ENONCE :
L'objectif de cet exercice est de comparer l'énergie fournie par le laser mégajoule à celle libérée par la réaction de fusion dans la cible.
Données :
· Célérité de la lumière dans le vide : c = 2,998 x 108 m.s - 1;
· Constante de Planck : h = 6,62 X 10 - 34 J.s;
· Electron-volt : 1eV = 1,602 x 10 - 19 J;
Particule ou noyau
Neutron Proton Deutérium Tritium Hélium 3 Hélium 4 Symbole Masse (en u) mn = 1,00866 mp = 1,00728 2,01355 3,01550 3,01493 4,00150 Energie de liaison (MeV)
2,22 8,48
28,29 · · 1. Lasers et énergie reçue par la cible
Le choix s'est porté sur des lasers à verre dopé au néodyme de longueur d'onde l1 = 1050 nm.
· 1.1. Lorsque le faisceau laser entre dans la chambre d'expérience, un dispositif triple la fréquence de l'onde lumineuse.
1.1.1. En déduire la valeur de la longueur d'onde l2 du laser dans la chambre d'expérience. (corrigé)
1.1.2. Dans quels domaines du spectre électromagnétique se situent les rayonnements de longueurs d'onde l1 et l2 ? (c)
· 1.2. Après le triplement de fréquence, chaque faisceau laser produit une énergie Elaser = 7,5 kJ.
Par un calcul, montrer que la valeur de l'énergie ELMJ, délivrée au niveau de la cible par l'ensemble des faisceaux lasers composant le LMJ, est en cohérence avec le texte introductif. (c)
· 1.3. On admet que le LMJ est capable de délivrer l'énergie ELMJ en une durée Dt = 5,0 ns.
En déduire la valeur de la puissance moyenne PLMJ correspondante. (c)
· · 2. Réaction de fusion deutérium-tritium dans la cible· 2.1. Pour provoquer la fusion, on met en jeu deux isotopes de l'hydrogène, le deutérium et le tritium.
La réaction deutérium-tritium produit un noyau, un neutron et de l'énergie.
2.1.1. Donner la composition des noyaux de deutérium et de tritium. Qu'appelle-t-on noyaux isotopes ? (c)
2.1.2. Ecrire la réaction de fusion entre un noyau de deutérium et un de tritium en précisant les lois utilisées. (c)
· 2.2. Energie de liaison d'un noyau
2.2.1. La courbe d'Aston représente l'opposé de l'énergie de liaison par nucléon en fonction du nombre de nucléons. En se référant à l'axe des abscisses, dans quelle partie de cette courbe se trouvent les noyaux susceptibles de fusionner ? (c)
2.2.2. Donner la signification physique et l'expression de l'énergie de liaison EL(
) d'un noyau
de masse m (
) en fonction de A, Z, mp, mn, m (
) et c. (c)
2.2.3. A partir de l'expression précédente, exprimer la masse m (
) en fonction de A, Z, mp, mn, EL (
) et c. (c)
2.2.4. En déduire les expressions des masses m (
), m (
) et m (
). (c)
· 2.3. Energie libérée lors de la réaction de fusion
2.3.1. Exprimer l'énergie libérée |DE| lors de la réaction de fusion deutérium-tritium en fonction des masses des noyaux et des particules mis en jeu. (c)
2.3.2. Montrer que l'expression de l'énergie libérée |DE| en fonction des énergies de liaison est donnée par : |DE| = |El (
) - El (
) - El (
)|. Calculer sa valeur en MeV. (c)
· · 3. Bilan énergétique dans la cible· 3.1. Sachant que le mélange est équimolaire, montrer que le nombre de noyaux N de deutérium (ou de tritium) présents dans la microbille est N = 3,59 x 1019. (c)
· 3.2. En déduire l'énergie totale Etot produite par la réaction de fusion dans la cible. La comparer à l'énergie ELMJ fournie par le laser mégajoule. (c)
SOLUTION :
· · 1. Lasers et énergie reçue par la cible· 1.1. Lorsque le faisceau laser entre dans la chambre d'expérience, un dispositif triple la fréquence de l'onde lumineuse.
1.1.1. (énoncé) Calculons la valeur de la longueur d'onde l2 du laser dans la chambre d'expérience.
La longueur d'onde est l2 = c . T2 = c / f2.
En triplant la fréquence f2 = 3 f1 on divise la longueur d'onde par 3 :
l2 = l1 / 3 = 1050 / 3 = 350 nm
(1)
1.1.2. (e) Précisons dans quels domaines du spectre électromagnétique se situent les rayonnements de longueurs d'onde l1 et l2. (voir la leçon 5)
Les longueurs d'onde du domaine visible par l'homme s'étendent de 400 nm (violet) à 800 nm (rouge).
Le rayonnement de longueur l1 = 1050 nm se situe dans l'infra rouge.
(2)
Le rayonnement de longueur l2= 350 nm se situe dans l'ultra violet.
(3)
· 1.2. (e) Après le triplement de fréquence, chaque faisceau laser produit une énergie Elaser = 7,5 kJ.
Montrons que la valeur de l'énergie ELMJ, délivrée au niveau de la cible par l'ensemble des faisceaux lasers composant le LMJ, est en cohérence avec le texte introductif.
Les 240 lasers envoient sur la cible une énergie :
ELMJ = 240 x 7,5 = 1800 kJ = 1,80 x 106 J
(4)
Ce résultat confirme l'énoncé.
· 1.3. (e) On admet que le LMJ est capable de délivrer l'énergie ELMJ en une durée Dt = 5,0 ns = 5,0 x 10 - 9 s.
On peut en déduire la valeur de la puissance moyenne PLMJ correspondante.
PLMJ = ELMJ / Dt = 1,80 x 106 / 5,0 x 10 - 9 = 3,6 x 10 14 W
(5)
· · 2. Réaction de fusion deutérium-tritium dans la cible· 2.1. Pour provoquer la fusion, on met en jeu deux isotopes de l'hydrogène, le deutérium et le tritium.
La réaction deutérium-tritium produit un noyau, un neutron et de l'énergie.
2.1.1. (e) Donnons la composition des noyaux de deutérium et de tritium et précisons ce que sont des noyaux isotopes.
Le noyau de deutérium
contient Z = 1 proton et N = 1 neutron soit A = 2 nucléons.
(6)
Le noyau de tritium
contient Z = 1 proton et N = 2 neutron soit A = 3 nucléons.
(7)
Isotopes : Des noyaux isotopes possèdent le même nombre de protons Z, mais des nombres de neutrons N différents. (revoir la leçon 6)
2.1.2. (e) Ecrivons la réaction de fusion entre un noyau de deutérium et un de tritium en précisant les lois utilisées.
L'énoncé précise que cette réaction deutérium-tritium produit un noyau, un neutron et de l’énergie.
+
+
![]()
(8)
- Loi de conservation de la charge électrique : la somme des nombres de charges des particules émises est égale à la somme des nombres de charge des noyaux initiaux :
1 + 1 = Z + 0
Z = 2
- Loi de conservation du nombre de nucléons : la somme des nombres de nucléons des particules émises est égale à la somme des nombres de nucléons des noyaux initiaux :
2 + 3 = A + 1
A = 4
(9)
Par suite :
+
+
![]()
(10)
· 2.2. Energie de liaison d'un noyau
2.2.1. (e) La courbe d'Aston représente l'opposé de l'énergie de liaison par nucléon en fonction du nombre de nucléons. En se référant à l'axe des abscisses, précisons dans quelle partie de cette courbe se trouvent les noyaux susceptibles de fusionner.
La courbe d'Aston représente le graphe associé à - EL / A = f (A). Les noyaux les plus stables sont au bas du graphe.
Les noyaux susceptibles de fusionner en libérant de l'énergie se trouvent dans la partie gauche de la courbe. (revoir la leçon 7)
(11)
2.2.2. (e) Donnons la signification physique et l'expression de l'énergie de liaison EL (
) d'un noyau
de masse m (
) en fonction de A, Z, mp, mn, m (
) et c.
· Définition : On appelle défaut de masse Dm d'un noyau la différence entre la masse totale des A nucléons séparés (Z protons et N neutrons), au repos et la masse du noyau formé, au repos.
Dans le cas général d'un nucléide
, le défaut de masse est :
Dm = m ( A nucléons séparés ) - m (
) = [ Z mp + (A - Z) mn ] - m (
)
(12)
· Définition : L'énergie de liaison EL du noyau
est l'énergie qu'il faut fournir à ce noyau au repos pour le dissocier en ses A nucléons isolés, également au repos :
EL (
) + m (
) ´ c² = m ( A nucléons séparés ) ´ c²
(13)
EL (
) = m ( A nucléons séparés ) ´ c² - m (
) ´ c²
EL (
) = [ m ( A nucléons séparés ) - m (
) ] ´ c²
Utilisons la relation Dm = m ( A nucléons séparés ) - m (
)
(14)
EL (
) = Dm ´ c²
(15)
EL (
) = [ m ( A nucléons séparés ) - m (
) ] ´ c²
(17)
EL (
) = [ Z mp + (A - Z) mn - m (
) ] ´ c²
(18)
2.2.3. (e) A partir de l'expression précédente, exprimons la masse m (
) en fonction de A, Z, mp, mn, EL (
) et c.
EL (
) = [ Z mp + (A - Z) mn - m (
) ] ´ c²
(18)
EL (
) = Z mp ´ c² + (A - Z) mn ´ c² - m (
) ´ c²
m (
) ´ c² = Z mp ´ c² + (A - Z) mn ´ c² - EL (
)
m (
) = Z mp + (A - Z) mn - EL (
) / c²
(19)
2.2.4. (e) Calculons les expressions des masses m (
), m (
) et m (
) en appliquant la relation (19).
m (
) = 2 mp + 2 mn - EL (
) / c²
(20)
m (
) = 1 mp +1 mn - EL (
) / c²
(21)
m (
) = 1 mp + 2 mn - EL (
) / c²
(22)
· 2.3. Energie libérée lors de la réaction de fusion
2.3.1. (e) Exprimons l'énergie libérée |DE| lors de la réaction de fusion deutérium-tritium en fonction des masses des noyaux et des particules mis en jeu.
+
+
![]()
(10)
La relation d'Einstein s'écrit :
|DE| = |Dm| ´ c² = | m (
) + m (
) - m (
) - mn | ´ c²
(23)
2.3.2. (e) Montrons que l'expression de l'énergie libérée |DE| en fonction des énergies de liaison est donnée par : |DE| = |EL(
) - EL (
) - EL (
)|
(24).
Calculer sa valeur en MeV.
|DE| = | m (
) + m (
) - m (
) - mn | ´ c²
(23 bis)
|DE| = | 1 mp +1 mn - EL (
) / c² + 1 mp + 2 mn - EL (
) / c² - 2 mp - 2 mn + EL (
) / c² - mn | ´ c²
|DE| = | - EL (
) / c² - EL (
) / c² + EL (
) / c² | ´ c²
|DE| = | - EL (
) - EL (
) + EL (
) |
(24)
Numériquement :
|DE| = | - EL (
) - EL (
) + EL (
) |
|DE| = | - 2,22 - 8,48 + 28,29 |
|DE| = 17,59 MeV
|DE|
17,6 MeV
(25)
· · 3. Bilan énergétique dans la cible· 3.1. (e) Sachant que le mélange est équimolaire, montrons que le nombre de noyaux N de deutérium (ou de tritium) présents dans la microbille est N = 3,59 x 1019.
La microbille contient un mélange équimolaire de deutérium et de tritium solidifié de masse totale m = 300 g = 0,300 kg.
On peut écrire m = N m (
) + N m (
)
(26)
en négligeant la masse des électrons entourant les noyaux.
N = m / [ m (
) + m (
) ]
(27)
Numériquement :
m (
) = 2,01355 u = 2,01355 x 1,66054 x 10 – 27 = 3,34358 x 10 – 27 kg
(28)
m (
) = 3,01550 x 1,66054 x 10 – 27 = 5,00736 x 10 – 27 kg
(29)
m = 300 mg = 300 x 10 - 6 g = 300 x 10 - 9 kg = 3,00 x 10 - 7 kg
(30)
N = m / [ m (
) + m (
) ]
(27)
N = 3,00 x 10 - 7 / [ 3,34358 x 10 – 27 + 5,00736 x 10 – 27]
N = 3,00 x 10 - 7 / (8,35094 x 10 – 27) = 3,5924 x 10 19 noyaux
N
3,59 x 10 19 noyaux
(31)
· 3.2. (e) Calculons l'énergie totale Etot produite par la réaction de fusion dans la cible puis comparons ce résultat à l'énergie ELMJ fournie par le laser mégajoule.
Etot = N |DE| = 3,59 x 10 19 x 17,6 MeV = 63,2 x 10 19 MeV
Etot = 6,32 x 10 26 eV = 6,32 x 10 26 x 1,602 x 10 - 19 = 1,01 x 10 8 J
(32)
Ci-dessus on a rouvé ELMJ = 1,80 x 106 J. Par suite :
Etot / ELMJ = 1,01 x 10 8 / 1,80 x 106
Etot / ELMJ = 56,1
(33)
La fusion permet de récupérer plus de 56 fois l'énergie ELMJ fournie par le laser mégajoule (LMJ).
A VOIR :
Problème résolu n° 7 A : Energie de liaison et stabilité du noyau.
Problème résolu n° 7 B : Fission de l'uranium 235.
Problème n° 7 C (à résoudre) : Fusion dans les étoiles.
Problème résolu n° 7 D : Nucléosynthèse des éléments chimiques (Bac Septembre 2006 - France).
Problème n° 7 E (à résoudre) : Au Soleil d'Iter (Bac 2006 - Polynésie).
Problème résolu n° 7 F : La Terre, une machine thermique (Bac 2008 - France).
Problème résolu n° 7 G : Nucléaire au service de la médecine (Bac 2010 - France).
Problème résolu n° 7 H ci-dessus : Le LMJ (laser mégajoule) (Bac 2011 - France).