Retour Sommaire - Revoir la leçon 8

ENONCE :

Les technologies développées dans l'industrie microélectronique ont été transposées avec succès pour fabriquer des microsystèmes électromécaniques, c'est-à-dire des systèmes miniaturisés qui intègrent sur une même puce des parties mécaniques (capteurs d'accélération ou de pression, miroirs, micromoteurs) et des circuits électroniques associés. Un des premiers microsystèmes à avoir été développé est l'accéléromètre. Il est entre autres utilisé pour déclencher le gonflage des airbags des véhicules en cas de choc brutal. L'accéléromètre est constitué de deux pièces en forme de peignes complémentaires. L'une est fixe et constitue le cadre, l'autre est mobile à l'intérieur de ce cadre, suspendue par une lamelle flexible, sans contact entre les deux parties. L'ensemble constitue un condensateur. En cas de choc brutal du véhicule, la partie mobile se déplace par inertie dans le sens opposé au mouvement, comme le passager d'un bus qui est debout et se trouve projeté en avant quand le bus freine (figure 2). Ce changement de distance entre le peigne mobile et le cadre modifie la capacité du condensateur. Dès que le circuit intégré détecte ce changement de capacité, il commande le gonflage de l'airbag, avant même que le conducteur et les passagers du véhicule ne soient projetés en avant. D'après " A la découverte du nanomonde " (www.nanomicro.recherche.gouv.fr) défis CEA et Internet.

Nous allons nous intéresser au principe de fonctionnement de ce dispositif. Le peigne mobile et le cadre constituent un condensateur de capacité C. Il est branché aux bornes d'une pile de résistance interne R et de force électromotrice E. Le circuit est modélisé par le schéma de la figure 3.

Données : C = 100 pF (1 pF = 10 ^-12 F) et E = 5,0 V.

· 1- Comportement de l'accéléromètre en dehors de chocs.

La mise sous tension de l'accéléromètre revient à fermer l'interrupteur K du montage modélisant le dispositif représenté sur la figure 3.

Le condensateur est déchargé avant la fermeture de l'interrupteur.

A l'instant t = 0, on ferme l'interrupteur.

Les courbes représentant les variations de la tension aux bornes du condensateur et de l'intensité du courant en fonction du temps sont données sur la figure 4.

1.1. Sur cette figure, identifier, en justifiant qualitativement, la courbe correspondant à la tension et celle correspondant à l'intensité. (corrigé)

1.2. Délimiter de façon approximative et qualifier, sur la figure 4 les deux régimes de fonctionnement du circuit. (c)

1.3. Déterminer graphiquement la valeur de la constante de temps du dipôle RC.

Comparer cette valeur à la durée d'un choc de l'ordre de 200 ms. (c)

1.4. Donner l'expression littérale de cette constante de temps.

En déduire un ordre de grandeur de la valeur de la résistance R. (c)

1.5. Charge du condensateur.

1.5.1 Déterminer graphiquement sur la figure 4 les valeurs de la tension aux bornes du condensateur et de l'intensité du courant en régime permanent. (c)

1.5.2 En déduire, en régime permanent, la valeur de la charge q du condensateur définie sur la figure 4 (c)

· 2- Déclenchement de l'airbag.

2.1. D'après le texte encadré, comment se nomment les parties de l'accéléromètre correspondant aux armatures mobile et fixe ? (c)

2.2. Le rapprochement des deux armatures provoqué par un choc entraîne une augmentation de la capacité du condensateur (figure 5). Il s'agit de comprendre les conséquences de cette variation.

En tenant compte du fait que la constante de temps est très faible, on considérera que la valeur de la résistance est nulle.

2.2.1 Parmi les deux propositions suivantes donnant l'expression de la capacité C en fonction de la distance d entre les armatures du condensateur, choisir en justifiant celle qui peut convenir :

a) C = k d ; b) C = k / d. (c)

2.2.2 Donner l'expression de la tension aux bornes du condensateur u_C et de la charge q du condensateur avant le choc, en fonction de E (on pourra s'aider d'un schéma du circuit). (c)

2.2.3 Justifier que la tension aux bornes du condensateur n'est pas modifiée par le choc. En déduire que le choc a pour effet de faire augmenter la charge q du condensateur. (c)

2.3. Sur le schéma de la figure 5, indiquer le sens de déplacement des électrons dans le circuit engendré par la variation de charge q du condensateur. (c)

2.4. Donner la relation entre l'intensité i du courant et la charge q du condensateur.

Choisir parmi ces affirmations celle qui convient :

 Le déclenchement du gonflage de l'airbag est commandé par la détection d'une variation :

a) de tension aux bornes du condensateur.

b) d'intensité du courant dans le circuit.

c) de tension aux bornes du générateur. (c)

 

SOLUTION :

· 1- Comportement de l'accéléromètre en dehors de chocs.

1.1. (énoncé) Identifions, sur la figure 4 bis ci-dessous, la courbe correspondant à la tension et celle correspondant à l'intensité.

Le condensateur, initialement déchargé, commence à se charger à la fermeture de l'interrupteur. La tension uC à ses bornes, liée à la charge q par la relation uC = q / C (voir figure 3), augment donc de 0 jusqu'à 5 V. La courbe correspondante est donc la courbe (a) de la figure 4-bis ci-dessus. (1) L'intensité i du courant électrique qui prend naissance à la fermeture de l'interrupteur est initialement importante (0,50 A). Cette intensité diminue au cours de la charge puis s'annule quand le condensateur est chargé. La courbe correspondante est donc la courbe (b). (2)

1.2. (e) Délimitons de façon approximative et qualifions, sur la figure 4 bis les deux régimes de fonctionnement du circuit.

Le régime transitoire s'étend entre 0 et environ 5 ns. Ensuite on a le régime permanent. (3)

1.3. (e) Déterminons graphiquement la valeur de la constante de temps du dipôle RC.

La constante de temps t d’un dipôle RC est égale à la durée de temps nécessaire pour que la tangente à l’origine coupe l’asymptote horizontale de la courbe (a) représentant uc = f (t) Sur la figure 4 bis on lit t 1,0 ns (4)

· Cette valeur t 1,0 ns est très faible par rapport à la durée d'un choc de l'ordre de 200 ms.

1.4. (e) Donnons l'expression littérale de cette constante de temps et déduisons-en un ordre de grandeur de la valeur de la résistance R.

L'étude théorique (non demandée) de la charge du condensateur donnerait  la constante de temps :

t = R . C (5)

· Comme t 1,0 ns = 1,0 x 10 ^{- 9} s et que l'énoncé donne C = 100 pF = 100 x 10 ^{- 12} F on peut en déduire un ordre de grandeur de la valeur de la résistance R :

R = t / C

R 1,0 x 10 ^{- 9} / 100 x 10 ^{- 12}

R10 W (6)

1.5. Charge du condensateur.

1.5.1 (e) Déterminons graphiquement sur la figure 4 les valeurs de la tension aux bornes du condensateur et de l'intensité du courant en régime permanent.

Sur cette figure 4 on lit :

uc (régime permanent) 5,0 V (7) ic ( régime permanent) = 0,0 A (8)

1.5.2 (e) On peut en déduire, en régime permanent, la valeur de la charge q du condensateur définie sur la figure 4.

q (régime permanent) = C . u_c (régime permanent)

q (régime permanent)100 x 10 ^{- 12} x 5,0

q (régime permanent)5,0 x 10 - 10 C (9)

· 2- Déclenchement de l'airbag.

2.1. (e) D'après le texte encadré, précisons le nom des parties de l'accéléromètre correspondant aux armatures mobile et fixe.

D'après ce texte, l'arrmature mobile se nomme le peigne et la partie fixe se nomme le cadre. (10)

2.2. Le rapprochement des deux armatures provoqué par un choc entraîne une augmentation de la capacité du condensateur (figure 5). Il s'agit de comprendre les conséquences de cette variation.

En tenant compte du fait que la constante de temps est très faible, on considérera que la valeur de la résistance est nulle.

2.2.1 (e) Parmi les deux propositions suivantes donnant l'expression de la capacité C en fonction de la distance d entre les armatures du condensateur, choisir en justifiant celle qui peut convenir :

a) C = k d ; b) C = k / d.

L'énoncé dit : "Le rapprochement des deux armatures provoqué par un choc entraîne une augmentation de la capacité du condensateur".

Lorsque d diminue C augmente. La relation qui convient est donc :

C = k / d (11)

2.2.2 (e) Donnons l'expression de la tension aux bornes du condensateur u_C et de la charge q du condensateur avant le choc, en fonction de E (on s'aide d'un schéma du circuit).

Comme on néglige la résistance R, le schéma se simplifie :

Sur la figure 3 simplifiée on voit que la tension aux bornes du condensateur est égale à la tension aux bornes du générateur. :

uC = E (12)

La charge q = C . u_C du condensateur peut donc s'écrire :

q = C . uC = C . E (13)

2.2.3 (e) Justifions que la tension aux bornes du condensateur n'est pas modifiée par le choc. Montrons que le choc a pour effet de faire augmenter la charge q du condensateur.

La figure 3 simplifiée montre que, quelle que soit la distance d des armatures du condensateur (d diminue lors du choc), on a toujours : uC = E (14)

· Par contre, lors du choc, comme d diminue, la capacité du condensateur C = k / d augmente.

On en déduit que la charge q = C . E du condensateur augmente lors de ce choc. (15)

2.3. (e) Sur le schéma de la figure 5 bis ci-dessous, indiquons le sens de déplacement des électrons dans le circuit engendré par la variation de charge q du condensateur.

Lors du choc la charge q du condensateur augmente, par conséquent l'électrode fixe (cadre) devient encore plus positive tandis que l'électrode mobile (peigne) devient encore plus négative. (16)

2.4. (e) Donnons la relation entre l'intensité i du courant et la charge q du condensateur.

Avec les conventions de la figure 3 simplifiée (voir la flèche associée à i et l'armature fixe portant la charge q positive), on doit écrire :

i = dq / dt (17)

· Choisissons parmi les affirmations suivantes celle qui convient. Le déclenchement du gonflage de l'airbag est commandé par la détection d'une variation :

a) de tension aux bornes du condensateur.

b) d'intensité du courant dans le circuit.

c) de tension aux bornes du générateur.

La tension aux bornes du générateur reste fixe et égale à E.

Nous avons vu que lors d'un choc la tension u_c aux bornes du condensateur restait également fixe (u_c = E).

Par contre, lors du choc, la charge q = C . u_c du condensateur augmente, cela entraîne l'apparition brusque d'un courant d'intensité i = dq / dt.

Le déclenchement du gonflage de l'airbag est donc commandé par la détection d'une variation d'intensité du courant dans le circuit (affirmation b) (18)

Remarque : Lors du choc, la distance d entre les armatures du condensateur diminue.

Cela entraîne une augmentation de sa capacité C = k / d (11)

Il en résulte une augmentation de la charge q = C . u_c (13)

Dérivons q = C. u_c par rapport au temps : dq / dt = d (C. u_c) / dt = u_c . dC / dt (19) (u_c est constant)

Cette augmentation de q entraîne l'apparition du courant d'intensité i = dq / dt = u_c . dC / dt = E . dC / dt (19 bis)

Cette intensité va passer de sa valeur maximale à 0 A en très peu de temps (quelques ns) (20)

A VOIR :

Problème résolu de la leçon 8 : Etude théorique de la charge et de la décharge d’un condensateur à travers une résistance R.

Problème n° 8-A (à résoudre) : Charge et décharge d'un condensateur. 

Problème n° 8-B ci-dessus (avec corrigé) : Airbag et condensateur, quel rapport ? (Bac 2009 - France).