1 eV = 1,6 × 10 - 19 J.

· 1- Injection intra-articulaire d'une solution contenant du rhénium 186

· 1-1- Le rhénium () est un noyau radioactif ß-.

Sur le diagramme (N, Z) de la figure 1 ci-dessous où N représente le nombre de neutrons et Z le nombre de protons, la courbe tracée permet de situer la vallée de stabilité des isotopes. Le point représentatif du noyau de rhénium 186 est placé au-dessus de cette courbe.

1.1.1. Déduire de ce diagramme si cet isotope radioactif possède un excès de neutron(s) ou un excès de proton(s) par rapport à un isotope stable du même élément.(corrigé)

1.1.2. Quel nom porte la particule émise au cours d'une désintégration ß- ? (c)

1.1.3. Ecrire l'équation de la désintégration du noyau de rhénium 186 noté () sachant que le noyau fils obtenu correspond à un isotope de l'osmium noté (). En énonçant les lois utilisées, déterminer les valeurs de A et de Z. On admet que le noyau fils obtenu lors de cette transformation n'est pas dans un état excité. (c)

· 1-2- Le produit injectable se présente sous la forme d'une solution contenue dans un flacon de volume Vflacon = 10 mL ayant une activité A0 = 3700 MBq à la date de calibration, c'est-à-dire à la sortie du laboratoire pharmaceutique. Pourquoi est-il précisé "à la date de calibration" en plus de l'activité ? (c)

· 1-3- Calcul du volume de la solution à injecter.

1.3.1. L'activité A(t) d'un échantillon radioactif peut s'exprimer par la relation suivante A(t) = l.N(t) où N(t) représente le nombre de noyaux radioactifs à la date t et l la constante radioactive. Calculer la masse m de rhénium 186 contenu dans le flacon de volume Vflacon à la date de calibration. (c)

1.3.2. En s'aidant des données, quelle est la valeur de l'activité A1 de l'échantillon contenu dans le flacon au bout de 3,7 jours après la date de calibration ? (c)

1.3.3. L'activité de l'échantillon à injecter dans l'articulation d'une épaule est Athérapie = 70 MBq. En supposant que l'injection a lieu 3,7 jours après la date de calibration, calculer le volume V de la solution à injecter dans l'épaule. (c)

· 2- Injection intraveineuse d'une solution contenant du phosphore 32

Carte d'identité du phosphore 32 :

L'injection en voie veineuse d'une solution contenant du phosphore 32 radioactif permet dans certains cas de traiter une production excessive de globules rouges au niveau des cellules de la moelle osseuse.

· 2-1- Donner la composition du noyau de phosphore 32. (c)

· 2-2- A l'aide des masses données en début d'exercice et de la carte d'identité du phosphore 32, vérifier par un calcul la valeur E de l'énergie du rayonnement émis par la désintégration du phosphore 32. (c)

· 2-3- Pour la très grande majorité d'entre eux, les noyaux fils obtenus lors de cette transformation ne sont pas dans un état excité. A quel type de rayonnement particulièrement pénétrant le patient n'est-il pas exposé ? (c)

· 2-4- Rappeler la loi de décroissance du nombre N(t) de noyaux radioactifs d'un échantillon en fonction de l et N0 (nombre de noyaux radioactifs à la date t = 0). (c)

· 2-5- Définir le temps de demi-vie radioactive t 1/2 et établir la relation qui existe entre la demi-vie et la constante de désintégration radioactive l. (c)

· 2-6- Vérifier, par un calcul, la valeur approchée du temps de demi-vie proposée dans la carte d'identité ci-dessus. (c)


SOLUTION :


· 1- Injection intra-articulaire d'une solution contenant du rhénium 186

· 1-1- Le rhénium est un noyau radioactif ß-.

1.1.1. (énoncé) Le noyau père , situé au-dessous de la zone de stabilité de la figure 1, contient un excès de neutrons par rapport à l'isotope stable de cet élément.

1.1.2. (e) La particule émise par le noyau au cours d'une désintégration ß- est un électron . Le noyau ne contenant que des protons et des neutrons, l'émission d'un électron doit être précédée de la transformation suivante : + (1)

1.1.3. (e) Ecrivons l'équation de la désintégration du noyau de rhénium 186 noté () sachant que le noyau fils obtenu correspond à un isotope de l'osmium noté ().

() + (2)

Plusieurs lois gouvernent ces réactions nucléaires spontanées. Nous en retiendrons deux :

Loi de conservation de la charge électrique : la somme des nombres de charges de la particule émise et du noyau fils est égale au nombre de charge Z du noyau père.

Loi de conservation du nombre de nucléons : la somme des nombres de nucléons de la particule émise et du noyau fils est égale au nombre de nucléons A du noyau père.

La première loi impose :

Z = 76 - 1

La deuxième loi s'écrit :

186 = A + 0

On obtient ;

Z = 75

A = 186

Finalement l'équation de la désintégration du noyau de rhénium 186 noté s'écrit :

+ (3)

· 1-2- (e) Le produit injectable se présente sous la forme d'une solution contenue dans un flacon de volume Vflacon = 10 mL ayant une activité A0 = 3700 MBq à la date de calibration, c'est-à-dire à la sortie du laboratoire pharmaceutique.

On précise "à la date de calibration" car l'activité va diminuer au cours du temps.(4)

· 1-3- Calculons le volume de la solution à injecter.

1.3.1. (e) L'activité A(t) d'un échantillon radioactif peut s'exprimer par la relation suivante A(t) = l.N(t) où N(t) représente le nombre de noyaux radioactifs à la date t et l la constante radioactive.

Calculons la masse m de rhénium 186 contenu dans le flacon de volume Vflacon à la date de calibration.

La relation A(0) = l . N(0) à la date 0 s'écrit :

3700 x 10 6 = 2,2 × 10 - 6 s- 1 x N(0)

N(0) = 3700 x 10 6 / 2,2 × 10 - 6

N(0) = 1681,8 x 10 12 noyaux

N(0) = (1681,8 x 10 12 / 6,0 × 10 23 ) mole de noyaux

N(0) = 280,3 × 10 - 11 mole de noyaux

La masse m de rhénium 186 contenu dans le flacon de volume Vflacon à la date de calibration est :

m = N(0) x M () = 280,3 × 10 - 11 x 186

m = 52136 × 10 - 11

m = 5,2 x 10 - 7 g (5)

1.3.2. (e) En s'aidant des données, calculons la valeur de l'activité A1 de l'échantillon contenu dans le flacon au bout de 3,7 jours après la date de calibration.

Le temps de demi-vie du rhénium 186 : t 1/2 () = 3,7 j (jours).

Le temps de demi-vie t 1/2 d'un nucléide radioactif est la durée au bout de laquelle le nombre initial de noyaux radioactifs est divisé par 2. L'activité du noyau père est également divisée par 2 :

A (t1) = A(0) / 2 = 3700 / 2 MBq = 1850 MBq (6)

Remarque : Nous pouvons aussi écrire :

A (t1) = A(0) exp ( - l t1 )

Nous avons : A0 = 3700 MBq l = 2,2 × 10 - 6 s- 1 t1 = 3,7 jours = 3,7 x 24 x 3600 = 319680 s

A (t1) = A(0) exp ( - l t1 ) = 3700 x exp ( - 2,2 × 10 - 6 × 319680 ) = 3700 x exp ( - 0,703296 ) = 3700 x 04949 = 1831,3196 MBq

A (t1) = 1831 MBq 1850 MBq

1.3.3. (e) L'activité de l'échantillon à injecter dans l'articulation d'une épaule est Athérapie = 70 MBq. En supposant que l'injection a lieu 3,7 jours après la date de calibration, calculons le volume V de la solution à injecter dans l'épaule.

Une activité de 1850 MBq est produite par une injection de 10 mL

Une activité de 70 MBq est produite par une injection de ( 10 x 70 / 1850 ) mL, soit :

V = 0,378 mL 38 mL (7)


·
2- Injection intraveineuse d'une solution contenant du phosphore 32

Carte d'identité du phosphore 32 :

L'injection en voie veineuse d'une solution contenant du phosphore 32 radioactif permet dans certains cas de traiter une production excessive de globules rouges au niveau des cellules de la moelle osseuse.

· 2-1- (e) Donnons la composition du noyau de phosphore 32.

Le noyau de phosphore 32 contient A = 32 nucléons dont Z = 15 protons positifs p+. Le nombre de neutrons N est tel que :

A = Z + N soit 32 =15 + N ou encore :

N = 17 neutrons n

Le noyau de phosphore 32 contient A = 32 nucléons (15 protons positifs et 17 neutrons) (8)

· 2-2- (e) A l'aide des masses données en début d'exercice et de la carte d'identité du phosphore 32, vérifions par un calcul la valeur E de l'énergie du rayonnement émis par la désintégration du phosphore 32.

Le noyau de phosphore 32 est un émetteur ß- :

+

L'énergie de masse du noyau père est E () = m () x c2 = 5,30803 × 10 - 26 x (3,0 × 10 8 ) 2 = 47,77227 x 10 - 16 J

L'énergie de masse du noyau fils est E () = m () x c2 = 5,30763 × 10 - 26 x (3,0 × 10 8 ) 2 = 47,76867 x 10 - 16 J

L'énergie de masse du noyau père est E () = m () x c2

L'énergie de masse du noyau fils est E () = m () x c2

L'énergie de masse de l'électron émis est E () = m () x c2

La valeur E de l'énergie du rayonnement émis par la désintégration du phosphore 32 est

E = m () x c2 - m () x c2 - m () x c2 = ½ m () - m () - m () ½ c2 = ½ 5,30803 × 10 - 26 - 5,30763 × 10 - 26 - 9,1 × 10 - 31 ½ x (3,0 × 10 8 ) 2

E = (4 x 10 - 30 - 0,91 × 10 - 30) x 9,0 x 10 16

E = 3,09 10 - 30 x 9,0 x 10 16 J

E = 2,781 x 10 - 13 J 2,8 x 10 - 13 J

L'énoncé donne 1 eV = 1,6 × 10 - 19 J soit 1 J = 6,25 × 10 18 eV. On en déduit :

E = 2,781 x 10 - 13 x 6,25 × 10 18 = 17,38125 x 10 5 eV

E 1,7 x 10 6 J (9)

· 2-3- (e) Pour la très grande majorité d'entre eux, les noyaux fils obtenus lors de cette transformation ne sont pas dans un état excité. Par conséquent le patient n'est pas exposé aux rayons gamma très pénétrants.

· 2-4- (e) Rappelons la loi de décroissance du nombre N(t) de noyaux radioactifs d'un échantillon en fonction de l et N0 (nombre de noyaux radioactifs à la date t = 0).

Le nombre N (t) de noyaux non désintégrés à l'instant t est lié au nombre de noyaux N0 initialement présents à l'instant to = 0 s par une relation exponentielle :

N = No e - l . t (10)

· 2-5- (e) Définissons le temps de demi-vie radioactive t 1/2 et établissons la relation qui existe entre la demi-vie et la constante de désintégration radioactive l.

Le temps de demi-vie t 1/2 d'un nucléide radioactif est la durée au bout de laquelle le nombre initial de noyaux radioactifs est divisé par deux.

N (t 1/2) = No / 2 (11)

Portons dans N = No e - l . t (10) :

No / 2 = No e - l . t 1/ 2 soit :

e - l . t 1/ 2 = 1 / 2 ou encore en prenant le logarithme népérien des deux cotés :

ln ( e - l . t 1/ 2 ) = ln ( 1 / 2 )

  - l . t 1/ 2 = 0 - ln 2

t 1/ 2 = ( ln 2 ) / l

t 1/ 2 = ( ln 2 ) / l(12) l . t 1/ 2 = ln 2 (12 bis)

· 2-6- (e) On peut vérifier, par un calcul, la valeur approchée du temps de demi-vie proposée dans la carte d'identité ci-dessus.

t 1/ 2 = ( ln 2 ) / l = 0,693 / 2,2 × 10 - 6 = 3,15 × 10 5 s

Mais 1 jour = 24 h = 24 x 3600 s = 86400 s soit 1 s = 1,1574 x 10 - 5 jour

t 1/ 2 = 3,15 × 10 5 s = 3,15 × 10 5 x 1,1574 x 10 - 5 jours

t 1/ 2 = 3,645 jours

t 1/ 2 3,7 jours (13)

 

A VOIR :

Problème résolu n° 7 A : Energie de liaison et stabilité du noyau.

Problème résolu n° 7 B : Fission de l'uranium 235.

Problème n° 7 C (à résoudre) : Fusion dans les étoiles.

Problème résolu n° 7 D : Nucléosynthèse des éléments chimiques (Bac Septembre 2006 - France).

Problème n° 7 E (à résoudre) : Au Soleil d'Iter (Bac 2006 - Polynésie).

Problème résolu n° 7 F : La Terre, une machine thermique (Bac 2008 - France).

Problème résolu n° 7 G ci-dessus : Nucléaire au service de la médecine (Bac 2010 - France).

Problème résolu n° 7 H : Le LMJ (laser mégajoule) (Bac 2011 - France).

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