ENONCE :

 

Le laser mégajoule (LMJ), qui sera l'un des deux plus gros lasers au monde, est en construction sur le site du CESTA, près de Bordeaux. Ce sera l'une des deux seules machines du genre capable de produire de l'énergie à partir de la réaction de fusion de l'hydrogène. Ainsi, lorsqu'il sera opérationnel en 2014, ce gigantesque dispositif dimensionné pour accueillir 240 faisceaux laser pourra délivrer une énergie globale de 1,8 mégajoule. La chambre d'expérience (figure 1), percée d'ouvertures pour laisser passer les faisceaux laser, aura un diamètre de 10 m. A l'intérieur, une bille de 2,4 mm de diamètre (figure 2), remplie d'un mélange de deutérium et de tritium solidifié de masse m = 300 mg sera fixée dans une cavité en or par des fils de soie d'araignée. Les faisceaux du LMJ convergeront alors sur cette cavité-cible pour déclencher la réaction de fusion nucléaire. D'après Les Défis du CEA

L'objectif de cet exercice est de comparer l'énergie fournie par le laser mégajoule à celle libérée par la réaction de fusion dans la cible.

Données :

· Célérité de la lumière dans le vide : c = 2,998 x 10⁸ m.s ^{- 1};

· Constante de Planck : h = 6,62 X 10 ^{- 34} J.s;

· Electron-volt : 1eV = 1,602 x 10 ^{- 19} J;

Particule ou noyau	Neutron	Proton	Deutérium	Tritium	Hélium 3	Hélium 4
Symbole
Masse (en u)	mn = 1,00866	mp = 1,00728	2,01355	3,01550	3,01493	4,00150
Energie de liaison (MeV)			2,22	8,48		28,29

· · 1. Lasers et énergie reçue par la cible

Le choix s'est porté sur des lasers à verre dopé au néodyme de longueur d'onde l₁ = 1050 nm.

· 1.1. Lorsque le faisceau laser entre dans la chambre d'expérience, un dispositif triple la fréquence de l'onde lumineuse.

1.1.1. En déduire la valeur de la longueur d'onde l₂ du laser dans la chambre d'expérience. (corrigé)

1.1.2. Dans quels domaines du spectre électromagnétique se situent les rayonnements de longueurs d'onde l₁ et l₂ ? (c)

· 1.2. Après le triplement de fréquence, chaque faisceau laser produit une énergie E_laser = 7,5 kJ.

Par un calcul, montrer que la valeur de l'énergie E_LMJ, délivrée au niveau de la cible par l'ensemble des faisceaux lasers composant le LMJ, est en cohérence avec le texte introductif. (c)

· 1.3. On admet que le LMJ est capable de délivrer l'énergie E_LMJ en une durée Dt = 5,0 ns.

En déduire la valeur de la puissance moyenne PLMJ correspondante. (c)

· · 2. Réaction de fusion deutérium-tritium dans la cible

· 2.1. Pour provoquer la fusion, on met en jeu deux isotopes de l'hydrogène, le deutérium et le tritium.

La réaction deutérium-tritium produit un noyau, un neutron et de l'énergie.

2.1.1. Donner la composition des noyaux de deutérium et de tritium. Qu'appelle-t-on noyaux isotopes ? (c)

2.1.2. Ecrire la réaction de fusion entre un noyau de deutérium et un de tritium en précisant les lois utilisées. (c)

· 2.2. Energie de liaison d'un noyau

2.2.1. La courbe d'Aston représente l'opposé de l'énergie de liaison par nucléon en fonction du nombre de nucléons. En se référant à l'axe des abscisses, dans quelle partie de cette courbe se trouvent les noyaux susceptibles de fusionner ? (c)

2.2.2. Donner la signification physique et l'expression de l'énergie de liaison E_L() d'un noyau de masse m () en fonction de A, Z, m_p, m_n, m () et c. (c)

2.2.3. A partir de l'expression précédente, exprimer la masse m () en fonction de A, Z, mp, mn, E_L () et c. (c)

2.2.4. En déduire les expressions des masses m (), m () et m (). (c)

· 2.3. Energie libérée lors de la réaction de fusion

2.3.1. Exprimer l'énergie libérée |DE| lors de la réaction de fusion deutérium-tritium en fonction des masses des noyaux et des particules mis en jeu. (c)

2.3.2. Montrer que l'expression de l'énergie libérée |DE| en fonction des énergies de liaison est donnée par : |DE| = |E_l () - E_l () - E_l ()|. Calculer sa valeur en MeV. (c)

· · 3. Bilan énergétique dans la cible

· 3.1. Sachant que le mélange est équimolaire, montrer que le nombre de noyaux N de deutérium (ou de tritium) présents dans la microbille est N = 3,59 x 10¹⁹. (c)

· 3.2. En déduire l'énergie totale E_tot produite par la réaction de fusion dans la cible. La comparer à l'énergie E_LMJ fournie par le laser mégajoule. (c)

SOLUTION :

· · 1. Lasers et énergie reçue par la cible

· 1.1. Lorsque le faisceau laser entre dans la chambre d'expérience, un dispositif triple la fréquence de l'onde lumineuse.

1.1.1. (énoncé) Calculons la valeur de la longueur d'onde l₂ du laser dans la chambre d'expérience.

La longueur d'onde est l₂ = c . T₂ = c / f₂.

En triplant la fréquence f₂ = 3 f₁ on divise la longueur d'onde par 3 :

l2 = l1 / 3 = 1050 / 3 = 350 nm (1)

1.1.2. (e) Précisons dans quels domaines du spectre électromagnétique se situent les rayonnements de longueurs d'onde l₁ et l₂. (voir la leçon 5)

Les longueurs d'onde du domaine visible par l'homme s'étendent de 400 nm (violet) à 800 nm (rouge).

Le rayonnement de longueur l1 = 1050 nm se situe dans l'infra rouge. (2) Le rayonnement de longueur l2= 350 nm se situe dans l'ultra violet.(3)

· 1.2. (e) Après le triplement de fréquence, chaque faisceau laser produit une énergie E_laser = 7,5 kJ.

Montrons que la valeur de l'énergie E_LMJ, délivrée au niveau de la cible par l'ensemble des faisceaux lasers composant le LMJ, est en cohérence avec le texte introductif.

Les 240 lasers envoient sur la cible une énergie :

E_LMJ = 240 x 7,5 = 1800 kJ = 1,80 x 10⁶ J (4)

Ce résultat confirme l'énoncé.

· 1.3. (e) On admet que le LMJ est capable de délivrer l'énergie E_LMJ en une durée Dt = 5,0 ns = 5,0 x 10 ^{- 9} s.

On peut en déduire la valeur de la puissance moyenne P_LMJ correspondante.

P_LMJ = E_LMJ / Dt = 1,80 x 10⁶ / 5,0 x 10 ^{- 9} = 3,6 x 10 ¹⁴ W (5)

· · 2. Réaction de fusion deutérium-tritium dans la cible

· 2.1. Pour provoquer la fusion, on met en jeu deux isotopes de l'hydrogène, le deutérium et le tritium.

La réaction deutérium-tritium produit un noyau, un neutron et de l'énergie.

2.1.1. (e) Donnons la composition des noyaux de deutérium et de tritium et précisons ce que sont des noyaux isotopes.

Le noyau de deutérium contient Z = 1 proton et N = 1 neutron soit A = 2 nucléons. (6)

Le noyau de tritium contient Z = 1 proton et N = 2 neutron soit A = 3 nucléons. (7)

Isotopes : Des noyaux isotopes possèdent le même nombre de protons Z, mais des nombres de neutrons N différents. (revoir la leçon 6)

2.1.2. (e) Ecrivons la réaction de fusion entre un noyau de deutérium et un de tritium en précisant les lois utilisées.

L'énoncé précise que cette réaction deutérium-tritium produit un noyau, un neutron et de l’énergie.

+ + (8)

- Loi de conservation de la charge électrique : la somme des nombres de charges des particules émises est égale à la somme des nombres de charge des noyaux initiaux :

1 + 1 = Z + 0 Z = 2

- Loi de conservation du nombre de nucléons : la somme des nombres de nucléons des particules émises est égale à la somme des nombres de nucléons des noyaux initiaux :

2 + 3 = A + 1 A = 4 (9)

Par suite :

+ + (10)

· 2.2. Energie de liaison d'un noyau

2.2.1. (e) La courbe d'Aston représente l'opposé de l'énergie de liaison par nucléon en fonction du nombre de nucléons. En se référant à l'axe des abscisses, précisons dans quelle partie de cette courbe se trouvent les noyaux susceptibles de fusionner.

 

La courbe d'Aston représente le graphe associé à - E_L / A = f (A). Les noyaux les plus stables sont au bas du graphe.

Les noyaux susceptibles de fusionner en libérant de l'énergie se trouvent dans la partie gauche de la courbe. (revoir la leçon 7) (11)

2.2.2. (e) Donnons la signification physique et l'expression de l'énergie de liaison E_L () d'un noyau de masse m () en fonction de A, Z, m_p, m_n, m () et c.

· Définition : On appelle défaut de masse Dm d'un noyau la différence entre la masse totale des A nucléons séparés (Z protons et N neutrons), au repos et la masse du noyau formé, au repos.

Dans le cas général d'un nucléide , le défaut de masse est :

Dm = m ( A nucléons séparés ) - m () = [ Z mp + (A - Z) mn ] - m () (12)

· Définition : L'énergie de liaison E_L du noyau est l'énergie qu'il faut fournir à ce noyau au repos pour le dissocier en ses A nucléons isolés, également au repos :

E_L () + m () ´ c² =  m ( A nucléons séparés ) ´ c² (13)

E_L () = m ( A nucléons séparés ) ´ c² - m () ´ c²

E_L () = [ m ( A nucléons séparés ) - m () ] ´ c²

Utilisons la relation Dm = m ( A nucléons séparés ) - m () (14)

EL () = Dm ´ c² (15) EL () = [ m ( A nucléons séparés ) - m () ] ´ c² (17) EL () = [ Z mp + (A - Z) mn - m () ] ´ c² (18)

2.2.3. (e) A partir de l'expression précédente, exprimons la masse m () en fonction de A, Z, mp, mn, E_L () et c.

E_L () = [ Z m_p + (A - Z) m_n - m () ] ´ c² (18)

E_L () = Z m_p ´ c² + (A - Z) m_n ´ c² - m () ´ c²

m () ´ c² = Z m_p ´ c² + (A - Z) m_n ´ c² - E_L ()

m () = Z mp + (A - Z) mn - EL () / c² (19)

2.2.4. (e) Calculons les expressions des masses m (), m () et m () en appliquant la relation (19).

m () = 2 mp + 2 mn - EL () / c² (20) m () = 1 mp +1 mn - EL () / c² (21) m () = 1 mp + 2 mn - EL () / c² (22)

· 2.3. Energie libérée lors de la réaction de fusion

2.3.1. (e) Exprimons l'énergie libérée |DE| lors de la réaction de fusion deutérium-tritium en fonction des masses des noyaux et des particules mis en jeu.

+ + (10)

La relation d'Einstein s'écrit :

|DE| = |Dm| ´ c² = | m () + m () - m () - mn | ´ c² (23)

2.3.2. (e) Montrons que l'expression de l'énergie libérée |DE| en fonction des énergies de liaison est donnée par : |DE| = |E_L() - E_L () - E_L ()| (24). Calculer sa valeur en MeV.

|DE| = | m () + m () - m () - m_n | ´ c² (23 bis)

|DE| = | 1 m_p +1 m_n - E_L () / c² + 1 m_p + 2 m_n - E_L () / c² - 2 m_p - 2 m_n + E_L () / c² - m_n | ´ c²

|DE| = | - E_L () / c² - E_L () / c² + E_L () / c² | ´ c²

|DE| = | - EL () - EL () + EL () | (24)

Numériquement :

|DE| = | - E_L () - E_L () + E_L () |

|DE| = | - 2,22 - 8,48 + 28,29 |

|DE| = 17,59 MeV

|DE| 17,6 MeV (25)

· · 3. Bilan énergétique dans la cible

· 3.1. (e) Sachant que le mélange est équimolaire, montrons que le nombre de noyaux N de deutérium (ou de tritium) présents dans la microbille est N = 3,59 x 10¹⁹.

La microbille contient un mélange équimolaire de deutérium et de tritium solidifié de masse totale m = 300 g = 0,300 kg.

On peut écrire m = N m () + N m () (26) en négligeant la masse des électrons entourant les noyaux.

N = m / [ m () + m () ] (27)

Numériquement :

m () = 2,01355 u = 2,01355 x 1,66054 x 10 ^{– 27} = 3,34358 x 10 ^{– 27} kg (28)

m () = 3,01550 x 1,66054 x 10 ^{– 27} = 5,00736 x 10 ^{– 27} kg (29)

m = 300 mg = 300 x 10 ^{- 6} g = 300 x 10 ^{- 9} kg = 3,00 x 10 ^{- 7} kg (30)

N = m / [ m () + m () ] (27)

N = 3,00 x 10 ^{- 7} / [ 3,34358 x 10 ^{– 27} + 5,00736 x 10 ^{– 27}]

N = 3,00 x 10 ^{- 7} / (8,35094 x 10 ^{– 27}) = 3,5924 x 10 ¹⁹ noyaux

N 3,59 x 10 19 noyaux (31)

· 3.2. (e) Calculons l'énergie totale E_tot produite par la réaction de fusion dans la cible puis comparons ce résultat à l'énergie E_LMJ fournie par le laser mégajoule.

  E_tot = N |DE| = 3,59 x 10 ¹⁹ x 17,6 MeV = 63,2 x 10 ¹⁹ MeV

E_tot = 6,32 x 10 ²⁶ eV = 6,32 x 10 ²⁶ x 1,602 x 10 ^{- 19} = 1,01 x 10 ⁸ J (32)

Ci-dessus on a rouvé E_LMJ = 1,80 x 10⁶ J. Par suite :

E_tot / E_LMJ = 1,01 x 10 ⁸ / 1,80 x 10⁶

Etot / ELMJ = 56,1 (33) La fusion permet de récupérer plus de 56 fois l'énergie ELMJ fournie par le laser mégajoule (LMJ).

A VOIR :

Problème résolu n° 7 A : Energie de liaison et stabilité du noyau.

Problème résolu n° 7 B : Fission de l'uranium 235.

Problème n° 7 C (à résoudre) : Fusion dans les étoiles.

Problème résolu n° 7 D : Nucléosynthèse des éléments chimiques (Bac Septembre 2006 - France).

Problème n° 7 E (à résoudre) : Au Soleil d'Iter (Bac 2006 - Polynésie).

Problème résolu n° 7 F : La Terre, une machine thermique (Bac 2008 - France).

Problème résolu n° 7 G : Nucléaire au service de la médecine (Bac 2010 - France).

Problème résolu n° 7 H ci-dessus : Le LMJ (laser mégajoule) (Bac 2011 - France).